En comparant cette équation à l’équation (a32) , page
228 , on voit qu’elles ne diffèrent que par la partie ^de l’une, , , k* n2 T,
qui dans l’autre est remplacée par — . Il en sera donc de
même des intégrales de ces équations dans lesquelles le^constantcs se déterminent par la même condition de t =: o quand
x = b. Par conséquent, si nous appelons / la longueur d’un
pendule simple, c’est-à-dire si la constante^ de l’équat. (23a) «:st ici remplacée par — , et que l'on détermine l par la condition
le pendule simple et le pendule composé feront leurs oscillations dans le même temps. L’équation précédente nous donne alors
Ainsi , par cette formtde , on peut toujours trouver la longueur du pendule simple, qui ferait ses oscillations dans le même temps que le pendule composé.
489. Si , à une distance / de l’axe de suspension , on mène à vt axe AB(fig. 207) une parallèle EF, cette parallèle aura la Fitf. 107.
Dt$fized byGoçgk
-• *■ . JL i
3îO «- DYNAMIQUE.
propriété que tous les points qu’elle renfermera feront lents oscillations comme s’ils étaient libres; car, d’après ce qui précède, on voit que ces points sont autant de peudules simples qui agissent simultanément. On les appelle centres d'oscillation , et la droite EF est Y axe d'oscillation.
4qo. Les axes de suspension et d’oscillation sont réciproques; c’est-à-dire que si l’on prend l’axe d’oscillation EF (fig. 10’]) pour axe de suspension, l’axe d’oscillation se trouvera à une distance MX égale à CD.
l’ourle démontrer, nous avons vu, art. 4^8, que la distance CD de l’axe d’oscillation à l’axe de suspension était donnée par l’équation
Mais si l’on prend l’axe EF pour axe de suspension , le corps changera de position ; car EF est une droite déterminée dans ce corps; et comme nous ignorons si le nouvel ;>xe d’oscillation passera encore à une distance MX = CD de EF, représentons cette distance inconnue MX par l', et par a' la distance du centre de gravité à EF ; nous aurons , d’après la nature du centre d’oscillation ,
Cela posé, l’équation (35o)nous montrant que / surpasse a , il s’ensuit que le centre de gravité, doit être comprjs enlre les axes de suspension et d'oscillation ; paç conséquent , il existera entre a et a' la relation
nous tirer*
•ons Mit
e cette équation
'as
•’rf xtt j*
Au ntoyen de cette Valeur, l'équation (5Si) deviendra’
MOUVEMENT HUN CORPS I.IBRE DANS l'eSPACE. 3?.t
D’une autre part, l’équation ( 35o) nous donne
on peut donc changer la valeur de l' en
et en divisant tous les termes par — , on obtient
par conséquent , lorsque EF est pris pour axe de suspension , l’axe d’oscillation KH passe à Une distance MX de EF, quiest précisément la même qui séparait les deux axes AB et EF.
Du Mouvement d’un corps libre dans l’espace.
491- Lorsqu un ct)rps ou système de corps se meut librement dans 1 espace , et que le point m du système s’est transporte de m en m' (fig. 208), si les autres points du système ont changé de position , comme ils sont tous liés invariablement au point m , ils n’auront pu prendre cette nouvelle position que par un mouvement de rotation autour du point m , mouvement qui se sera effectué dans le trajet que m aura employé à parvenir de m en ni'. Si ce mouvement de rotation n’avait pas eu lieu, le corps se serait transporté parallèlement à lui-même. On peut donc concevoir le mouvement d’un corps comme composé de deux autres, l’un qui transporterait toutes les molécules du système parallèlement à elles-mêmes, et I autre qui leur imprimerait un mouvement de rotation autour
fil™, de Mècaniij ue.
du point, m. Dans ce mouvement de translation, le point m n’étant pas affecté du mouvement de rotation , conservera sa vitesse primitive. C’est en vertu de cette vitesse que si le mouvement de rotation, introduit par cette hypothèse, n’eût pas eu lieu , tous les autres points du système se seraient mus en ligne droite dans l’espace.
