MS POMPES
n'occupe plus que la moitié de CE. On voit de même que l’espace E d, occupé par l’air, sera réduit au tiers de EC lorsque BA' sera de deux fois ■jô""'’; ainsi de suite.
Si l’on ôte successivement le mercure du tube, l’air se rétablit dans son état primitif ; çe qui prouve qu’il a encore la propriété d’étre fluide parfaitement élastiqire.
Des Pompes.
5qt Une pompe est une machine composée d’un tuyau qui, à l’aide du ressort de l’air, fait monter l’eau.
Il y a trois sortes principales de pompes: i° la pompe aspirrante; 2° la pompe foulante ; 3° là pompe aspirante et foulante.
La pompe aspirante (fig. est formée de l’assemblage de Pjg deux tuyaux AjBCD, CDHL unis ensemble, et dont le premier est le tuyau d’aspiration, et le second le corps de pompe. Ue jeu du piston est l’espace MNHL, dans lequel il peut se mouvoir. Voici l’effet de la pqmpe aspirante.
Çètte pompe étant placée de manière que sa partie inférieure AB soit au niveau de l’eau , si l’on élève le piston dé MN en HL, il se fait un vide dans l’espace ML; l’air que renferme CN s’y précipite , et, devenu moins dense que l’air atmosphérique renfermé dans le tuyau d’aspiration AD, cet air atmosphérique soulève la soupape k, et diminue aussi de densité; alors, ne pouvant plus faire équilibre à l’air atmosphérique qui repôse sur la surface extérieure du fluide, celui-ci presse cette surface, et fait monter l’eau jusqu’en A'B'; et l’équilibre se rétablira, parce que l’air extérieur sera contrebalancé parla colonne d’oau AB', jointe à l’air renfermé dans A' L. En ce moment , la sou pape k ne se trouvant plus entre deux airs dè densités differentes, retombera par son propre poids, et se fermera.. Abaissant de nouveau le piston de HL en MN , l’air renfermé dans MD se condensera de plus en plus, et rte tendra qn’à presser encore davantage la soupape k. Ainsi l’air renfermé dansA'D
H'ÏDROSTVr'lQUF..
Fig.
ne pouvant communiquer avec celui qui est au-dessus de la soupape k, conservera le ressort qu'il avait lorsque le piston était en HL; par conséquentla colonne d’eau AB' se maintiendra 'toujours à la même hauteur. Nous venons de voir qu’à mesure qu’on faisait descendre le piston , l’air qu’il presse contre CD se condensait. Lorsque ce piston sera ramené en MN, il aura repoussé dans MD, non-seulement Pair atmosphérique qui y était primitivement contenu , mais encore il y aura fait entrer une partie de Pair dont la colonne d’eau AB' tient la place. Ainsi Pair contenu dans MD devrait être plus dense que Pair atmosphérique; il ne l’est pas cependant, parce qu'on a pratiqué dans le piston une soupape I qui s’ouvre dès que Pair contenu dans MD a plus de ressort que Pair atmosphérique situé au-dessus du piston. Élevant po.ur la seconde fois le piston, une partie de Pair contenu dans A'D montera dans le corps de pompe, comme nous Pavons expliqué, et l’équilibre sera rompu de nouveau. Pour le rétablir, il faudra que Peau monte de A' B' en A" B"; de sorte qu’après un certain nombre de coupsde piston. Peau parviendra jusqu’à la soupape kf la soulèvera et entrera dans le corps de pompe , s’y élèvera successivement , et sortira par l’ouverture QR.
592. Examinons maintenant le mécanisme de la poihpe fou- 143. lante. Dans cette pompe , le piston MNP ( fig. ) descendant de MN en HL, s’enfonce dans le fluide, et il se fait un vide dans l’espace ML; alors l’eau qui est au-dessous du piston, chargée d’ailleurs de la colonne d’eau qui presse la surface du fluide, se précipite dans ce vide au moyen d’une ouverture faite au piston, et recouverte d’une soupape qui se ferme.
