CE
1 ar exemple, si la demi-largeur dn parallélépipède est do () mètres et la hauteur de la carène de 4 mètres, on trouvera que la hauteur du mélaeentre au-dessus dn centre de gravité de la carène est de 6“ J , et si l’on en retranche la hauteur de la carène, il restera a» } pour la distance du métacentre au niveau do l’eau 5 ce qui montre qu’il faudrait que le centre de gravité du parallélépipède s’élevât au-dessus de a™ f.
jSo. Pour seconde application do la formule (|i5), considérons une carène dont la coupe verticale ABE (fig. a36) est un triangle AEB, rectangle en C ; ce triangle étant, par hypothèse, une figure symétrique, doit être isoscèle. Donc, Si l’on abaisse la perpendiculaire CE sur lecfttéAB, la similitude des triangles AEB, AEC prouve que AEC est aussi isoscèle , et que la hauteur EC est égale à la moitié de la base AB ; dono les quantités qui entrent dans les formules (4i5) sont dans ce casj
a* = aire triangle — AC' , n = G = i CE, b = ÂC = CE;
par conséquent, en mettant ces valeurs dans cette formule, elle se réduit h
et si l’on retranche de cette valeur la distance de O au niveau AB de I eau, comme O est an tiers de CE, à partir de la base du triangle, il restera jCE, pour la distance mC du métacentre au niveau de l’eau. Donc , dans une carène symétrique dont la base est un triangle rectangle, le métacentre de chaque coupe verticale est autant au-dessus du nivequ de l eau que le centre de gravité de /a coupe est au-dessous.
58i. Si nous appliquons la formule (4>5) au corps régulier dont la coupe est ABE, nous verrons que la quantité b est ici égale i AC, et que «*, qui exprime la surface de la coupe, équivaut à AC X CE = CE’, et qu’enfin le centre de gravité de la coupe étant distant du niveau do l’eau d’une quantité égale à t CE’, comme tous les centres de gravité des autres coupes en sont tous distans de la. même quantité, il doit en être de même du centre de gravité G de tout le corps ;d’«ù il suit que G 5= fCE. Substituant ces valeurs dans l’équation (4t5), on aura encore
«O == j CE;
DM COUPS PLOYTANS , Ole. 377
d'ou l’on conclura que la même propriété, qui est énoncée art. 58o, a également lieu pour le métacenlre de toute ta carène.
58a. Si l'on imagine maintenant que le poids du corps soit concentre à son centre de gravité, on peut déterminer, par la théorie du pendule composé, les oscillations’de ce oorps autour du métâcentro. t’our cela, changeons la position des axes des coordonnées, en plaçant l'origine au ceplrodo gravité; il sutlira ensuite de mettre la valeur convenable de y) dans la formule (337), fl UÎ > comme on l'a vu à la lin de l'article <J85, revient à celle-ci :
dt *• -f- a* n
car, à l'aide de cette équation, on pourra parvenir à connaître la vitesse angulaire a, et ensuite k trouver le temps t de l'oscillation. Mais il est q remarquer que l’axe des y, employé dans cette formule, ayant été placé perpendiculairement à la direction de la pesanteur, notre axe des x devient l’axe éesy de la formule (4<6); par conséquent, l'ordonnée^,, qui détermine lé moment du centre de gravité par rapport au plan desx, z, devra être remplacée par l'abscisse x, , qui déterminé le moment du centre do gravité par rapport au plan dos jr, t.
583. Pour obtenir la valeur de cette abscisse , nous avons vu , art. 076, que la distance du metacentre m, au centre de gravité O de la carène, avait pour expresaion ~
appelons A cette quantité , et nommons B la distance de O en G (fig. 237), nous aurons donc •
*Gm = A -+■ B. ......
Mais il faut remarquer que le point G poovant tomber au-dessus de O, art. 566, on peut avoir aussi
— Gm = A — B;
par conséquent nous comprendrons les deux cas en écrivant
Gm 3 A ÿ B. r
Cela posé , l'angle LmG (fig. 237) , formé par la verticale mL avec la nouvelle direction de cet axe , étant représenté par 6 , nous aurons
GL = Gm sin 6 ;
remplaçant le sinus par l’arc , parce que cet arc est très petit , et su|wls tuant la valeur de Gm, celte équation deviendra
Gl. — (A rt B) 6;
Fig. 237.
Fig. 237.
HVUROSTA'J'lyUE.
mettant ccIUj valeur de y t dans la fortyiule (4 nous obtiendrons
d* ç(A dt B) 6
• tfc • ï ^ Ar» -f- a “* v 4
584. D’un autre côté, la vitesse angulaire c$ étant celle qui correspond à l’espace circulaire 0 décrit' avec l’unité pour rayon , cette vitesse sera
db
égale à la différentielle de cet espace , divisée par dt , c’est-à-dire i yj
* * * j • dt
Fig. 237 • et comme, lorsque lo temps s’accroît, l’arc In (fig. 237) diminue, on doit suppoqf df) négatif. {Voyez la note de l’art. 365.) On aura donc
.. dB
eu multipliant ces deux équations par ordre, cela aullira pour élimiuer dt, et l’on obtiendra
faisant, pour abréger*
k* -*-aa . ”
d*fi-
et multipliant par 2 , pour qu’on puisse immédiatement intégrer, en aura
2E ùdO 2 aedu J
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effectuant l’intégration , il Tiendra
