La quantité A, qui entre dans cette équation, représen
tant la distance EP (fig. ?.5o)de l’orifice aü niveau de l’eau MN, h Eig.aüo. est constant lorsque le fluide, réparant ses pertes, se maintient toujours à la même hauteur ; , mais A est variablç lorsque le niveau de l’eau /abaissant par degrés, le vase se vide entièrement. -,
617. Dans ce dernier cas, on voit que le niveau MN se rapprochant deE, les abscisses EP=rA se comptent du point E, tandis que le temps se compte du point O. Pour éviter cet inconvénient d’avoir deux, origines, et afin que.le. temps ne.se détermine pas négativement, nous prendrons pour abscisse, non EP = A , mais ÔP = z; dans ce cas , il suffira d’employer l’équat. (434) , en regardant z' comme variable et z" comme constant, car alors z", qui exprime la distance du niveau pri-
fcTDROD-rWAMIQBE. •
Fig a50. mitif au point E, sera constant, tandis que la distance OP, représentée par a', variera continuellement. Faisons EO = a, PO = a , et EP t= h , nous aurons Ja relation
et l’équation (436) deviendra
618. Lorsque le niveau du fluide reste toujours à la même hauteur, h est constant. U eü est de même de l’intégrale If, qui devient alors une fonction dfe constantes, puisqu’on y remplace les variables par des valeurs déterminées; l’équation (436) peut alors s’employer sans que l’on ait à craindre l’inconvénient dont on a parlé art. 617, et comme, à part t et u, elle ne renferme, dans notre hypothèse , que des constantes, on peut la mettre sous cette forme
du
a — b — eu*
ai
on, en tire
bdu
• eu*
Cette équation s’intégre facilement par la méthode des fractions rationnelles. En effet, en supposant 6= Ve et «= V’c, c devient facteur commun , et en le supprimant il reste
b' du
dt^-^- :* , •
équation qjtr se décompose ainsi (. Élémens de Codent dtfferen tief, art. 2q5) : . ' " ~
-, du — , du
, *a dt — -
+ ir
DK l’écoulememt d’us fluide.
et qui , intégrée par logarithmes , donne
* = JJ? log («' + «) ~ “> '°g («' — “)>
OU
'=5<rîv)+c- ' ' \
La constante se détermine en supposant que la vitesse dn fluide soit nulle à l’origine du temps, ou, ce qui revient au même, que le fluide parte du repos ; car alors u = o et t = o rédui sent l’équation précédente à
ia
log i 4- C = o,
c’est-à-dire à
Supprimant donc la constante , il restera
aa' ° a’ — u
cette équation déterminera la vitesse u lorsque le temps sera donné. ■
Quand on aura ainsi trouvé la vitesse , on en mettra la valeur dans l’équatiôn (43aJ, pottr avoir la pression sûr l’unité de surface. * *
619. Dans le cas où le vase se vidie successivement, le niveau de l’eau s’abaisse à mesure que l’eau s’écoule , et il faut regarder la quantité h, qtti entre dans l’équation comme variable; mais nous avons vu que, dans ce cas, art.- 6t?, il valait mieux employer l’équation (438), qui, par 2 employé au lieu de h, évite l’inconvénient que t soit négatif.
Nous avons donc. trois variables, t, u et 2; par conséquent, cette-viquation ne suffit pas pour la solution .du problème ; nous nous On procurerons une seconde en ayant recouts à l’équation (4a-j), dans laquelle nous changerons s en s', puisque.
4o€ nvuRpaySAJiiQO®.
s est la surface du niveau', et nous aurons
ku =.$'
620. Cette équation renfeririant encore trois variaBles, nous ne pourrons immédiatement l’intégrer , mais elle nous servira à éliminer z. Pour cet effet, nous remarquerons que puis-
qu’elle né contient que le coefficient différentiel -- , nous pourrons obtenir une équation qui sera du même ordre ep zf si nous
différentions l’équation (438), ce qui nous donnera
. dz d2u du / Æ* \
, ' — g -, XIS — « — ( 1 j- } = o:
dt dt2 dt \ S/l / •
a dz '
par conséquent , en éliminant — , nous aurons
dt ■ - . ’ • • ,
ku d2u du / k2 \
s dt 1 dt V. s1 2 J
Cette équation du second ordre donne la relation qui existe entre le temps et la vitesse , et n’est intégrable que .par des moyens approximatifs. . .
