GC' = GD' + DC*, GE1**— GP1 -+- PE

D’uue autre part, considérant la droite CE qui passe par deux |w>ints dont les coordonnées sont respectivement x, y et » , G ; la valeur r de CE nous sera donnée par l’équation

ou en développant,

r* = x1 + j* — •}. x — 2 Gy -f- a* -p- ;

réduisant au moyen des équations (33g) , celle-ci deviendra r* = r'1 — 2tfX — 2 Gy -f- r/J ; multipliant par dm et intégrant, on trouvera f r*dm — f Y*dm — 2 -jfxdm — 2 Gfydm -J- a* J dm . . . (3/Jo) :

les expressions fxdm et /y dm qui entrent dans cette équation sont milles : c’est ce qu’il est facile de démontrer par les considérations suivantes. Soient x et y les coordonnées d’un élément dm de la niasse M : les rooinens de cet élément par rap(>ort aux axes des x et des y seront respectivement y dm et xdm ; par conséquent les coordonnées xt et yt du centre de gravité de M se trouveront déterminées par les équations

Mx( = fxdm , M y, — fydm.

Or, dans notre cas, les coordonnées xl et v( sont milles, puisque

le centre île gravité est à l’origine ; nous avons dont;

[xdm — o , fydm — «y./-* '

Réduisant l’équation (34o) au moyen de ces valeurs, et observant que fdm représentant la somme des èlomens de M, cette expression n’cst autre chose que M ; l’équation (34o) deviendra

fr'dm = fÇdm + Ma* ... (34 1);

fr'dm étant le moment d’inertie du corps M par rapport à l’axe UF qui passe par le centre de gravité, concluons que lorsque 1 on connaît ce moment d’inertie , on peut toujours déterminer le moment d'inertie fr'dm pris par rapport ù un autre axe CK dont la distance à l’axe GF serait connue.

En mettant l’équation (34 1) sous la forme

fr>dm = M + a1).

on est convenu, pour abréger, de représenter — —— par X*.

Ainsi, en adoptant cette notation, nous dirons à l’avenir que le moment d’inertie, pris par rapport à un axe quelconque, sera donné par la formule

fr*dm — M (X* -f- a*).

Du mouvement d’un corps qui se meut dune manière quelconque autour d’un axe fixe.

483. Supposons maintenant que différentes forces accélératrices agissant sur les points du système , le fassent tour- Fig. ao3. ner avec un mouvement varié autour de l’axe fixe A z (fig. ao3J; chaque point m décrira autour de l’axe fixe, un cercle mno qui sera perpendiculaire à cet axe, et le coupera en un point C. Soit <p la force accélératrice qui agira sur m , et £ l’angle TwP qu elle formera au point m avec l’élément du cercle mno. Nous pouvons décomposer ç en trois- forces : la première pa-

Digitize$Ü?vj£

MOUVEMENT d’un CORPS AUTOUR d’|TN AXE.

r allèle à l'axe fixe, et qui, par conséquent, sera sans effet ; la seconde dirigée suivant le rayon mC, et qui sera détruit* *? par la résistance du point C ; la troisième dirigée suivant l’élément de la courbe , et qui aura pour expression ç> cos Cette dernière sera la seule composante de <p qui tendra à faire mouvoir le point m autour de l’axe Az.

Nommons a la vitesse angulaire qui a lieu au bout du temps f, et r la distance Cm de la molécule dm à l’axe de rotation ; la vitesse de dm, au bout de ce temps, sera exprimée par ru, art. 475, et dans l'instant dt , cette vitesse s’accroîtra de celle qui lui sera imprimée par la force accélératrice. Or si ce mobile était libre , la force accélératrice p cos S lui communiquerait, dans l’instant dt, une vitesse représentée par ^cos^.c/r (*); par conséquent l’élément dm , à l’expiration du temps t -f- dt, s’échapperait suivant la tangente à la courbe avec une vitesse égale à cos $ . dt ; mais comme dm est lié au système , sa

vitesse effective, au bout du temps t-\-dt, n’est exprimée que par ru -j- rdu. Ainsi , dans le temps t -f- dt, la quantité de mouvement effective de dm est (ru rdu) dm. Ce que nous disons de dm pouvant s’appliquer aux autres molécules , il faudra que les quantités de mouvement

2(r*-|- <p cos dt) dm ,

d’après le second énoncé du principe de d’Alembert, soient mises en équilibre ]>ar les quantités de mouvement

2 ( r» -f- rdù ) dm ,

(*) II faut sa rappulor que , quelles que soiont la vitesse dv et la forte accélératrice y, on a en général , art. 09;,.

