QUATRIÈME PARTIE

HYDRODYNAMIQUE.

De l’écoulement d’un Jluide par un orifice hom zontal dans l'hypothèse du parallélisme des tranches. •

6o4- Lorsqu'un fluide contenu dans un vase sort par une

ouverture "pratiquée au fond de ce vase , il a été constaté par l’expériencë que la surface extérieure du fluide se maintenait sensiblement dans une situation horizontale* tout comme si lè vase n’était pas percé. Par conséquent, si l’on imagine que la masse du fluide soit divisée en tranches horizontales , ces tranches conserveront sensiblement leur parallélisme à mesure qu’elles s’abaisseront et que le vase se videra ; et les molécules qui les composent seront censées descendre vérticalement. Ce n’est pas qu’en examinant la chosé-à la rigueur, ces molécules ne soient soumises à des moUvemens horizontaux qui s’opposent à cette direction verticale. En, effet, si le vase n’a pas la forme d’un cylindre, une tranche ne peut prendre la place de celle sur laquelle elle repose, sans augmenter ou diminuer sa largeur aux dépens de son épaisseur, et, par conséquent, sans que les molécules qûi la composent n’éprouvent. des mouvemens dans le sens horizontal. D’ailleurs, outre ces mouvemens dus à la forme du vase, les molécules qui sont situées proche de l’ouverture manquant d’appui, y forment unç espèce d’entonnoir qui tend à écarter de la direction verticale les molécules environnantes ; mais nous ferons abstraction de toutes ces cir-

3£)8 HYDRODYNAMIQUE.

constances qui compliqueraient trop lé problème, et qui d’ailleurs ne sont que d’une faible influence lorsque le vase, comme cela se reflèontre souvent, est d’une forme qui diffère pèu de celle d’un cylipdre. " •

Fig. 248. 6o5. Supposons donc que l’ordonnée z (flg. 248) mesure la

distance mO de l’une des tranches du fluide à un plan horizbntal AB , suivant lequel nous placerons celui du niveau j la surface interne du vase étant donnée par l’équation f(x, y , z) = o, nous en déduiron# l’aire s de la tranche qui répond 'ordonnée z. Par conséquent, en multipliant cette aire par l’épaisseur dz, nous aurons sdz pour le volume de cette tranche. Cela posé , il est facile de voir que toutes les molécules qui la composent ont la même vitesse; car, dans notre hypothèse, elles arrivent en même temps, par un chemin vertical, au plan horizontal qui sert de base à cette tranche. Au contraire, la vitesse Cessera d’être constante lorsque nous la considérerons dans deux tranches différentes ; en effet , le fluide étant incompressible, un<p tranche quelconque ne peut descendre de la hauteur dz dans l’instant dt, sans qu’il ne sorte par l’orifice une quantité de fluide égale au volume de la tranche qui est disparue. Ôr, si nous, appelons u la vitesse qui a lieu à l’ori- Fig. 248- fice EF (fig. 248) et X- l’aire de cet orifice : comme la vitesse est en général exprinjée par , l’espace divisé par le temps, l’espace vertical parcouru dans l’instant dt sera égal à udt\ donc , dh multipliant l’aire X par la hauteur verticale udt, nous aurons kudt pour le fluide écoulé par l’orifice dans l’instant dt. Égalant à. cette quantité la valeur de la tranche disparue, il viendra . . .

sdz kudt. . . (437);

cette équation nous donne ,

tio6. Au Itout du temps t, la vitesse de la tranche dont a

UK l.’ÉCOULEMKtlT u'vN Pl.l'IUE. 3yt)

est la superficie, étant v, a |>our expression la différentielle de

t ’’ f * m , t . * * tlz

l’espace vertical divisée par celle du temps, c’est-à-dire — .

' " dt

Remplaçant donc cette fraction par v, dans l’équation (4^8),

on aura

. . kujpsv (429).

Cette équation nous dit que les vitesses « et v doivent être en raison inverse des aires h et s ; ce qui est d'ailleurs manifeste, car plus Taire est étendue, moins la vitesse nécessaire pour que la tranche s’écoule doit être grande.

• a*’ 1 . dv