Si l’on fait ensuite remonter le piston , lorsqu’il sera revenu en MN , l’eau qui repose sur la base de ce piston tiendra la place d’une partie de Pair que renfermait l’espace MNCD ; par conséquent, cet air Se comprimera, et devenant plus dense que Pair atmosphérique , il soulèvera la soupape k , et sortira par cette ouverture jusqu’à ce qu’il ait repris la densité de Pair
1IKS POM US.
atmosphérique. Ainsi , à part l’eau qui repose sur le piston , tout reviendra dans le meme état qu’avant le premier coup de piston ; pdr conséquent , si l’on fait descendre de nouveau le piston-, l’equ du vase montera encore dans la pompe; et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’eau s’introduise dans le corps de pompe en soulevant la soupape
593. En combinant les effets de ces deux pompes, on a imaginé la pompe aspirante ét foulante. Dans cette pompe , si l’oii élève le piston MNP (fig. 244)» 1 ’Sàu, en pressant la soupape F;e.
L , montera par le tuyau ABCD , et (pénétrera dans la partie MCDEF. Ainsi , au bout de plusieurs coups de piston , l’eau s’accumulera dans l’espace MCDEF ; le piston , en descendant ensuite, comprimera l’eau , et la faisant sortir par la soupape
I , l’introduira dans le tuyau FGHK.
594. Il est possible que la pompe aspirante ait des dimensions telles, que l’eau ne puisse s’élever au-delà d’une certaine hauteur. Pour connaître dans qiiel cas cela peut arriver, simplifions le problème., et considérons une pOmpe dans laquelle le tuyau aurait partout le même diamètre , et supposons que l’eau
*se soit élevée jusqu’au plan horizontal dont ZX (fig. a45) est pjg ,^5 le profil , et que le piston ne se meuve que dans 1’espâce compris entre HL et MN ; nommons
u le jeu LN du piston , b la longueur LB , -u
x la distance de L en X.
Lorsque le piston s’est élevé de MN en ÜL, il a parcouru toute sa course; alors l’air qui était d’abord contenu dans ZN, occupe l’espace ZL , et par conséquent diminue de ressort dans le rapport de NX à LX ; de sorte que si R était le ressort de l’air atmosphérique contenu dans NZ , le ressort R' de l’air raréfié contenu dans ZL , sera donné par la proportion
lx : NX :: r : R', ou x : x — « : r r : R' ;
• Èlcnt. de Mécanique. aj
donc
HY1HVOSTATIQVF.
Gela posé , l’air contenu dans NZ étant de même densité que celui de l’air extérieur, son ressort R doit être mesuré par une colonne d’air dont la base c équivaudrait au cerele-qui aurait WN pour diamètre, et(dont la hauteur serait de 3a pieds, c’est-à-dire de iom,^. Soit h cëtte hauteur , donc .
I t = ch.
Si l’on met cette valeur dans l’équation précédente, on trouvera
, x —Ut
R.' ==.': - X-cè. ; .
Or il est évident que le ressort R' de l’air renfermé dansZL,
joint à l’eau qui occupe le cylindre ABZX , doit contrebalancer
la pression de l’air atmosphérique. La colonne’ d'eau renfermée
dans le cylindre ABZX .a pour volume le produit de la base c
par la hauteur BX ou c X ( A — ; x). A l'égard de la pression
de l’air atmosphérique, elle sera représentée par cA; paf con- .
séquent, nous aurons
X ch -f- ( b — x) c — ch ;
supprimant le facteur commun c, il restera
Dans ce cas, il y aura équilibre entre l’air extérieur et la colorftic d’eau ; mais si l’eau doit monter, il faudra que la pression dé l’air extérieur l’emporte sur celle de l’eau renfermée dàns le cylindre ABZX et de l’air compris dans ZL , et que l’on ait , par conséquent ,
en représentant par z l’excès du second membre de cette inégalité sur le premier, on aura •*.'.*
Chassant le dénominateur x et réduisant, on obtiendra
— ah -1- bx — ■ jr1 + xz — o ,
d’où l’on tirera
Si l’on fait z — o , l’eau s’arrêtera en ZX , et Ton aura
ah.
Ces deux valeurs de a? seront toujours réelles , si -r snr-
passe ah : lorsque cette condition sera remplie , l’eau pourra s’arrêter en deux points ; mais il n’en sera pas de même si ah
surpasse ; car alors les deux racines de x étant imaginaires,
l’eau ne pourra s’arrêter, et la pompe aura tout son effet.
