PY
etc. ,
Px pr p* px‘ py
à la place de X, de Y , de Z, de X', de Y', de Z', etc., dans les tupressions * '
xY — yX, *X — xZ, — xY, x'Y' - y'X', etc. . . (366),
on verra que toutes ces quantités se détruisent. Par conséquent, lorsque les. forces accélératrices sont dirigées vers un centre attractif pris pour
origine, les quantités (366) devenant nulles , las seconds membres des trois équations (365) s’évanouiront.
5oi. Il en est de même lorsque les points matériels ne sont soumis à aucune autre force accélératrice f|ue leur attraction mutuelle. En effet, écrivant ainsi les seconds membres des équations (365), »
m (xY — rX) 4- m' (x'Y'— y'X') 4- etc,,
m (sX — xZ) + m' (s'X' — x'Z') 4- etc.
m (yZ — zY) 4- ni' (y'Z' — s'Y') 4- etc
en considérant deux h deux les points matériels du système, il est évident que la force raotriie exércée par le fioint m sur le point m', est égale & la force motrice exercée par le. point m' sur le pointm. Par conséquent , en nommant X , Y , Z; X‘ , Y' , Z', etc, , les composantes des forces accélératrices P, P', F', etc., nous aurons
nt'X' = — mX , m'Y' = — «Y, m'Z'= — mZ;
- Yï
«ttiikr. t.-i'
33o JlYK.VMlyUK.
éliminant X' et Y' uu moyen de ces valeurs , la première dus expressions (.I67) deviendra
mY (j — *') — mX(r —S)-- ■ (368)';
mais la force motrice dont X, Y et Z, sont les projections , étant rcpre-* senlée par P, et la distaocedes deux points m et m' par p, dn aura pour les cosinus de l’angle formé par cette force avee les axés des x , des y et des z,
Le qui donnera
Substituant ces valeurs dans l’expression (368j,fon obtiendra
• mP (r ~ - r *\y -y’y
quantité évidemment nulle, par son identité.
On prouverait , par le même moyen , que toutes les autres quantités qui composent les expressions (36?) se détruisent également; d’où il résulte que, dans le cas où les points ni, m' , m" qui composent le système, ne sont soumis qu’à leur action mutuelle j les seconds termes des équations (365) se détruisent; et comme cela a lieu indépendamment du choix de l’origine, il en résulte que cette origine peut, dans ce cas, être placée en quelque endroit que ce soit.
5oa. Lorsqu’un des trois cas qu’on vient de considérer aura lieu, les seconds membres des équat. (365) s’évanouissant, elles seréduisent h
1m (xd'jr — yd'x)
1m (zd'x — xd'z) -,
. ~dT' “ Q’
• 1m (yd'z — zd'y)
rf<» . — ° ’ ’
les quantités qui sont entre parenthèses étantdesdifférentielles exactes, ces équations peuvent se néettre sous celte forme
Imd (trdy — ydx)
Imd'lzdx- — xdz) '
^md {jdz — 2,'dr)
ÉQUATIONS GÉNÉRALES 1»U ItfOUV. 1>'UN SYSTÈME. 33 I
Par conséquent , en nommant à, a.’ , a“ les constantes arbitraires, tes équations auront pour intégrales , "
- , . ■ 2m (jr«ir — ydx)*=t adt, \
2 m {fdx — xdz) m; a'di, J. ; (369).
2 m { ydt >— $4?) = a."dt. I
5o3. Pour savoir ce#que signifient ees intégrales, menons les trois axes coordonnés Ax, Ay et Ai (ftg.'aio) ; nommons AP = x, l'Q — y , et Fig. 210. représentons par AQ = r la projection du rayon vecteur Am sijir le plan desx,.y, eppar 6 t’angle formé par AQ avec l’axe des r; Parc infiniment petit QQ' décrit avec le rayon r étant dans le rapport do r à l’unité avec l’arc 8 qui est décrit par le rayon 1 , aura pour valeur rdB , et le triangle APQ, rectangle en P, nous donnera .> <, ■
x = r cos 0 et y = r sin 8 ; difiërentiant , on obtiendra
dx •= — tr sin Bd6 ■+■ cos 8 dr, dy = r cos OdB -+■ sin Ode.