(?2i. Lorsque l’orifice est très petit, on peut regarder les termes affectés de k comme nuis; cette hypothèse réduit l'équation à . ' ■' '' ' • „
Fig.îjt). et comme 1 — z ' est- représenté (fig. ï4g) par On -e- «L, c’està-dire par «L , on voit qtîe z — z' n’est autre chose que la distance dont le' point n, qui a z pour ordonnée, est éloigné du niveau de l’eau. Donc la pressio» />, qui a liêu sur l’unité de surface d’nn point n , est égale à la pression n qui est exercée au niveau de l’eau , phis à la pression d’une colonne d’eau mesurée par la distance de ce point au niveau du fluide.
DF. L’ÉCOULEftEKT D l'H FLUIDE. 4°7
62a. Il est à remarquer que cette pression ne diffère pas de celfe que supporterait le point « si le fluide était en repos.
Si l’on supprime de même lés termes affectés de K dans l’équation (436) , on la réduira a .<
gh— js'xo;
et l’on en déduira
u— l /ygh. . . (44o).
Ce qui nous apprend que lorsque l’eau s’échappe par un petit orifice , la vitesse qu’elle acquiert est celle qui est due au niveau de l’eau; et comme on a vu, art. 3 1 6 , qu’un mobile qui est lancé de bas en haut doit en tombant (abstraction faite de la résistance des milieux ) remonter à la hauteur de laquelle il est parti , il s’ensuit que si , à l’aide d’un tuyau , on change le sens de la direction du fluide , il remontera , à l’instant de sa chute, à la hauteur qit’il avait avant d’avoir été mis éii mouvement.. • ' ■ v / ’
6a3. La vitesse, au lieu d’être verticale, deviendra horizontale lorsque l’orifice, que npus supposons toujours très petit, sera vertical. Si l’on 'veut connaître la courbe qu’en ce cas le fluide décrit dans le vide, l’angle qu'on a' désigné par « , art. 420, étant nul , on aura tang <* = 0, cos n — 1 , «t la formule.293 se- réduira à *■' '•
( 4 hy ~ x’, • ' •
ce qui est l’équation d’une parabole dont l’axe sq trouve dans une.position verticale."
624. La vitesse u peut servir à trouver la masse d:eau qui s’est écoulée dans le temps t, et qu’on appelle la dépense du réservoir. Pour cela , il faut remarquer qu’il n’a jpu sortir de l’eau de ce réservoir que parce que la tranche du fluide qui était en CD (fig. 25q) vient eu urt Heu plus bas MN. Or, pour Fig.xïo. que cela soit possible , il faut qu’il soit sorti du, vase une quantité. d’eau égale à la somme des tranches comprises entré CD et
4o8 hydrodynamique.
MIï: Cet. espace formera un volume qu’iL est facile «F évaluer. En effet , en représentant par s la tranche élémentaire , et par r/z sa hauteur, l'intégrale fsth prise entre les limites CD et MN, sera donc égale à la somme de toutes ces tranches, et par conséquent équivaudra au volume du fluide qui s’est écoulé. Désignons par Q la dépense d’eau ; on aura donc
Q=Jsdz. . . 444i);
mais l’équation (427) nous donne . ,
' • s/(z — kurlt. *
Substituant cette valeur dans celle de Q, nous obtiendrons Q =fkudt. ‘
Cette valeur de la dépense d’eau .peut se déduire immédiate- ment de celle de la vitesse , car cette vitesse nous fournit le moyen de trouver l’espace parcouru dans l’instant dt. En effet, en nommant de cet espace , nous avons
, udt^=de-,
il ne s agit donc plus que de multiplier udt par k pour avoir le volume du petit filet qui s’est écoulé. dans l’instant dt, et qui par conséquent aura pour expression kudt. Prenant l’intégrale, nous aurons donc f kudt pour l’eau qui s’est écoulée dans le temps t.
Nous effectuerons l’intégration après avoir remplacé u par sa valeur l/ tgh tirée de l’equat. 44° > et nous trouverons
Q = X- V'^fV'h.dt. . . (44a).
G25. Il se présente/ici deux cas, savoir : h constant et A valiable; le premier a lieu lorsque l’eau est constamment maintenue à la meme hauteur. L’équation précédente sfintègre alors laidement, çar la' hauteur h du niveau au-dessus de l’orifice
dk l'écoulement d'un fluide. 4°9
étant remplacée par une oonstante a , nous aurons en intégrant
Q = X-f l/ ïgâ -f- C.
Nous déterminerons la constante par l’hypothèse qu’à l’origine du temps la quantité Q d’eau écoulée soit nulle , ce qui nous donnera
et l’équation précédente se réduira à
626. Si le petit orifice h est un cercle, dont le rayon soit r, et qu’on désigne par 1 : sr le rapport du diamètre à la circonférence, on aura
k = irr*,
et par conséquent la formule (443) deviendra
Q = *[/2g.tr'y/a... (444>.