5q5. A l’égard de la pompe foulante , on élèvera toujours l’eau , avec cette pompe , à la hauteur que l’on voudra , pourvu que la force motrice soit proportionnelle. l’effort que supporte le piston. .Supposons que l’eau. soq montée dans la pompe jusqu’en EF (6g. 243), le biveau du fluide environnant se trouvera fi(, ^ au-dessous. Or il peut arriver deux cas : ou le piston, est audessous du niveau de l’eau environnante, ou il est aH-dessus.
Dans le premier, soit ab le niveau de l’eau environnante; le piston MNP n’est point chargé de l’eau comprise entre JMN et ab , parce que cette eau est contrebalancée par le fluide extérieur ; donc le piston ne soutient que l’eau renfermée entre ab et EF. Or le poids de cette colonné d’e'ad s’évalue par celui
d*urt cylindre d’eau dont la base serait la surface M'Ndu piston, et dont la hauteur serait égale à la distance des deux plans EF et ab.
596. Mais si le niveau est 'en a' b' et le piston au-dessus Fie. *43. (fig. 243), soit P le poids de la colonne d’eau comprise entre MN et a'or-, cette colonne d’eau n’étant soutenue que par l’air extérieur qui presse l’eau environnante, diminuera de son poids P le ressort de l’air extérieur. Ainsi le ressort de l’air atmosphérique qui est au-dessus du piston surpassera de P le ressort de l’air extérieur. Cet excès de pression agira sur la base MIS du piston. L’effet sera donc le même que si le piston supportait le poids P de la- colonne d’eau comprise entre a' b' et MN ; et comme d’une autre part le piston est surchargé d’une colonne d’eau qui s’étend depuis Mît jusqu’en EF , il en résulte que la base MN supportera une pression mesurée par le cylindre dont MN serait la base , et qui aurait pour hauteur la distance comprise entre lçs plans a' b' et EF. 1 <
Ainsi, pourvu qu’on emploie un effort suffisant, on-élèyé’ra toujours l’eau à la hauteur que l’on voudra , au moyen de la pompe foulante. , . ,
Du Baromètre. '
Fig 24c ^97. Le baromètre est un tube recourbé ABC (fig. 246),
rempli de mercure dans la partie NMBEF de sa capacité ; l’extrémité supérieure AMN de ce tube est vide d’air et entièrement close en A , tandis que l’antfe extrémité C est ouverte. Si par . ’ la surface FE on mène nu plan qui coupe le tube eu un point D , la colonne de mercure comprise depuis D jusqu’en M sera , comme on l’a vu, d’cnvirôn a8',°“c" on iom,4 de hauteur, et mesurera le poids d’ime colonne atmosphérique de mérpe base.
5 98. Le baromètre fait connaître la plus ou moins grande densité de l’atmosphère ; car lorsque l’air augmente de den- Fig. 246- sité , la surface FE ( fig. 246 ) du mercure éprouvant une plus
DU BAROMÉTHK.
grande pression ,. il faut ufte plus grande colonne de mercure pour foire équilibre à cette pression : ainsi le, merciire 's’élève davantage dans le tube. Par la même raison , - la colonne de mercure doit s’abaisser lorsque l’air atmosphérique devient plus léger. •
599.. D’après ces observations^ taferomètre peut être employé à mesufer la hauteur d’une montagne, ou en général la hauteur verticale d’un pays au-dessus dp la surface de la terre. Pour cet effet , soient
h la hauteur du mercure à la surface de la terre,
* h' la hauteur du mercure au haut de la montagne,
g et {' les densités de l’atmosphère correspondantes à h et à h'. Nous avons vu, art.
pesans était
supposons que le plan des x , y soit horizontal , et plaçons-le à la surface de la terre. Lorsqu’on s’élèvera dans l'atmosphère, la densité deviendra ç', et z croîtra, tandis que p diminuer* ; il faut donc, d’après la note de l’article 43g, prendre dp et dz de signes contraires ; ce qui nous donnera
àp— — t'gdz. . . (419).
(*) Pour parvenir directement à ce résultat, considérons une colonne atmosphérique (fig. 247) dont la base AB est l’unité de surface: là pression que cette base supportera sera mesurée par la poids de la colonne ' atmosphérique CABD; par conséquent, la pression élémentaire dp peut être représentée par le poids d’une tranche dont de serait la hauteur infiniment petite. Or, la base de cette tranche étant égale à l’unité de surface, son volume sera exprimé par de, et sa masse par /de; donc en multipliant cette expression par g, on aura gfde pour te poids qui mesurera lapression dp. Observons que cette démonstration a lieu, quelle que soit la forme de la base plane AB, que nous avons prise pour unité de surface.