> ^ d’où l’on tire dv = $dt :

Ainsi, lorsque In force accélératrice est y cos/, nous avous donc ûusm f cos / . dt f*>ur l’accroissement infiniment petit de la vitesse.

prises en changeant leurs directions , c’est-à-dire en les regardant en général comme si elles agissaient dans un sens contraire à celui du mouvement du corps; sauf, si le cas l’exige, à changer ensuite le signe des forces qui n’agiraient pas dans le même sens que les autres.

Or, pour que ces deux sortes de quantités de mouvement, dirigées en sens contraires, Se fassent équilibre autour d’un axe fixe , il faut que leurs momens , pris par rapport à cet axe, donnent des produits égaux; et comme les forces agissent suivant les élémens des cercles décrits par les points matériels , ces forces sont censées perpendiculaires aux rayons des circonférences décrites par les élémens : il suit de là qu’il suffit de multiplier les expressions précédentes par ces rayons, pour avoir les momens cherchés. Formant les équations des momens, on aura

2 (r3* -f- rp cos i .dt) dm — 2 (r1* -f- r'd») dm , équation qui se réduit à

Irp cos i'. dxdm — Y.r3dndm . ; . (342).

Le temps dt et la vitesse angulaire dt> étant les mêmes dans tous les termes, on peut les mettre en dehors; et comme on a à sommer une suite de quantités infiniment petites , on pourra changer 2 en /, et l’on obtiendra

defrp cos S', dm = d*fr*dm :

on tire de cette équation

dv frp cos i~.dm

fr-dm (343)'

Pour effectuer les intégrations indiquées, il faudra que , outre la position des différens élémens du corps , on connaisse par la nature du problème , la force accélératrice qui agit sur chaque molécule , ainsi que la direction i' de celte force : c’est ce que nous allons examiner maintenant.

Digitiz

oogle

nU PENDULE COMPOSÉ.

Du Pendule composé.

484- Le pendule composé est un corps ou système de points matériels qui , étant soutenu par une droite inflexible AS (fig. 2o4), fait des oscillations autour d’un point fixe A. Dans ce Fig. suj mouvement, les points matériels m, m' , m", etc., décrivent des arcs de cercle mn , m'n' , m"n", etc. , situés dans des plans parallèles, et dont les centres sont sur un même axe horizontal KL perpendiculaire à ces plans.

Ainsi , lorsque le mobile CED ne serait soutenu que par le point A , nous pouvons toujours imaginer qu’il se meut autour d’un axe fixe KL.

485. Rapportons maintenant le mouvement du pendule composé à trois axes rectangulaires Cr , Cy, Cz (fig. 2o5). Fig. a»'> Supposons que ces deux derniers soient dans un plan horizontal ; alors l’axe des x sera vertical , et par conséquent le plan des x, y le sera aussi.

La force accélératrice , pour tous les points du système, étant la pesanteur, nous aurons

i p — q>'-=q>" — p'“ etc. = g.

La force qui sollicite la molécule m se trouvant donc parallèle à l’axe Cx, nous pouvons représenter l’intensité de cette force par la partie mg de sa direction ; alors l’angle J* sera égaf à T mg , et si l’on mène la perpendiculaire /«D sur l’axe Cx , comme les angles C/nD et T ni g sont l’un et l’autre complémens de TVnD , ces angles seront égaux , et l’on conclura que CmDr=J'; par conséquent l’équation