Le point m , autour duquel on suppose que tourne le système , étant donc arbitraire , nous prendrons pour ce point le centre de gravité , parce qu’en général il jouit de plus de propriétés que les autres points du système.
492. Le problème se réduisant à déterminer ces deux sortes de mouvement, le principe de d’Alembert nous servira d’abord à trouver les équations du mouvement du centre de gravité. Pour parvenir à ce but , décomposons toutes les forces accélératrices qui agissent sur une molécule dm en trois forces X, Y, Z, parallèles aux axes coordonnés; les vitesses imprimées à dm , dans l’instant dt, seront Xdt, Y dt , Z dt-, par conséquent nous aurons pour les vitesses imprimées au bout du temps t-\-dt.
+ Xdt,
A f’ egard des vitesses effectives, au bout du même temps elles seront
dx ,dx
dï + ddï’
dt
dy
dt’
par conséquent nous aurons pour les quantités de mouvement perdues par dm au bout du temps t-\-dt ,
f\dt — d — ^ dm ,
Çidt — d^dm, (7d<-dÿ^dm.
MOUVEMENT d’uN CORPS LIBRE 1)AKS c’eSPACE. 3i3
Ce que nous disons de la particule dm pouvant s’appliquer à toutes les autres , si nous rassemblons les composantes du système qui agissent suivant Taxe des x, la somme des quantités de mçuvement perdues dans le sens de l’axe des x , sera exprimée par
J" (%dt — d — ^ dm. . . (353).
De même , les sommes des quantités de mouvement perdues parallèlement aux d#ix autres axes , seront respectivement
f (y* — d^l)dm • ’ • (354)>
f(lA — d—^dm... (355).
Or , dans le mouvement du centre de gravité en ligne droite, il suffit, pour établir l’équilibre, que les trois sommes de toutes les composantes^ es forces ou quantités de mouvement parallèles aux axes, soient nulles séparément; car alors l’un des points du système ne pourra se mouvoir en aucun sens , et l’équilibre s’introduira nécessairement dans le système. Ainsi , en égalant à zéro les expressions (353) , (354) et (355) , nous établirons la condition que le système ne peut se mouvoir en vertu des quantités de mouvement que nous ayons déterminées ; ce qui nous fournira les équations •
f(^dt ~ d dm — «»
^Oïdt — d dm = o,
/O - d %) dm = oj ( 1
on en déduit
dynamique.
fÿ'dm .=/*"-) fÿ dm = f Mm.)
Pour exprimer ces équations en fonctions des coordonnées xA y t et z/ du centre de gravité) nous avons, par les propriétés de ce Centre ^ , m
Mx, = fxdm, Uy, = fydm, Mz/ ~fzdm ;
différentiant deux fois de suite ces équations par rapport au temps , nous regarderons M et dm comme des constantes , puisque, lorsque le temps et l’espace varient, le corps en se mouvant est toujours censé conserver la même forme; ce qui fait que M et dm restent dans le même état. En opérant ainsi , nous obtiendrons
tPx, fd'x
u*r = .l W- dm'
dt* J dp
ePt. P d'z M —— = / — dm-,
dP J dP
combinant ces équations avec les équations (356) , nous trou-
dP J
dt' ■ J
Ces équations déterminent le mouvement du centre de gra-
MOUVEMENT d’iî!» CORPS LIBRE DANS I.' ESPACE. 3a5
vite du oorps M ; car , étant intégrées, elles nous font connaître les vitesses , ~ du centre de gravité parallèlement
à chacun des axes. • -
4g3. Les équations (357) nous donnent les moyens de démontrer une propriété remarquable du centre de gravité. Pour cet effet, soient X,, Y,, Z, , les composantes de la résultante de toutes les forces accélératrices, nous avons
MX, = /Xdm , MY, = fYdm , MZ, = fZd/H ;
éliminant la partie intégrale entre ces équations et les équations (357), on obtiendra
tL — Y -Z !