552 , que l’équation générale des fluides
dP — igd* (*);
Fig. 247.
v,' <ro;'9P<' .A 'fjfpu 1
Si les lieux des observations sont peu distans, on pourra regarder la pesanteur # comme constant?, et en intégrant dans cette hypothèse, on aura • • : r
'dp
Or la température étant supposée constante, n<jus avons vu , art. 548, que la pression p était proportionnelle à sa densité , condition exprimée par l’équation
en faisant donc varier/? et ( dans cétte équation, nous en tirerons dp='nd(':
substituant cette valeur de dp dans l’équation (420), nous trouverons
effectuant l’intégration indiquée, il viendra * - .
a — logÇ +C. •
Pour déterminer la constante, observons que lorsque z=zo,
la densité est celle qui a lieu à la surface de la terre, où nous
avons placé le plan des y, x. Cette densité sera donc celle que nous avons désignée par ç. Ainsi l’équation précédente nous donnera ■ : .
■ • ' . • .°=— ~ Ipg^+C;
éliminant C entre -cette équation et la précédente, nou,s aurons • . a = ~ ( log{ — log '
Digta
du baromètre.
oti
z = - log
Or les densités étant proportionnelles aux pressions, elles le sont aussi aux hauteurs observées h et A'; donc
lillÛï
tirant de cette proportion la valeur de *, et la substituant dans celle de z, on obtient
Z~.g bV .
Le logarithme indiqué appartenant au système népérien, si nous représentons par Log A le logarithme tabulaire de - , et par M le module 2,3o-z585og, nous savons que l’on a
M • Log -jp ~ log •jû >
substifiiant il viendra
• MH T A
. = — Log-,. • • (42')-
600. Pour déterminer la constante fl qui est la pression sur b unité de densité du fluide, nous remarquerons qu’à l’origine la densité étant (, cette densité n’est autre chose qu’un cube «Pair dopt l ime des faces serait égale à l’unité de surface ; la pression qugagit sur ce cube doit être mesurée par la colonne d’air qui, a la surface de la terre, reposerait sur l’unité de surface : or cette colonne d’air est égale à une colonne de mercure qui s’élèveraitàuue hauteur /1. Si nous appelons*" la densité du mercure, la masse de cette colonne sera représentée par /«* . Multipliant ce produit par la pesanteur g, le poids de la colonne de mercure, au bas de la montagne, sera donc Représenté par gh( : telle sera la pression sur la densité *. Pour en déduire Ta près
sion fl sur l’unité de densité , il suffira d’établir la proportion
d’où l’on tirera
substituant cette valeur dans la formule {l\it ),'il viendra
prenant pour unité la densité du mercure , cette formule se réduira à - . >
^ z- r= — Log ’ • (422). ,
60 1 . Si , dans deux pays , la hauteur h du mercure est la même, et que la pesanteur dans l’un étant prise pour unité, devienne dans l’autre h — S', le mercure que renferme le baromètre dans le second pays deviendra plus léger ou plus lourd., selon que J'ser^ positif-ou négatif. Pour fixer les idées, supposons i positif; alors 1 — S sera une quantité plps petite que l’unité, parce que la variation de la pesanteur étant peu sensible, on e.sten droit de supposerai ne la variation de pesanteur ï est aij-dcssous de l’intensité de la pesanteur qui alieu à la latitude de 5o°. Cela po^é, la colonne de mercure, dans le patys où la pesanteur est i — J", devenant plus légère, fera supporter une moindre pression h la colonne d’air qu’elle contrebalancer» et qui diminuera aussi de densité. Or, en supposant que l’élasticité de l’air soit proportionnelle à la pression qu’il supporte, cetté pression sera thés urée par le poids de la colonne h de mercure; et comme le rapport des gravitas des deux pays est exprimé par i ; i — J~'? ce rapport sera aussi colui des poids des colonnes de îtfemire, dont la hauteur commune est h. Ainsi, en appelant d la densité de l’air dans le pays où la pesanteur est i —
DU KAHOMETRK .
nous aurons » * « '
; . i rf;
Cette valeur devra remplacer la densité de l’air dans la formule (4n) , pour qu’elle se rapporte au pays où la pesanteur
est i — - et Cette formule deviendra
MA h :
».?tTT=5 «î3*- • ...