Substituant ces valeurs dans l’expression .r dy — ydx , nous trouverons {xdy — ydx) = r’ dB = 3 (•J r.rdB) = 3 air a QAQ' ; par conséquent
m {xdT —-ydx) = om {aire QAQ').
En formant des produits analogues pour toutes les masses m' , m", m", etc. , nous trouverons que la quantité 2m (xdy — ydx) se compose rie la somme des produits des masses m, m' , m1', etc., par le double des surfaces élémentaires qui , telles que QAQ' , sont engendeées par le mouvement des projections des rayons vecteurs Am* Am', Am", etc., pendant lé temps dt.
5oj. Si l’on intègre dp nouveau les équations (36g), on trouvera ,
. /2m {xdy — ydx) = al -f. b ,
1 f"Sm {idx — xds) — t/l -f- b' ,
/2m {idy — ydi) =3 ç"t / i";
mais , comme le temps commence avec la surfaçe , les constantes If, b' , b", sont nuHcs , et cas équations sp réduisent ij
/2m {xdy — ydx) =•= *«; ‘ J
/2m ( idx — xdz) — a' t, \... (dyo).
t .■ . /2m ( idr — yJi)xn <É't. j. •
332 ' * *lVN.%MfQUF. . V * *
Ces équations noua disent <fue les produits des masser par les projections des aires qu’engendrent dans leurs mouvement les rayons vecteurs , sont proportion uels au temps employé à parcourir ces projections.
Cet énoncé renferme le principe1 Üe la conservation des aires dans sa pluï grande généralisé. . r ' v * * ' * •
505. Le système que nous Tapons de considérer est supposé libre; mais s’il renfermait uo point fite, les équations (365} ne pourraient
» "Subsister qu’en plaçant l’origine à ce pbint; il en sera de même des équations ($70) qui proviennent de cellcs-ci. Ainsi , lu principe des aires perd dans ce caçde ça généralité, et ne laisse plusj’oçi^ine à notre • disposition. " . . • , .
506. Au reste , il est facile de’ Rassurer que lorsqu’il y a "un point fixe pris pour origine , les seconds membres des équaliouè (365) s’évanouis-
ig. a ■ 1. sent. En effet, si Ton représente par A r (fig. an) la force qui, du point A, agit sur m, les composantes de A r seront
A/J=X, pqz= Y, ÿr= Z;
et le point m ayant pour coordonnées
AP = ±, PQ=.r, Qm = *,
si l’on compare les triangles rectangle» APQ et AmQ aux triangles rectangles A pq et A rq , on aura les proportions
ou
A,. : AP :: rq : pq A? : aq ::
d’où 1
on tirera
V ■ mQ>
xY — yX o , çX — x'/j m O, .rZ — zY = o.
De' pareilles équations devant avoir lieu pour’les autres points ni , ni' , m” , etc. , 0% aura
■y-n> (xy —y X) =i o ,* Sot (zX -, xZ)f= o , t Xnt ( yZ — *ï) r— d ; /
Ce qui montre que, dan, ce cas , lé principe des aijes a encore lieu.