Nous écrivons en premier lieu la quantité *■ V/ 2g, qui est la même pour tous les problèmes , et que l’on déduira facilement des valeurs suivantes , art. 384 :
w=:3,i4>59, g z= 9m, 80867, ou 3o*,‘,*9546ÿ
on mettra ensuite dans la formule (444) 'cs valeurs de r, de t et de a , qui conviennent au cas particulier que l'on examine. Le diamètre de l’orifice peut être exprimé en décimètres, et la hauteur du fluide en mètres; et l’on sent qu’il faut alors tout réduire en mètres ou en décimètres , pour n’employer que la meme unité linéaire.
627. Nç^is ferons une observation analogue sur l'unité de temps, qui, étant tacitement adoptée, exige que nous réduisions le temps en secondes. En effet, lorsque nous avons traite du mouvement varié , nous avons déterminé £ en prenant la seconde de temps pour unité ; c’est un facteur qui entre
4 I o HYDRODYNAMIQUE.
dans la valeur de g , et que nous avons fait disparaître , art. 3o4 , lorsque nous avons supposé t = i dans l’équation ( 1 57) ; rétablissant ce facteur, nous aurons
• ' S ^ " ja ’
par conséquent la valeur de t qui entre dans notre- formule revient à
une seconde de temps ’
quantité qui n’est qu’un nombre abstrait. Voilà pourquoi h seul détermine la nature des unités de, notre formule.
628. Lorsque l’on aura trouvé la valeur deQ en décimètres cubes, comme le décimètre cube pèse un kilogramme , on aura donc le poids du volume d’eau exprimé en kilogrammes; mais si l’on opérait à l’aide des anciennes mesures , il faudrait , pour évaluer le poids du volume d’eau , réduire en livres le nombre de pieds'cubes qu’il exprime, et pour cela, il suffirait de multiplier lé nombre de pieds cubes obtenus par 70» valeur des livres d’ un-pied cube d’eau. f
629. La formule 444 nou® fournit 'le moyen de résoudre le problème inverse , c’est-à-dirp de trouver le temps de l’écoulement d’un fluide qui se’ maintient toujours à la même hauteur; car cette formule nous donne . >
63o. Pour en donner une application , supposons que le vase, maintenu toujours plein, soit un cylindre dr$U qui ait b pour rayon de sa base, et qu’on demande eq quel temps l’eau écoulée sera de même volume que celle qui est renfermée dans le vase,- ,* ‘
Dans ce cas., toutes les sections horizontales étant égales à
DF. L'KbmjLXMEHT 1)’0N FLUIDE. ^ | |
rtb1, l’équation (44 1) dopnera i
Q =f*b'dz,
et par conséquent
Q =xAîa + C; '
et en prenant l’intégrale depuis l’orifice jusqu’au niveau, il faudra, remplacer z par a , et l’oti trouvera ,
Q — %aby.
Mettant ce^te valeur dans l’équation (445), on obtiendra ou , en réduisant ,
r ab2
63 ri Si l’on suppose \in second vase qui, ainsi que le premier, se maintienne toujours plein, et qu’on nomme Q' sa dépense d’eau, k' son orifice et a' la hauteur de son niveoti au-dessus de l’orifice, l’équation (443) nous donnera pour ce cas
Si l’on compare ensuite la même équation (443) à cette dernière, on établira "ht proportion
Q : Q' : : a i/*.r V *g< KV «' ]/zg -, ■ <
et ep supprimant le facteur commun , cette proportion deviendra , ' . • - , •
; Q: Q' v.kx/a-.k'yf?. ‘
Ce qui nous montre que lorsque les orifices k et -k’ ont la même ouverture, les dépenses d’ean sont comme les racines
carrées des Hauteurs. - "
632.' L’équation (448) va nous conduire à un antre théorème. Pour;cela, nommons h la hauteur dé* laquelle tombe ntt
4 I 3 HYDRODYNAMIQUE.
mobile dans le temps t , nous aurons
h = ±st\ „ ^
mettait cette valeur dans l’équation (443) , nous obtiendrons Q^=: ik \/ ah.
Or , \/ ah étant une moyenne proportionnelle entée a et h, cela nous apprend que la dépense d’eau est égale au double du volume d’un cylindre dont la hauteur serait une moyenne proportionnelle entre la hauteur du niveau et la hauteur de laquelle un corps grive descend dans le temps t.