En comparant les résultats des observations faites en différons lieux à l’aide du pendule; on a trouvé que si l’on supposait fa pesanteur égale à l’unité, à la latitude de 5o° (div. décim.), fa différence ^deviendrait 0,001837 1 cos 2^, lorsqu’on passerait dans un pays, dont la latitude serait Mettant cette valeur de i dans la formule (4*3), on obtient
' . ' MALog t
f (l — » 0,0028371 COS nj')'
D’après cette valeur, on voit que $ est une très petite fraction ;
par conséquent, si dans l’équation (4*3) oh remplace ■ par
son développement <f3-|- etc., donné par la division,
et qu’on néglige les termes «F1, i‘i, etc., comme très petits de-
vant S', od pourra mettre 1 -j- ^>ai» lieu dè — — . ; alors la va
leur de z deviendra
z = — ^(1 -f- 0,002837 1 cos 2^) Log~. . . (424):
va-
602. Pour modifier cette formule convenablement au cas où l’on a égard à la variation de la température, nous remarquerons que, d’après diverses expériences, M. Gay-Lussac a trouvé que dans Fintervalle de o à 100“ du thermomètre centi-
3g4 HYDROSTATIQUE.
grade, un ajr parfaitement sec se dilatait de 0,00375 par degré du thermomètre; mais en ayant égard à l’humidité qu'il “peut
contenir, on a fixé la dilatation de ce fluide à environ -4- pat'
degré. Il a été aussi reconnu que, dans les mêmes circonstances,
le mercure se condensait de
par degré. Ainsi (in volume
d’air représenté par 1 à la température o, deviendra 1 -f- —
lorsque le thermomètre montera au degré «; et connue la densité d’un fluide est en raison inverse du volume qu’il occupe, il suit de là que la densité de l’air à la température n, sera exprimée par
par conséquent, si nous prenous pour n un ternie moyen entre les températures f et r' à la surface de la terre et au sommet de
la montagne, nous remplacerons n par — , et la densité de
l’air deviendra
5oo
Le mercure se condensant à mesure qu’on s’élève sur la montagne, et que le thermomètre s’abaisse par le refroidissement de l’air, la colonne de mercure observée au sommet de la montagne est moins haute que celle qui aurait eu lieu si -la température fut demeurée constante : ainsi, d’après l’observation précédente , il faudra , pour avoir la hauteur du baromètre dans l’hypothèse de la température constante, augmenh' ~ •
ter //' de 57 — répété autant de fois qu’il v a d’unités dans la
OU BA.*OMÉT|lE. 3t)5
différence des températures du mercurè à la surface de la terre et au sommet de la montagne. Or si nous appelons T et T' eès températures, elles seront indiquées par un thermomètre en contact avec un baromètre (*), çt nous devrons, au lieu de A', mettre dans la formule (4^4)> la quantité
; 54 ta ’
substituant donc dans l’équation (4^4) cette valeur, et rem-
plaçant { par
, nous obtiendrons
MA/ r+f'N. ... h
a = ( i -f- -= — )( i — f- 0,002007 1 cos 24) Log —
6o3. Supposons que l’observation qui détermine la hauteur A du mercure, soit faite à la latitude de 5o° au bord de la mer, c’est-à-dire à la surface de la terre,, oq aura
cos 24— o,
et la formule précédente nous donnera MA " a «
* G +'î^r)Lo8~
Si l’on mesure trigonométriquement z, et que, par un résultat moyen entre plusieurs observations, on détermine A, A7, t, t1, T, T, le second terme de l’équation (4^6) sera en-
(*) 11 est à observer qu’en se transportant dans un lieu , le mercure du baromètre ne s’y met pas de suite à la température de l’air environnant ; c’est pourquoi nous faisons une différence entre t' ot T', et entre t et T
3g6 hydrostatique.
tièrement déterminé, et fera connaître la valeur de la constante
— . On a trouvé que cette constante est égkle -au nombre
MA
i83g3 mètres. Mettant cette valeur à la place de — dans la valeur de z, on aura la formule suivante :
8393”-(j )( >+0,003.837 1 cos 24 ) Log— TfZTjr. •
Ceux qui s’occupent d’observations météorologiques, l’emploient ordinairement pour mesuref les hauteurs verticales, à l’aide du baromètre.* ' "