<Ù‘ ~ dP
= Zr
Or, si toutes les forces motrices étaient immédiatement appliquées au centre de gravité parallèlement à leurs directions , elles auraient pour composantes X,, Y,, Z,, et leséquations du centre de gravité, qui se trouveraient celles d’un point matériel, se détermineraient par leséquations ( 1 8q), art. 33o, et seraient précisément les mêmes que les équations (358) ; d’où il suit que le centre de gravité se meut comme si toutes les forces du système lui étaient immédiatement appliquées.
/[(){• Pour déterminer les équations du mouvement de rotation, nous considérerons le cas le plus fréquent du problème général : c’est celui où le corps est uni par une force accélératrice qui ne passe pas par te centre de gravite ; alors en menant par le centre de gravité G ( fig. 209) une perpendiculaire GL jq(, JOg.' sur la direction de la force accélératrice, la force MN tendra à faire'tourner LG autour du centre de gravité G, et fera décrire «• au point L le cercle LKH; ce point L, en tournant, imprimera donc au mobile un. mouvement de rotation autour d’un axe qui serait perpendiculaire au plan du cercle L11K, et qui passerait par le point G. Cet axe étant fixe, nuits pouvons déterminer le
mouvement de rotation autour du point G ; car soient v la vitesse
imprimée an centre de gravité par la force accélératrice, Q la perpendiculaire GL , M la masse du corps , et f r*dm son moment d’inertie, la vitesse angulaire sera donnée parla formule
. ••■•... - vMQ
. ' • . •. ‘ “.T fridm ’
te moment d’inertie étant pris par rapport à un axe qui passe par le centre de grayité, se réduira à MA*, et l'équation précédente deviendra
’• pQ 'J
telle est l'équation qui déterminera la vitesse angulaire , lorsqu’on aura calculé la vitesse v du centre de gravité au moyen des équations (35q), modifiées convenablement pour ce cas.
Equations générales du mouvement d’un système quelconque de corps) principe général des aires , et application de ces théories h la position du plan principal.
4g5. Soient p, p',p", etc. , les vitesses qui animent différens points matériels d'un système, les quantités de mouvement gagnées ou perdues seront mp, m'p' , m"p", etc. ; par conséquent, elles devront se faire équilibre en vertu du principe de d’Alcmbert : ces quantités, de mouvement pouvant être considérées comme des forces appliquées aux points m, né, m*, etc. , seront donc assujéties à remplir les conditions générales de l'équilibre des corps. Or, ces oonditions, lorsqu'il n’y a aueun point 'fixe dan« lé système, donnent lieu à six équations, comme nous l'avons vu dans la Statique.
Ainsi, en menant par chacun des points du système, trois axes parallèles atix axes rectangulaires coordonnés, les eomposantes
de mp seront mp cos *. , mp cos C , de m'f>' seront m’p' cos x' , m'p' cos C , de m"p" seront m"p" 00s tn"p“ ros f* , etc. ' etc. eto.
mp cos y , m'p' cos yr.
m"p" coS y etc. > ' ’•
ÉQUATIONS GÉNÉRALES OU MOL Y. u'uN SYSTÈME.
Par conséquent, nous aurons pour équations d’équilibre
lmp cos* = o, lmp cosC =a o, , ïmp cos y = o. . . (35g) ,
lmp (x cosC Xmp (« co s * lmp ( y cos y
-a- y cos*) sa o,
— x cos y) s o, .... (36o)-
— c cosC) as o. ’ t
4g6. S’il y a un point fixe dans le système , les équations (33g) cessent d’exister, art. i3i , et les équaiions (36o) seront suffisantes , pourvu qu’on place l’origine à ce point.
497. S’il 7 a deux points fixes, on mènera une droite par ces deux pointa , et , la prenant pour axe des 1 , il suffira de la première des équations (36o) pour établir l’équilibre, art. i3» et i33. »
498. Nous n’avons indiqué les Vitesses perdues que par les signes généraux p,p p", etc.; il s’agit maintenant de les exprimer en fonction des forces accélératrices qui sollicitent les différons points dp système.