633. Considérons maintenant h comme variable. Dans ce cas , ayant égard à l’observation de l’article 617, on remplacera h par a — z dans l’équation (44°)> œ <lu' donnera
et en substituant cette valeur de u dans l’équation (43$), on en tirera
s'dz
dt —
ou, en décomposant le radical en deux facteurs,
dt = =
s'dz
W ïgV a — z
La quantité s' qui entre dans cette équation représente la surface de niveau qui s’abaisse à mesure que la variable s augmente. C’est une fonction de a, qu’où doit éliminer au moyen de l’équation ■ de là surface interne du vase ; autrement nous aurions trois variables dans nôtre équation , et l’intégration deviendrait impraticable. Quand on aura donc substitué
DK l’ÉCOULEMK.WT D’UN FLUIDE. 4*3
la .valeur de s ' et intégré, on connaîtra ; en' fonction de t ; et si l’on retranche de a cette valeur de z, on aura celle de h qu’on substituera dans la formule (44^) » et en effectuant une nouvelle intégration , on obtiendra la dépense Q du réservoir.
634. Prenons pour exemple un vase dont la surface interne serait celle d’un paraboloïde de révolution. Cette surface étant engendrée par la rotation de l’arc de parabole AD (fig. i$i) Fig.a5i. autour de l’axe AB , si l’on nomme a la distance AB de l’orifice au niveau primitif, il y aura entre l’abscisse PB = z et l’ordonnée PM = y la relation
y* = p(a — z), éqnat. de la para b. rapportée à l'origine B.
Donc, en représentant par 1 : ir le rapport du diamètre à la circonférence , le cercle décrit par PM ayant pour expression ■rj1, équivaudra à "dp (a — z); par conséquent nous aurons
Mettant cette valeur dans l’équation (44 6), il nous faudra intégrer celle-ci
dt ±z
*V ?g Va 2
ou , en réduisant ,
dt ~ — (a — z)1 dz.
kV?g
635. Pour parvenir à intégrer cette équation , comme dz est, au signe près, la différentielle de la quantité qui est comprise entre les parenthèses, nous supposerons(2;/<w. de Calcul intégral, art.’ 27 1) a — z -=.x , ce qui nous donnera
f [a — z)2 dzési—fx2 dx — — j-.zJ Cj
remettant pour x sa valeur, on aura donc
' /(«— «)’ dz ■= — \ (a— zf + C,
HYDRODYNAMIQUE.
et par conséquent'
on détermine la constante C en supposant que t soit nul à l’origine des z, car alors en faisant z — o et f=o, dans lcquation (448)» on obtient f ,
r , *Pa . ‘
kV ig
mettant cette valeur dans l’équation ( 448) , nous aurons enfin
■TTp
k V Ig
Pour connaître maintenant la dépense d’eau , nous tirerons d’abord de cette équation
rp J
cette valeur étant introduite à la place de h dans liquation (442)j la convertira en '
Q — k V ig f(*
Cette équation s’intégrant par le meme procédé que nous avons employé dans cet article, nous ne nous y arrêterons pas.
636. Cherchons encore le temps de l’écoulement d\in vase dont la surface interne serait celle d’un cylindre droit, et qui se viderait sans réparer ses pertes. Soit b le rayon de la section du cylindre par un plan perpendiculaire à. son axe, nous aurons s' —vb*, et l’équat. (446) nous donnera
- trb1 r dz
•kÿ-vçJ \/'a-^—z~
TTp
dt.
, DE lY.COULEMF.KT D'UN FLUIDE. /j | 5
Faisant encore a — 2 = 4, intégrant l'équation transformée, et remettant ensuite la valeur de 4 , nous trouverons
k V/ ig
déterminant la constante par la supposition que a et t soient nuis en même temps, on a enfin
Prenant l’intégrale depuis le point où i = o jusqu’à celui où ? = a , on a pour l’écoulement total »
ax4*
Si l’on suppose, comme dans l’art. 6a6, que l’orifice soit un cercle qui ait r pour rayon, on aura / = jrr1 ; cette valeur réduit l’équation (45o) à * •- „ \
ibx \/ a i
En comparant cette valeur à celle que l’on a obtenue, article 67.9, on voit que, dans l'hypothèse actuelle , le vase demeure le double de temps à s’écouler.
63*7 . I-es formules (449) el(45o) peuvent servir à construire une clepsydre ou horloge d’eau. Pour cet effet, lorsque l’on aura déterminé la longueur du temps, par exemple, ta heures , on réduira ce temps en secondes; ce qui donnera îafào)1 ou ia3 6oo secondes ; et , en substituant cette valeur de t dans la formule (45o), nous pourrons disposer arhitr.iil-ement de trois des quantités k, b et w. Supposons donc que les deux premières Soient données , la fohnule ( 45o) déterminera alors la hauteur a de la clepsydre; il ne s’agira plus que de diviser convenablement cette hauteur. Pour cela, on tirera de la for-
Digitizec
mule (4^9)
HYDRODYNAMIQUE.
et en donnant à z les valeurs successives 1,2, 3, etc. , un aura les valeurs qui correspondront à 11 , à 1 o , à 9 heures , etc. , et qui devront être comptées depuis l’orifice. II n’est pas besoin d’avertir qu’il peut y avoir des clepsydres de toutes les formes.