« .'107. S’il y a deux points fixes , nous avons vu, art. i3a et 133, qu’une Seule des équations (ÿo), page 71 , était satisfaite ;il cri sera donc de môme des équations (365)f : alors une seule des trois équations (36g) aura lieu , ce qui réduira le principe dés aires it n’exister que pour un des plans coordonnés. . -
$08. Si Pon a égard aux modifications que' nous avons indiquées,
PRINCIPE GÉNÉRAL ,DE LA CON9ERV. DU CENTRE I*K GRAV. 333 art. i55, les quantités que nous avons dépommées, art. i53, A, BetC, uefepresenteront plus la somme <les projections, mais bie^rla somme des momens-pris paT rapport au plan principal ; ces quantités ne seront donc autre cliose que celles qui ont été désignées par a , par v' et par a", dans les équations (370). ïap conséquent, la somme des projections sur le plan principal, donnée parles équations (82), page 80, sera ici
■ /\im{ydz—zdj)y [2m jzdx — xdrT]» f 2m (xcjy — ydz)] '
V 'A\. 4t* . ’+‘ dn
Pour simplifier, représentons l'expression précédente par
et remplaçons de même les fonctions A, B- et C des équations (84), page 81 , par par a' et par a, on aura pour déterminer les cosinus du plan principal arec les plans coordonnés,
V a* -f- a'» -p a'»’ # COS> = '
cos C 5= — ±7
y a’ ■+ a'* -fi a"» ’
Principe général de la conservation du centre de gravité ;
5og. La théorie du centre de gravité nous a appris, art 1 67 , qu’en nommant xjtyn t,, les coordonnées do ce centre , dans un système de corps mm, etc., on avait ■ - W
(m + m' -h m" -+- clc.jx, = 1111 + mV+ m"x“-f- etc;, t . •
(m -b m‘ + m"-t- etc.jr, == mr + nér'-p etc., !. . . (372 .
(m + m' -P m'4- etc.)s, =. nu -+■ m'z’-i- ,mY+ etc* J
Or, si l’on représente parvM la somme des masses , et que par 21 placé
devant le premier .terme. 4“ second membre fies équations (3^2) y on indique ce second membre , les équations (37a) pourront s’écriVc, ainsi :
Mx, = ïrai , ÎHjr, — ^rnr, Mx, — 2ntx. . . (îyâ).’
Cela pôsé, regardons les coordonnées x,, jrn x,j x, y j x', y> z \ xf ,y“ , etei, comme des fonctions du temps; et difléfentions Jeux fois de sinte l’équation Mx, = 2 mx , que nous mettrons sous cette forme f
Mr, rsz nu -f- niV -f- m*x" -f. etc. ,
les masses m,m' , m", etc., étant des constantes, nous obtiendrons
d%x d*x d * xn
■+• etc. j
ceuc équation peut, au moyen de notre notation" , être indiquée de la
sorte1: ' • • -*
df*
dt*
S io. En opérant de même pour les autres coordonnées, on voit qu’en général les trois équations (3^3), après avoir subi nos deux différentiations par rapport Üf, nous donneront
d’*, - d'x M d*r. __ d'r », d»a, . d*i dt% dl* ’ dla d<» ’ dl> dt»
Si Fon met à la place des*seconds membres de ces équations, leurs valeurs données par les équations (364) > nous obtiendrons (
M *r = 2'mX»
= mSl=2”>z;
nommant X/; Y,, Z,, les composantes de la résultante do toutes les forces accélératrices, on aura • *
MX, = 2mX , MY, = XmY , MZ, = ZmZ.
Au moyen de ces équations, .lès précédentes deviendront ' •
dix
dsy,
dt*
équation de même forme que les équations (184), page ig3, qui supposent les forces accélératrices appliquées à un point; par conséquent, de même que dans l’art. 4g3, on conclura que le centre de gravité doit se mouvoir conAie si toutes les forces accélératrices lui étaient immédiatement, appliquées. ’
•5i,i. Si les forces qui composent le système ne sont- soumises à d’autres forces accélératrices qu’i lçur attraction mutuelle, les équations
(.374) se t-éduisent à v
rf’x' — *o d'J‘ ' •' »
et > en le» intégrant deux fois dfe suite , ou trouvera d’abord » - {
dt
dt
PRINCIPE GÉNÉRAL IIK LA CONSF*HV. UC CENTRÉ BF. GRAV. 335 et ensuite, ' *■ , , ’ \ • ■ * '
x^it+a', jT'^zbt + b't r,= cf-+-e';
et, en éliminant t , on obtiendra {
Ces équations étant celles d’une droite dans l’espace, on voitg(ue le mouvement du centre de gravité Sera rectiligne.
