M* = MV V ■ W

Cette valeur étant mise dans l'équation 333, nous aurons

r. • ■■ • A' (MR..— Wr).. :■>. ••

Si dans l’équation 33 { , nous représentons par K la constante ; — * le coefficient c(e gdt, cettç équation deviendra

* ' dv = Kgdf,

intégrant, on obtiendra

v = lLgt + C.

Si dans cette équation, on met la valeur de v, qui est —,

et qu’après avoir multiplié par df, on intègre de nouveau, on trouvera

* = !Kgr’ + C/-t-C'.

Ces résultats nous apprennent que ce mouvement est du même genre que celui qui est imprimé aux corps par la pesanteur, et n’en diffère que par l’intensité de la force accélératrice. L’équation 335 nous conduiraifraux mêmes conséquences.

Du mouvement d’un corps assujéti à tourner uniformément autour d’un axe Jixe.

4^5, Lorsqu'un corps ou un système de points matériels liés les uns aux autres, d’une manière invariable, est assujéti à tourner uniformément autour jl’un axe fixe qu’on suppo- Fig.197. jera passer par le point A (fig. 197 ) perpendiculairement au phut de la figure, si l’on coupe le corps par une infinité de plam omn, o'mtn', o"m"n", etc. , parallèles entre eux etpeépendiculaires à l’axe fixe, les molécules m, jri , m", etc., daqs une révolution totale , décriront autour de l’axe fixe les circonférences mon , m"o"n\ etc. , et parcourront dans

le même instant des arcs d’un méroç nombre de degrés. Ces arcs étant proportionnels à leurs rsgroqs* il eé sera de même des vitesses qui animent les mqJeculeS m , m'T m , etc. ; de sorte. que si la distance eA delà molécule c à l’àxe est prise popr unité , et .que * h vkèÉsdc cette midécidc, le®

vitesses des ' molécules m,, m', *n\ sto*» placées à des dis-

mouv. rwiroBsiE u’im cobps (oitoub n’tot axe. 3o5 tances r, r, r",>etc.i, dé l’awe fixe, seront respectivement rm , r' d , r"a, qtc. Ainsi l’on aura pour les quantités de mouvement effective* de ces différentes molécules, • •

ni ru , m'r'a, ni" ^'a , e{c.

Désignons par v1, v", etc. , les vitesses imprimées ; les quantités de mouvement, reçues seront /ne, mV , ,m"r" , etc. Il faudr?don(f, d’après le second, énoncé du principe ded’Aleml>ert, qu’il y ait équilibre entre mv , mV, rti"v" , etc. , et — /«/•»,

— m'r'a, -r-nJ’r"*, etc. .

Potir obtenir l’équilibre entre ces quantités de mouvement,

considérons d’abord la première , et. représentons mv par une partie mf ( fig. i çjj ) prise dans la direction de cette force, et Fig. 197. proportionnelle à son intensité; abaissons du point / la perpendiculaire fit sur. le plan de la section omn , et nommons 0 l’angle fmh , formé par mf avec ce plan , nous pourrons décomposer mf en deux forces* ’

hf = mv s in 0 parallèle à l’axe fixe , lif/i = mv cos <p située dans le plan omit.

1a première sera détruite par la résistance de cet axe , et la seconde aura son effet. En appelant de meme 0' , 0" , 0’” , etc., les angles que les forces mv', jrfv'1, etc., font avec les plans o'm'n' , o“m"n" , etc. /les quantités de mouvement imprimées au-' mobile 'seront *•>•*;■ • •

/•* -*•" inv cos 0 , «V cos 0!, ' m"v" cos 0H , etc.

Ces quantités de mouvement , ainsi que les quantités de mouvement < né<'rives<//ïé», m'r'a', .m"r"a", etc. , se trouveront situées dans les plans W///?*,- o'm'n', o'lm" n" , etc.

Pour établir l'équilibre entre ces quantités de mouvement , nous remarquerons que puisqu’elles sont toutes situées dans des plans perpendioülaires à l’axe fixe , elles doivent produire sur cet axe lé nîéme effet que si tous les plans omn , o'm'n' , o"m"n", etc. , n’en formaient qu’un seul ; par conséquent , en

Étcm. de Mrcani/juv. 20

BTHAMIQÜF.

considérant ces forces comme situées dans, le plan de la figure, il faudra , poiir que l’équilibre puisse subsister entr#elle$ ; que la somme des momens qui tendent à faire tourner «n même sens le système autour du point fixe A , soit égale à la somme des momens qui tendent à le faire tourner en sens contraire.

Or les forces mm, m'r'a , m"r/'n,- etc. , qui dérivent' toutes du mouvement commun imprimé au système , le font t^nrqer dans le même sens ; et comme ces forces entraînent les pêints m , m', m", etc. , suivant les circonférences ni no, m'n'o', m"n"o", etc. , les rayons r, r' , r", etc. sont des perpendiculaires abaissées sur leurs directions ; par conséquent la somme des momens des forces effectives est exprimée par A ♦ *

mr’ai-j- etc. = /n"r"j-f-etc.).

Représentons par 2/«r* la quantité qui, est entre les paréothèses , nous aurons oXmr1 pour la somme des momens des forces effectives. C’est cette quantité qui doit faire équilibre à la somme ou à la différence des momens des forces

mv cos <p , m'v' cos ç>', m"v" cosp", etc.