638. Il est utile d’observer que lorsqu’on sera arrivé à la dernière division, à partir de haut en bas, l’entonnoir dont nous’ avons parlé , art. 604, pourra influer sur les résultats!; c’est pourquoi il est convenable de ne faire usage que des onze premières divisions. ' ’
63g. En général , les conditions du parallélisme des tranches et dè l’égalité de vitesse des molécules d’une même tranche, cessent d’être observées lorsqu’on s’approche d’environ quatre oti cinq pouces d’un orifice horizontal. C’est alors que les molécules du fluide prennent des directions plus ou moins inclinées , et que l’espècé d’entonnoir' dont nous avons parlé, art. 6o4, se forme. Lorsque le niveau du fluide est à une grande distance de l’orifice, ce niveau paraît sensiblement horizontal ; et si l’entonnoir ne paraît pas, c’est que la vitesse étant d’autant plus grande que la colonne d’eau est élevée, cette vitesse est cause que les molécules du fluide , qui d’ailleurs se succèdent immédiatement, remplissent de suite le vide qui a lieu. <
Cet entonnoir est beaucoup moins apparent , ou plutôt ne se forme qu’à demi dans les orifices latéraux^ encore faut-il que le niveau de l’eau soit parvenu à peu? près à fleur de l’orifice. C’est alors que ce niveau -perd un peu sa direction horizontale , pour s’enfoncer légèrement du côté de l’orifice.
Cette tendance des particules aqueuses vçire l’orifice, du côté duquel elles? éprouvent une moindre pression , est cause que le jet se rétrécit par degrés en sortant de lubrifiée,- et prend la
IJF. I.’ÉCOULEMF.NT DES FLUIDES. 4 1 7
forme il'une pyramide ou cône tronqué , dont la plus grande base se trouve à l’orifice. C’est ce qu’on appelle la contraction de la veine fluide.
Dans un orifice circulaire , la section de la plus grande contraction , c'est-à-dire la plus petite section de la veine fluide, est distante de l’orifice d’environ un deipi-diamètre de cet orifice.
640. La contraction de la veine fluide existe aussi bien lorsque l’orifice est latéral que lorsqu’il est horizontal ; mais il y a cette différence , que , dans ce dernier cas , la veine fluide conserve la même grosseur dans toute sa longueur, tandis que , lorsque l’ouverture est latérale , cela n’a lieu que dans un orifice très petit. Il résulte de cette observation que si l’on pouvait mesurer parfaitement la section perpendiculaire à la veine contractée, on pourrait regarder cette section comme le véritable orifice. S’il est difficile de l’évaluer avec exactitude, du moins est-il constant que la formule donnée par Pexpériênce he diffère de celle que la théorie a trouvée que par la valeur de k. Ainsi} en représentant par MÆ l’orifice déterminé par l’expérience , on doit avoir pour la dépense effective d’nn petit orifice,
Q r= Mk\/^g.t{/a, ■ ' '
au lieu de .
641. L’expérience a aussi prouvé que ce nombre M était le même pour deux petits orifices percés dans de minces parois. En effet, en désignant par Q', par k' et par a' la dépense, l’orifice et la hauteur d’un second orifice de ce genre, on aurait , daps cette hypothèse ,
Q : Q' :: mÿîïg.ty/a : m k'y/TgitV'a’,
proportion de laquelle on conclurait que les dépenses effectives des deux orifices sont entre elles comme les produits 1s y/ a et k' a' des aires des orifices par les racines carrées des
Êlém. de Mécanique. 3-t
^ ! g »yi>rot>ysamiquk. ■
hauteurs : c’est atisSi ce qûe confirme l’observation, qui , en ce point, s’accorde avec la théorie. .
64a. L’abbé Bossut a trouvé que ce nombre M était à peu
près dn|, ou, plus exactement , de C’est par cette fraction
qu’il faut multiplier la constante k , pour que le résultat donné par le calcul soit celui qu’avoue l’expérience. Ainsi la dépense trouvée par le calcul pour, un vase toujours plein étant, d’après l’eqnation qui est à la fin de l'article 6a3, > . ,
Q = kv' Ig'tV
la dépense corrigée, ou celle que donne l’expérience , sera Q = (o,6a) ky* 2g.t\/ a >
on plutôt •
Q = (4,8i8)/ri/<i,
en remplaçant )/ 2 g par sa valeur.