5ia, Si, de plus, les points matériels sont soumis h une force accélératrice constante qui agisse toujours suivant la même direction, on placera dans cette direction un des axes, celui des z , par exemple, et les équations du centre de gravité deviendront alors
dt‘
on pourra donc , compte dans les articles 4>8 et 4*9 > prouver que la trajectoire est une parabole.
5i3. Enfin , il est faeile de démontrer que si deux ou plusieurs corps du système se choquent pendant le mouvement du centre de gravité, la vitesse n’en sera pas altérée. En effet, l’expression générale dé cette vitesse, suivant les axés coordonnés, étant d’abord la première chose à obtenir avant que de voir ce qu’elle devient dans les deux hypothèses du problème , on déterminera cette vitesse en diffiérentiant les équations (3^3) par rapport au temps , ce qui nous donnera.
dy
Cela posé, si l’on nomme a, a', a!', etc. ,et A, A', A", etc., les vitesses des point? m, ni' r m", etc., avant et après le choc 5 et qu’on substilûe successivement çes valeurs dans la prcpiière des équatiohs (375), on aura •»
Xma = ce que devient M -j-' avant le -choc,
, • - 1 • dx - ' ’
2mA =. ce que devient M' — après le choc ;
ainsi, la somme des ' quantités de mouvement perdues à rin$lant du choc dans le sens des x , sèra Tma — 2mA- On trouvera de même que les sommes des quantités de mouvement perdues dans le sens des autres axes, sont respectivement - ' ' «
S mi — 2mB et 2 me — SmC j ’
Fig. ai a.
Fig.at3.
33G ' n\y\mt<ivv.., , -
etcdmmc, en vertu des équations (3 (>9), ces quantités de mouvement doivent so détruire, on a donc *
ïma — 2m A , ’Smb = XmB, 2mr = 2mC ; T
; ti '
♦ * v< , dx . r , (if
ce qui|>roiive que lçs valeurs de , de ét de — , c'est-à-dire les
vitesses du centre de gravité^ n’éprouvent aucune altération par l’effet
du cAc. “
5i4- Cette indépendance de l’action mutuelle des corps du sjstèmc, est ce qui constitue le Principe gén&al de la conservation du centre de granité. • '
Principe général' de la conservation des forcer Vices.
5^5- L’équation des vitesses virtuelles est , d’après ce qu’on a vu article a8a,
Vp -f- P * p -f- P "p" -f- oie. — ô j
mais Comme dans les derniers paragraphes, nous avons désigné les vitesses ordinaires par les lettres’ p, p' , p", etc., pour ne pas confondre avec ces vitesses les projection* dçs vitesses- virtuelles , nous indiquerons. cos projections de cette manière, Sp, Sp' , Sp”, etc., çt alors l’équation précédente deviendra ,.i
P dp ■+■ F Sp"-b P "dp" ■+■ etc. —o... (3j6). c
Nous nous rappellerons seulement qu'en représentant les vitesses virtuelles des points m, m , m" , etc., par les chemins infiniment petits mn, n/n', nf n", etc., que décrivent ces points, les quantités lp , îp’, Sp", eiçj, ne seront autre chose que les projections ml, m'V, m“l", etc. (fig. aia)7 des vitesses virtuelles mit, nf tf, m“n“, etc., décomposées suivant les directions des forces P, P’, '"'P", etc. N
5 1(>. Cherchons maintenant à exprimer les quantités Sp, Sp', Sp", etc., en fonction de leurs projections sur les aies coordonnés rectangulaires. Pour cela, soient Sx, ty et Sp lés projections de la droite mn sur ces trois axes; ces projections seront données par les arêtes ma, mb, me, d,’un parallélépipède- cba (fig. at3), qui aurait mn pour diagonale. Or, la projection ml Aê la vitesse virtuelle, étant représentée par Sfr, nous