Pour cet effet , ne considérons d'abord que le point m , et supposons qu’on ait réduit toutes lès forces qui agissent sur ce point & trois forces accélératrices X , "Y , Z , respectivement parallèles aux axe»Coordonnés , la vitesse du mobile suivant l’axe des x, au bout du temps t, sera,
’ dx ,
art 294 et 293, — } par conséquent, cette vitesse, au bout du temps
\ , dx dx * i
t + dt, deviendra - — h «f.— : telle sera la vitesse effective du point m.
dt dt ^ •
Mais si, à l'expiration du temps t , le mobile m était entraîné par la force accélératrice X , cette force imprimerait, dans l’instant dt, au point matériel m, une vitesse exprimée par Xdt, article 098, donc dx'
- - -f- Xdt exprimerait la vitesse du mobile, dans l'hypothèse où il serait libre à l'expiration du temps dt qui succéderait à t; par conséquent la vitesse;perdue ou gagnée étant égale à cettedernièro vitesse , moins la vitesse effective, aura pdur expression ^ ", 1
dx
dt
„ . (dx , itx\
dx
Ainsi , en réduisant , on aura Xdt — d. — pour la vilesso perdue ou
tu
gagnée par le point m, dans la sens des x, au bout du temps t-f- dt En multipliant cette vitesse par la massn m ; on voH donc qu«-, . u . .
- («-•'£) exprimera la quantité de mouvement perdue on gagnée
dynamique
par le point m dans Je sens des x ; par couséquen t on aura . <yf mp cos * ' =? m (x* — Î5V ; . . (36i*.
En considérant ensuite Je mouvement du point m, suivant les deux autres axes, on trouvera de même
■c "V» cosC *+(y* - ÏQ... (36a) f ' ;
"V coS> — m ^Z* — . . . (363).
J3ti formera des quantités analogues pour les autres points m' , m“, "i , etc.; et en comprenant toutes ces quantités sous le signe 2 les l35^ et (36°) deviendront,, au moyen dca équations (36i), (36a)
2mfe:=:SmX, Zm^=-ZmY, = - (364),
T rn f -r/1\ v ^
= lin (xY — rX)
= 2m (rX — xZ) > . . . (365).
= 2m (>Z — xY)
dt *
fad?x • —
dt*
Çjd’s —
Zd'jr)
dt *
Tejl^s seront, dans toute leur généralité, les six conditions nécessaires pour le mouvement d’un système quelconque de corps.
499. Les expressions xY — j^-X, sX — xZ , ,rZ — xY , qui entrent dans les seconds membres des équations (365) , sont nulles lorsqu'il n entre aucune lorce accélératrice dans le système , ou lorsque ces forces tendent vers l’origine, ou enfin lorsque les points matériels des corps m, m ,m , etc. , ne sent soumis qu’à leur action mutuelle. Dans le premier cas, le» forces accélératrices n’existantpoint, lo mouvement du système ne peut provenir que d’une impulsion unique , 'otles forces accélératrices étant nulles, il en est de même de leurs composantes , ce qui nOHsdônne
et les soconds membres des équations (365) s’évanouissent.
500. Les seconds membres sont également nuis lorsque les forces accélératrices tendent vers le point que nous avons pris pour origine des cordonnées. En effet , nous avons vu , art 336, que lorsque le centre
Fig-|65. *65) necoïneidait pas avec l’origine A, si l’on représentait par a,
b, c les coordonnées dù centre d’attraction , et par p, p', p", etc., se*
«. Qiqüze
>gle
EQUATIONS GENERALES DU MOUV. d’lN SYSTEME. 3tLQ ■listanccs au point M , les composantes des’ forces accélératrices P, P7, P", etc. , dans le sens des axes coordonnés, étaient
p Cr - »)
Cr'- *)
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.rü-z-ù
etc..