Cette.formule estencore applicable aux petits orifices latéraux. A l’égard d’un vase qui se vide graduellement, on aie peut rien statuer aux approches de l’orifice ; mais si l’on ne mesure la dépense d’eau que jusqu’à une certaine hauteur au-dessus de l’orifice, la même correction pourra s’appliquer à la formule (446) , qui deviendra
s'dz
dt ■=■ -■ s* — — . — v 1 •
et à l’aide, de laquelle on déterminera , comme on l’a vu, le temps et ensuite la dépense d’eau.
643. Jusqu’à présent, dans ce qui concerne ces corrections, nous avons supposé que les orifices ne pénétraient que de minces parois , parce c’est encore un fait appuyé sur 1 expérience, que de deux orifices qui répondent à des hauteurs égales, celui qui a le moins d’épaisseur fournit la dépense la plus grande.
de l'écoulement d’un ri.uiDE.
Voilà pourquoi lorsque l’eau sort par îles tuyaux additionnels, la correction que nous avons fait connaître pour de minces orifices n’est plus applicable ici. Un tuyau de ce genre est ordinairement très court , comme de deux à trois pouces ; mais il faut que l’eau coule sur ses parois avant que de sortir, autrement on tomberait dans le cas des orifices ordinaires. Or, pour que l’eau puisse couler de la sorte, il faut, suivant l’abbé Bossut, que le tuyau ait au moins une longueur double de celle de son diamètre. Le même géomètre a reconnu que lorsque ÿeau sort à plein tuyau, pu, suivant l’expression technique, à gueule bée, la contraction de la veine fluide avait fonjoufs lieu à l’entrée du tuyau, et non à sa sortie où l’eau prend une forme cyliridrique.
Cette contraction est assez forte pour augmenter beaucoup la dépense d’eau , malgré les effets du frottement.
Au resté , on a encore observé, dans les tuyaux de ce genre , que les dépenses d’eau 'étaient encore proportionnelles aux produits des orifices par les hauteurs correspondantes mais , d’après ce que nous venons de dire que la dépense d’eau de ce tuyau est plus forte, on conçoit que le fiombre M ne peut plus être le même. Labbé Bossut a encore reconnu que pour
ces tuyaux additionnels le nombre M était égal à ou, plus
exactement, à environ Ainsi la formule (443) qui a lieu
pour évaluer la dépense d’eau d’un réservoir toujours plein, étant corrigée pour des tuyaux additionnels, deviendra
Q = (o,8l) \/ig.kt\/a-,
et comme ces tuyaux sont ordinairement cylindriques, ils ont un cercle poui section. Nommant r le rayon de ce cercle, k pourra être, remplacé par srr*, et si l’on calculera valeur de«la constante (0,81 )»• ^/ 2g , on trouvera '
HYDRODYNAMIQUE.
A l’égard d’un vase qui se vide , on agira-coimne noas l’avons (ait pour les orifices pratiqués dans de minces parois.
Équations générales du mouvement des fluides.
644. Soient x, y, *> trois coordonnées rectangulaire» qui , en prenant des valeurs particulières , déterminent tous les pointa d’une masse de fluide. Si cette masse est en mouvement , les valeurs qui se rapportent à un mémo point doivent changer continuellement ; de sorte que la position de xc point doit dépendre des quatre variables x, r, s et t. Si l’on<-Bavail quelle est dette position à l'expiration du temps t, et qu’on eût le moyen de déterminer la vitesse V- du point donné en fonction des quatre variables x, ÿ, s et t , cette vitesse serait connue. Il en serait de même de la densité p du fluide en ce lieu , et de la pression p qui pourrait être communiquée au point x, r\ s par diverses forces accélératrices. ,
645. Les quantités y, pet p seront donc les inconnues du problème ,
et devront se déterminer en fonction des coordonnées s et du
temps t ; niais à l’égard de V, il est à observer que l’intensité V de la vitesse ne suffit pas ^ et qu’il est nécessaire d’en avoir la direction, ce qOi 'exige encore que l’on connaisse les angles 6 et Ô' que cette direction fait avec . des parallèles L deux des axes coordonnés. Il iaudra donc ajouter ces deux nouvelles inconnues flu problème ; mais au lieu des trois variables V, 0 et fl', nous pourrons prendre les composantes u, v, w de ta vitesse parallèlement aux trois axes coordonnés. Ainsi , le problème général dont nous cherchons la solution comporte 'ces cinq inconnues, p, p, ur v, iv, et par conséquent nécessite cinq équations pour les déterminer. Il nous sera donc permis de traiter p, p, u, v, w comme des quantités^ ealièremeht connues, pourvu que nous parvenions à établir