avons évidemment < . t
* - . ' ip = mn cos Imn . , . (3, j) j " > ,
et comme ce cosinus dépend de ceux que forment avec les axes coor-
* Il «y
VT
<uir^
PRINCIPE GÉNÉRAI. DE LA CONSERV. DES FORCES VIVES. 337 donnés les droites mn et ml entre lesquelles l’angle Imn est compris , nous allons chercher les expressions analytiques de ces cosinus. Pour cet effet, en considérant d’abord ( fig. ai3) le cosinus de l'angle que .la Fig.aiî. droite mn forme avec l’axe des x , on verra qu’il est égal à
ma
mn
on trouverait de même que les cosinus des angles formés par mn avec les deux autres axes sont respectivement
mn
et
Si
D’un autre côté, les cosinus des angles que la droite mP fait avec les axes coordonnés étant, par hypothèse, cos « , cos f et cos y , on aura par la formule (74), page 77,
, Sx , Sy -, te
cos Imn — — cos x -f- — cos C -f cos y ;
mn mn mn 9 1
au moyen de cette valeur l’équation (377) deviendra
Sp — cos a. Sx -+• cos C. J'y -f- cos y .te. . . (378).
De même, en nommant <fx', S/ , Sz\ Sx", Sy ", te", etc. , les projections de mn , de mV, de m“n", etc. ( fig. ata), sur les axes coordonnés, Fig. ata. nous aurons encore
Sp’ — cos x’ .Sx' -+- cos C ’.sy -h cos y’. Si’,
Sp’ — cos x". Sx" cos C " . Sy" ■+■ cos y.".*",
etc. etc. etc. etc.
Outre ces valeurs, qu’il faudra substituer dans l’équation (37G), nous y remplacerons les forces P, P', P", etc., par les quantités de mouvement perdues mp , m'p', ni"p", etc., et en indiquant les expressions analogues par la caractéristique 2, nous aurons
2 (mp cos a.. Sx + mp cos C. Sy -f- mp cos y.Sz) = o. . . P79).
517. En ne considérant qu’une des quantités analogues' que comprend cette équation, celle qui se rapporte à m, par exemple, et qui est
mp coS x.Sx -f- mp cos C. Sy -f- mp cos y. te,
on reconnaîtra facilemcu^ue cette expression n’est autre chose que le produit de mp par l'accroissement de la vitesse p lorsque x, y et * deviennent x -f- Sx , y + Jp, s d-’tf*. En effet, si nous représentons la vitesse p par la droite mo (fig.’au),‘et par a, h, c, les coordonnées de son Fig.au. Êlém. de Mécanique . 22
MV
extrémité o, comme celles du point m sont, par hypothèse, x, y, *, la formulo de la distance de denx points dans l'espace (note de- l’art. 46, page -jo ), nous donnera ' ...
Pour tirer de cette équation la râleur de ip , il faudra changer x en r + /j, / en y + f/ cl < ens + ft, et supposer que p devienne alors P 4- ip; et, en élevant au carré, on trouvera
{p 4- ip )* — (x — a -f- iftr)* 4- {y*— b 4- iy'p -h (t — c -f- iz)1.
On déduit da cette équation la valeur de ip , après avoir effacé les infiniment petits du second ordre; mais cette opération revient à celle de la différentiation de l’équation (38o) , d’oïl l’on tire immédiatement, après avoir changé d en i,
ip =
iy
is.
Les fractions , , ,
qui entrent dans cette expres-
sion étant les cosinus des angles que la vitesse p, représentée par no, fait avec les axes coordonnés, comme cette vitesse fait partie de la droite mP, elle a done la même inclinaison ; par conséquent les cosinus sont les mêmes que ceux que nous avons désignés par cos g , par cos C et par cos y. Au moyen de cette dernière observation, on peut changer l’équation précédente en
ip = cosa.cfx cos C.iy 4- cosy-./r,
valeur qui nous fait retomber sur l'cquation (3y8).