Pour déterminer cette seconde quantité, soient As l’axe fbte Fig. 198. (fig. 1 98), et ml, m’t , muP , etc., les forces mv cos ?, m'v’ cos ç', m"v" c osip", etc., situées dans les plans mno, m'n'o’, m"n"o", etc., perpendiculaires à l’axe fixe; abaissons des points A , A', A", etc. , pris dans ces plans , sur l’axe fixe , les perpendiculaires Al = p, A 'l' — p' , A"/" = p" , etc. , sur les directions des forces mv cos <p , m'v' cosp', m"v" cos <p" , etc. ; les momens de ces forces seront . , .

flp mvp cos Ç , m’v’p' cosp', m"v"p cos tp' , etc.

Représentons par ’Ümvp cos <p la somme algébrique de ces momens , c’est-à-dire celle qui a lieu , abstraction faite des signes qui les affectent; alors, comme nous l’avons expliqué, cette somme des momens devant faire équilibre à »ïmr* , nous aurons • 4

MOU V. UNIFORME D U tt. COR*» VU TOU R U UN AXE

d’où nous tirerons pour déterminer la vitesse angulaire

476. Lorsque les forces nw, mV, «i'V% etc. , agissent dans les plans omn , o'm'n', o"m"n" , etc. , les àngles <p , tp' , ç", etc., sont nuis, et nous avons alors

sin <p =jo , cpsp ^ . .** “•

„ sin <p' ■= o, cqs -Ç)' = i , sin <p* — o , cos 1 ,

par conséquent l’équation (336) deviendra dans ce cas ,

2/nr*

477. Si toutes les vitesses imprimées aux molécules du système sont égales et parallèles , comme cela arrive dans le cas où le système recevrait une impulsion unique qui le transporterait en ligne droite dans l’espace , s’il n’était pas retenu par l’axe fixe , nous aurons , dans cette hypothèse ,

et les momens des vitesses imprimées devenant

mvp , m'<p', m"vp", etc. = v ( mp -(- m'p' -f- m"p" -f- etc.),

la somme de ces momens pourra être représentée par vXmp, et l’équation (336) se changera en

„ '’ÏWP v

Menons maintenant par l’axe fixe As un plan AK que nousfe rons tourner jusqu’à ce qu’il devienne parallèle aux forces rm>

3ot> IMfSAMiyCR. »•

m'v', m"v", etc., dont les directions sont représentées dans (a Fig. 199. figure 199 par les droites/»/, m'l\, m"t\ etc. On voit que les perpendiculaires p , p' , p" , etc. , abaissées des centres de section A, A', A", etc. , sur les directions de ces forces, sont égales aux perpendiculaires »iy , rn'q', m"q" , etc. , abaissées des points/» , m', m", et*. , sur le plan AK. Nommons y, y', y", etc. , Ces perpendiculaires, et Q Celle qui serait abaissee du centre de gravité du système sur le plan AK, et représentons par M la somme de toutes les molécules qui le composent, nous aurons , «l’après la propriété des centres de gravité,

MQ = mq + rn'q' -f- m"q" -f- etc. •

et parce qu on a

pz=q, p' = q', p" = y", etc. ,

l’équation précédente deviendra

MQ — vip 4- m'p' -+- m"p" -f- etc. — Xmp.

Substituant cettfe valeur dans l’équation (337), bous obtiendrons ’ ’ ' ■ .

478. Il pourrait arriver qu’une partie seulement des molécules ni, /»',*»?", etc., eussent reçu la vitesse v-, alors M ne serait plus la sorftme des molécules -du* système , mais celle des molécules auxquelles les vitesses auraient été imprimées , et Q représenterait la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de cette partie du système sur le plan AK. . •> *

H nous reste à indiquer le^, moyens de déterminer l’expression tmr1 qu’on appelle le. moment d'inertie ; c’est l’objet dont nous allons nous'' occuper.

UES MOMKNS D INERTIE.

Dos momens <t inertie.

Le moment d’irtertie d’un corps étant la somme des produits de Juins les points matériels qui le composent par les carrés de leurs distances respectives à l’axe de rotation , nous l’avons représenté par £«tr*. ün peut , dans oette expression , remplacer la molécule m pâr l’élément dm de la masse , et alors le moment d inèrtic sera donné par l’intégrale de l'expression f r*dm.

480. Pour premier exemple , cherchons le moment d’inertie d’une droite CB (figt^oo)par rapport à l’axe AZ , auquel lcFig.aoo. plan CAB est perpendiculaire.

Soit .IB = // une perpendiculaire abaissée du point A sur la direction de la droite, et BP ~x la distance du poiat B à un point quelconque de cette droite, nous aurons

PA1 = (A* -f- x*).

C’est cette expression qu’il fatït multiplier par l’élément dm du corps. La masse , dans ce cas-ci , étant une ligne droite , n’a d’étendue que dans le seul sens de B en C ; par conséquent dm sera la différence infiniment petite dx qui existe entre les abscisses consécutives x — BP et j|~f- dx == BP\ Ainsi , en multipliant dx par h* on aura pour le moment d’inertie de la

ligne droite CB , »

+ x’} dx zr A’x -f- ^ C.

On déüerminera cette intégrale de manière que la droite soit comprise depuis le point B ou x= o, jusqu’au point C ou x .= a ; et le moment d’inertie de la droite BC sera 1