ces cinq équations. Nous allons d’abord voir comment les composantes u, v, w de la vitesae peuvent déterminer l’expression de cette Vitesse ainsi que sa direction. Pour cela , soit M un point flnide considéré à l’expiration du temps t, et x, j*, z lèse coordonnées de ce peint à cette même époque, les composantes u, v et w de la vitesse de ce point étant multipliées par le temps infiniment petit dt qui suçcèdera à (, donneront les produits udt) vdt , wdt pour les espaoes parcourus dans le temps dt ; car on doit se rappeler que l’espace est égSl au produit du temps per la vitesse. Au moyen de ces ‘composantes, on trouvera pour l’espace MM' (fîg. a5a) patcopru par le point M dans l’ins-
Fig.aüa. lant *> art' 46 et 327, ■
MM'= \/u><tr + vit' +w'dt%
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT UES FLUIDES. 421 ou , eu mettant le facteur commun dl en dehors du radical ,
M'Hait l/u» -f- v* + w*... (451);
et comme l’espace parcouru MM' divisé par dt est égal à la vitesse, on voit que le radical de l’équation ($5r) n’est autre chose que cette vitesse, que nous avons désignée' ci-dessus par V, ce qui ost d’ailleurs évident puisque u, v, w eu sont les trois projections. *
Pour en déterminer la position, soient 8, 8' et 8" les angles que MM' fait avec les axes coordonnés ; si nous divisons les espaces parcourus udt,vdt, wdt , par MM', nous obtiendrons, après avoir supprimé le facteur commun dt , aux deux termes de chaque fraction ,
cos 6 = • ; , cos Û = — >
y/u* ■+■ <•’ -t- tv» < l/u* -f- v* -f- tv*
, cos 8" ■■ W- .
y ua -f- e» -t-VV’
646. Mais tandis que le point fluide M ost transporté de. M eu M' dans l’instant dt, voyons ce que devient * dans le même instant, un petit parallélépipède rectangle dont les dimensions seraient dx, dy et ds , et que l’on doit considérer comme l’élément de ta masse fluide.
Pour cela, prenons deux points fluides infiniment proches, et qui correspondent aux coordonnées x, y, z et x-f. dx, y+ dy , z + dz, et désignons ces points par (M) et par (m), en mettant ainsi des parenthèses pour distinguer les points fluides de ceux de l’espace représentés , dans la figure a53 , par les mêmes lettres M et m ; et soient M' et m' les Fig. l53 lieux où (M) et (m) seront transportés au bout du temps dt. Ces points (M) et (m) étant séparés par un certain espace linéaire , cet espace est occupé par des particules fluides; et, comme il y a continuité dans le fluide, ces particules se touchent toutes, mais sont susceptibles de s’étendre plus ou moins dans un sens , selon les dimensions que prendra notre parallélépipède au bout du temps t -f- dt. Cela posé, les points fluides (M) et (m) se trouvant en M et en m avant que le temps dt ait cqmmencé, if suffit pour passer de Pun & l’autre, de supposer que les coordonnées x, y, x deviennent x+dx,y + dy,t+dz\ alors les composante» rectangulaires de la vitesse qui animeront (m) & l’expiration de ( , au lieu d’être le» fonctions u , v et w des cèordonnées x, y , z, deviendront des fouction» des coordonnée» x -1- dx, y -+- dy, z +■ dz. Les composantes u , v et sv recevront donc en m des accroissemens que nous allons déterminer; mais auparavant nous ferons remarquer que ces composantes de la vitesse étant indépendantes les unes des autres, art. 3ug , il en doit être de même des espacés parcourus qui sont les produits de ces vitesses par dt.
(\11 , HYDIIO DYNAMIQUE.
Ü47. On est donc fondé à considérer séparément les trois coordonnées
du point m qui représentent ces espaces parcourus. Ainsi , en commençant par celle quf est dans le sens des x, et en prenant pour origine le Fif’stâî- point M (fig. aSiJ) , on voit que cette coordonnée se compose,, i° de la distance dr qui sépare, sur l'axe des x, les projections des points M et m; 2° du chemin que décrira la projection du point (m} en vertu de la vitesse acquise à l'expiration de t, vitesse qui amènera ce point (nj)de m en »/, et sa projéction (cû'de non n'. Or; la composante de la vitesse du point (M) dans le sens dè».r étant u, elle deviendra
“ +% dx + ï dx -- (45»)
lorsqu'on passera du point (M) au point (ni), dont la coordonnée, dans le sens des x, est plus longue de dx que celle de (M). En considérant d'abord le premier terme u de l’expression (453) , ce terme nous indique dans (m) une vitesse qui, dirigée suivant l'axe des x, est égale à celle qui anime (M) suivant le même axe.