5i8. Malgré cette identité de la valeur de ip, considérée comme projection de la vitesse virtuelle, et do celle de ip qui nous est donnée immédiatement par la différentiation, ne concluons point cependant qu'il n’y a aucune distinction à faire entre les accroissemens rfx, iy,is, tp et les différentielles dx, dy, de et dp.
Nous allons voir, nu contraire, que ces quantités ne sont égales qu’en certain cas. Pour cela, soit F (x, y , s, 1)= 0 l’une des équations du problème, si lo système reçoit un dérangement infiniment petit, et que t ne varie pas, il suffira de modifier les variables qui se rapportent à l’espace, c’est-à-dire de supposer quex, y, z deviennent x-f-ix, y 4- iy, z -j-iz; et si l’on retranche du nouvel état de la fonction son état primitif, en rejetant les infiniment petits des ordres inférieurs, on aura
f [(x 4- ix), + iy), (s 4- i*)] - F (x,y, s),
PRINCIPE GÉNÉRAL DE LA CONSEHV. DES FORCES VIVES. 33g
pour l'accroissement do la fouction, c'est-à-dire une quantité de la forme suivante :
Mcfr ISJy Vtz,
niais si l'on différence la même fonction, et que le temps soit compris entre les variables, on parviendra & un résultat de cette forme
M<£r -f- N<fr -4- P dz -+■ Qdt,
et l'on voit qu'il ne peut y avoir identité entre les deux expressions, qu’autant que ( est constant ; car alors le terme Qde disparaît.
519- Le cas où le temps entre comme variable dans les équalions.d’un système, se rencontro, par exemple, lorsqu'un des corps est assujéti à se mouvoir sur une courbe ou sur une surface courbe, ou lorsqu'il est placé sur une courbe on sur une surface en mouvement , ou lorsque la vitesse est introduite dans l'une des équations par la considération du frottement ou d’un milieu résistant ; car cette vitesse, en vertu de l’équation (i5i), page 167, introduit l’élément de temps dt dans lo calcul.
5ao. Il suit de ce qui précède, lorsque t entre comme variable dans une équation, on ne peut admettre qu’on ail
tx — dx, Jy = dr , tz — dz.
Dans ce cas, le dérangement introduit dans le système n'est point celui qui lui succède immédiatement, cl qui est dans le chemin que lui fait prendre son mouvement; car ce nouvel état aurait lieu lorsque les coordonnées deviendraient x+dx, y + dy, z-hdz. En un mot, les coordonnées x -+- dx, y + dx, z -4- dz, se rapportent à l'ctat effectif du système au bout du temps' dt ; tandis que les coordonnées x -f- fx, y -f. Sy , z + fz, se rapportent à un des états très rapprochés de la position primitive que le système est susceptible de prendre au bout du temps dt , mais pourvu que la disposition mutuelle des corps ne s’y oppose pas.
Lorsque le temps est constant et que, par conséquent, le terme Qdl n’existe pas dans la différentielle, on a donc le droit de supposer
tx = dx, Sy = dy. Je — dz-,
et alors c’est admettre que l’état réel du système, au bout de l’instant dt, est celui qu'on lui donne en vertu du petit changement qu’il subit.
5at. Ainsi, lorsque les équations du problème ne renferment pas lo temps, on peut supposer que les projections ix, Jy , Jz de la vitesse virtuelle sont les différentielles dx, 4y, dz. Cetto hypothèse convertit l'équation (fyj) en
Z (mp cos tz.dx -f- m/i cos C dr •+• mp cos y -dz) = o;
3^0 dynamique.
remplaçant my cos « , mp co» C, mp cos y, par leur» valeurs que donnent les équations (36t), (36a) et (363), et divisant par dl, l’équation prccédenle deviendra
(dïd'x -4- dyd'r -+- dzd'z) 2m(X(£r + + Zd:)i
dl *
ou plutôt