D m= Cm cos C/nD

deviendra

Dm z= Cm cos i ,

ou plutôt

, ■ ’ y =3 z r cos<L

3l6 DYNAMIQUE. •

La valeur de cos ï donnée par cette équation , et celle de <p étant mises dans l’équation (343) , nous obtiendrons

d» __fsrdm

dt fr'dm ’ ou , parce que g est constant , on aura

^ ëfïdm

Jr-dm K h

Observons queyr/w étant le moment de l’élément dm par rapport à l’axe des x , si nous appelons y, l’ordonnée du centre de gravité par rapport à cet axe , et M la masse de tout le système , nous pourrons remplacer fydm par M y, , et notre équation deviendra

de gMj,

i;-j?dm"- (344)-

Enfin , fr*dm étant le moment d’inertie par rapport à l’axe A 2, ce moment, art. 48a, peut être représenté par M (41 Substituant cette valeur dans l'équation ( 343), nous aurons

gr,

dt k'-+-ax

486. Nous avons vu, art. 48a, que dans l’expression M ( k1 -f- a1) du moment d’inertie, a représentait la distance CG Fig.aoa. (.%• aoa ) de l’axe CK. à l’axe GF qui passerait par le centre de

(* Pour mieux concevoir comment on a le droit de mettre g en dehors, si nous remontons à l’équation (34a), nous verrons que 9 qui représente g dans cette équation, devient un facteur commun il tous'lrs termes renfermés dans son premier membre, et qu’alors il est permis d’écrire ainsi cette éq’uation ,

tpXr COS idldm — Sr'dadm.

f peut donc aussi se mettre en dehors dans l’équation (SCfl)-

DU PEWDUIJÏ COMPOSÉ. 3| 7

gravité. Or, dans le mouvement du corps, le centre de gravité, comme tout point du système , étant assujéd à décrire un arc de cercle situé dans un plan perpendiculaire à l'axe fixe , si l’on représente ce plan par .rCL ( fig. ao6), le rayon du Fig.ao6. cercle décrit sera CG = a , et l’ordonnée DG deviendra celle que nous avons désignée par y, ; par conséquent , d’après la propriété du cercle , nous aurons

X,= V 2axt — x*.

D’une autre part, si nous appelons s l’arc décrit parle point

G, la vitesse de ce point sera Or , nous avons vu , art. 475,

que la molécule située à une distance r de l’axe fixe , avait pour vitesse r* ; d’où il suit que la vitesse du centre de gravité sera exprimée par au. Ainsi nous aurons

a* = dt'

et par conséquent ,

adt *

substituant dans l’équation ( 345 ) ces valeurs de u et de y, , nous la convertirons en

gV ?.aæ ~

adt *

487. Pour intégrer cette équation, nous multiplierons ses deux membres par ttads , et nous trouverons

ds1

dt*

*z= — ds y 1 ax — x*' ■ • {346), -

J k2 + <ïj * ‘ ‘ >\

On ne peut déterminer l’intégrale' renfermée dans le second membre de cette équation , que lorsqu’on a exprimé s en fonction de xf; c’est à quoi l’on pàrvient au moyen des équations

ds — }/ dx2 + dy 2 , y;= \/ iax/ — .r/,

3l8 DYItAMIQUR.

Ct Cil opérant comme dans l’art. 365 , on trouvera

adx.

ds — —

2 ax, — x }

substituant cette valeur dans l’équation (346), nous obtiendrons

P ia'g ,

’,=-/îq£i*..

et en effectuant l’intégration indiquée , nous trouverons

Pour détertainer la constante, soit EB = b ce que devient xJt lorsque la vitesse v est nulle ; l’hypothèse de r — o et de x, ~ h nous donnera

-xa'gb

et par conséquent l’équation (347) deviendra ds 1 2axg

v‘, ou — =• - — (b — j.) ;

dt '

d’où l’on tirera

dt—

r ffe

Cette équation s’intégre facilement dans le cas où les oscillations sont très petites , ainsi que cçla a lieu ordinairement ; car, en

mettant pour ds sa valeur qu’on obtient en effaçant

xt comme très petit devant 2 a , dans la valeur

Jfi- V

.Oiaifee^ov^gOflic

jf ■un V9

UU PENIIULK COMPOSÉ.

l'équation (348) deviendra

r dx,

et l’on pourra la mettre sous la forme

«fcc.