11 suit delà que, dans l'instant dt , la projection (n) parcourt sur l’axe des x, en vertu de cette seulé vitesse, un espace udt égal au chemin NN' décrit par la projection (N) du point (M) sur le même axe ; et en représentant par nP (fig. a54)'ce chemin parcouru par la projection (n), on a donc
. ‘nP = NN'; C
et en retranchant hi partie commune nN', il reste N'P= Nn = dx ; .
mais la projection (n) du point (m) arrivée en P, doit continuer à se
/hi -du dw ,
mouvoir on vertu des vitesses -g dx , — dx , — - dx , ot parcourir les es-
paccs qui mesureront les produits de ces vitesses par l’élément de temps ■/ du
dt. Le premier de ces espaces sera donc — ax. dt , et transportera notre projection. (n) de P et) Q, toujours sur la direction de l'axe des x;
dv • / I
mais la vitesse — dx qui agit parallèlement à Taxe des.r> sortira notre ux
point mobile qui est en Q de la direction de l'axe des x, et lui fera de-
dy
cnrc une petite ligne QR parallèle h l’aie des y, tel égale à — dx.dt.
Enlin , notre point de projection arrivé en R changera encore de direc-
ÉQUATIONS GÉNÉRALES OU MOUVEMENT UES FLUIDES* /J 9. 3 tion, et décrira une ligne Rn' parallèle à l'axe (les t, et égale ù
dw
dx
dx.dt (*).
648. Il suit de ce qui précède que quand (m) sera en m', la projection de ( m ) dans le sens de l’axe %es x Sera parvenue on n' . Par conséquent, dans l’intervalle de temps dt , les projections de (M) et de(m) dans le sens des r, auront pria les positions N' et n'. La distance (Je ces deux points est évidemment la diagonale d’un parallélépipède rectangle (fig. u55) dont N'Q, QRctRn' seraient les trois arêtes; cette distance F‘g-255. aura donc pour expression
V (N'P ■+■ PQ)» -f- QR» + Rn'» . ( . (463);
à l’égard des valeurs des lignes qui entrent sous co radical, nous avons .évidemment , d’après 1% théorie que' nous venons d’étald ir ,
N'P = udt => ^ dt, PQ = d~ dx.dt,
n'p + po
QR = t- dx.dt Rn' «=* ^ dx.dt.
dx dx
Mettant ces Valeurs dans l’expression (453), et faisant passer le facteur commuu dx » en dehors du signe radical , on aura pour la coordonnée de M'm' dans le sens desx,
-VO +Ê*),+ (e)‘-«-+(k)'
On voit que cette coordonnée formant un anglo QN'n' (**) avec cet axe, en quitte un peu la direction.
En cherchant par le même procédé les composantes de M’/n' dans le sens de l’axe des y et de l’axe des *, on trouverait que ces composantes
(*) Nous avons pris les chemins décrits , i partir dp P, par le point do projection dans cet ordro : . .
du de * die
X tLr.dt, — dx.dt, — dx.dt ; dx . dx .1 dx ’
mais si l’on oilt placé ces espaces dans un ordre différent, on serait parvenu, par jine autre construction, au même point n'.
(**) H n’est P»® inutile de faire observer que l’angle n'N'Q«sl inhni-
sont respectivement
hydrodynamique.
et qu’elles s’éoartent un peu de U direction defeaies primitifs. Par conséquent, les trois côtes de notre parallélépipède changent un peu d'incJ.nnison : ce parallélépipède , de rectangle qu’il était avant le temps dt, devient donc obliquangte quand ce temps s’est écoulé.
049. Ma if pour pouvoir affirmer que, malgré l’pbliqulté de ces arêtes, notre prisme élémentaire conserve encore la forme d’un parallélépipède après l’instant dt, il faut prouver que tous ces côtés restent pacallèles. Or, c’est ce qu’il est facile de vérifier en cherchant ce que deviennent les composantes u , v, w de la vitesse lorsqu’on passe du point M de noté» ig.a56. parallélépipède primitif DC (fig. a®6) à l’un de ces points B, C, D, etc., qui'sont aux extrémités des angles. Ot, si le point M dont les coordonnées sont x , y, t a pour vitesses
le point B qui correspond aux coordonnées x, x.+ <tr et », aura pour vitesses
v’ = dP+*)
ûi 9
t d . du du du z/p clv du
et 1 on voit que -j-j, -^.et — ■ devront remplacer et — dans les
formules (454), (455) et (45S). Mais nous allons voir que cette substitution est inutile. En effet, si Ton compare le terme ~ qui doit être subs-
