LU
titué au terme de la formule (454) , on reconnaîtra, à l’aide des for-
ment petit, car les quantitps £ dx.dt et — dx.dt, qui sont les valeurs
île RQ et de «'R, étant des Infiniment petits du second, ordre, il en doit être de même de l’hypothénuse n'Q du petit triangle rectangle n'QR formé par ces côtés. Mais le côté NV des triangles n'N'Q étant un infiniment petit du premier ordre, il eu résulte que l’ahgle n'N'Q est infiniment petit.
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT DES FLUIDES. ^l5 mules (457} et (458), que ces termes ne diffèrent que par un Infiniment petit qu-’on a le droit de supprimer. Par, conséquent la formule (45$), qui donne la longueur de côté MA au- bout du temps dt , exprime aussi bien la longueur du côté MB au bout du même temps. s
On prouverait de .même que tous les autres côtés qui» étaient parallèles dans le parallélépipède primitif sont encore égaux dans sa nouvelle position.
65o. Négligeant les infiniment petits du second ordre (*), autres que ceux qui composent le premier carré, et qui donneront lieu par suite à dos-réductions, les formulas (454), (45$) et (456), deviennent
et en extrayant les racines carrées, donnent
pour les trois prcÿections de MW (fig. a53); et comme dans l’instant di Fig.a53. les extrémités M et m do la petite droite dont dx , dj et dt sont les pro jections, arrivent en M' et eu m', la distance MW représente donc ce que devient la droite Mm au bout de l’instant, dt. •
65i. Ayant ainsi déterminé les trois projections de MW, si nous en formons le produit, c'est-à-dire si nous multiplions entre elles les trou quantités comprises sous le n° 460, nous aurons
pour ce que sera devenu le parallélépipède dxdrdt au bout de l’instant dt. A la vérité , le nouveau parallélépipède serait obliquangle dans la rigueur mathématique, comme nous l’avons vu, et par conséquent ne serait pas égal au produit de ses trois arêtes ; mais l’erreur ne porterait
(*) On pourrait croire qu’on devrait aussi supprimer les infiniment petits du premier ordredevaot la quantité finie 1, ce qui réduirait notre radical 1 V/i.Si nous ne le faisons pas , c’çst que l’esprit de ce calcul consiste à ne point faire de suite de réduction, parcé que, comme nous le verrons, les quantités finies se détruisent mutuellement à la fin du calcul. Le mélange de ces sortes do quantités n’est q^e momentané.
[ÿ}£> HVDBOtlYNAMIQUK.
que anr les termes-e» <ft* qua nous avons négligés , parce que ces termes sont leé1 seuls qui écartent les projections dq leurs directions primitives. Ainsi nous pouvons adopter querie nouveau parallélépipède est' exactement représenté par la formule (464). Cela posé, en formant le produit indiqué.par'cette formule , et en eflaçant les termes en dt* et en <fr*, qui se trouveut compris entre les parenthèses, il rèstera
dxdrdz
( du j
dv
dt
dw \
65a. Si nbus représentons maintenant par p la densité du fluide au bout du temps t , et par / cette densité au bout du temps t-f-dt, comme la masse est égale au volume multiplié par la densité , et que , par hypothèse, le volume dxdyde correspond au 'temps t; la masse fluide renfermée, dans ce volume sera donc exprimée par pdxdyde , et, d’après ce qui. précède , cette 'même masse fluide, au bout du temps t 4- dt, deviendra . ^
p’dxdydi ^
dv
dt
, du
et* en représentant par k la quantité —
^ , cette expression djrdt
pourra s’écrire de cette manière abrégée ■
• • p'dx4ydz(i .+ Xdt)." '•
653. Dans le cas où 1®. fluide est incompressible, une masse donnée devant toujours occuper le même espace dans quelque temps que ce soit, la densité sera constante , et les masses que nous venons de considérer seront égales ; d’où il suit qu’on aura
pdxdydt = p [dxdyde (i kdt) jj
réduisant et supprimant les facteurs- communs, il restera k=x oj mettant la valeur que représente k, art. 65a , on aura donc
du
dx
du dv»
dy ~ de. .
Telle est la Condition qni doit être satisfaite’ pour que le fluide soit incompressible. >
654.. Dans Je cas où le fluide, est compressible ou élastique , on doit regarder la densité qui a lieu au point m' comme une fonction des coordonnées x, y, X; et cette fonction se déterminera en ajoutant ù p les accroissemens dus aux variables x, y, e ; on aura donc
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT UES FLUIDES. iÇ?.’]
mais comme l'instant qui n’est Écoulé pèndsnt le mouvement de notre petit parallélépipède est dt , on aéra
dx = udt, djr — vdt, dt = wdt remplaçant dx, dx et de par ces valeurs, l’équation (46a) deviendra
ou plutdt
dr
équation qui est de la forme .■ ’
• , f =v= p 4- Ld‘ ■ -,
Or, la 4ensité étant en raison inverso du volnm», on a ' • ,
fW •• dxdÿdz (t -+- Idt) ; dxdrdz ; ou , en menant la valeur d* p’ , et en supprimant le facteur commun ,
• ' >■:, + L*;i,o + wo : i; '/ ’ .
égalant le produit des extrêmes à celui des moyens , on a - ,
f=(t + Ui)(i,+'W();
développant et négligeant le térme en de, qui est un infiniment petit du second ordre, il restera
pldt + IaU — o,
et en supprimant le facteur commun dt, cette équation se réduira :V f pÆ L == o.
S( 1 on met dans ce dernier résultat les valeurs de A* et do \j, on obtiendra enfin
» ü^ .dv , dw\ dp dp, ' dp *■ dp
f \d* + dr + dt) + Ji-+UT*+ uTy t w
(»55. Cetfe équation peut se simplifierjcar en considérant d’abord les deux termes affectés de u, il est aisé de voir qu’fié sont la différentielle exacte de pu , par rapport à x et divisée par dr.
La mémo observation pouvant s’appliquer aux deux termes en e, et aux deux termes en w, il en résulte 4 qu'on peut mettre l’équation précédente sous cette forme . .
4^8 hydrodynamique.
()54. -Cette équation renferme comme cas particulier, celui où la densité est constante. En.effet , la différentielle d’une constante étant nulle,
df = »i
dp
donc le terme on ^ n’oxiste p?s, et dens les. autres p étant constant,
devient un Capteur commun qu’on supprime ; alors l’éqaation précédente se réduit à
du dv
dx~*~ dy
ce qui s’accorde avec ce que nous avons vu, art. 653.
657. L’équation (464), flu* établit uno relation entre la vitesse et la densité, est appelée l’équation de la continuité du fluide, parce que c’est d’après cette hypothèse qu’elle est fondée. En-effet , lorsque nous passons des petites arêtes du parallélépipède au volume de ce parallélépipède, nous admettons qne le fluide qui y est renfermé participe au mouvement que reçoivent ees arêtes. Or, c’est ce qui a. lieu s’il n’y a point de solution de continuité qui empêche les particules fluides de se suivre. Cette hypothèse de la continuité du fluide se trouve en défaut dans quelques cas particuliers. Par exemple , lorsque les molécules fluides qn’un jet d’eau a transportées dans l’atmosphère descendent sur la terre, elles se subdivisent, et, ‘séparées par l’action dé l’air, eHes laissent entre elles des. vides qui les font retomber en petites gouttes d’eau. Dans de semblables cas, la théorie générale que nous avons exposée n’est plus applicable; aussi n’est- elle pas toujours d’accord avec l’expérience.
658. L’équation de la continuité d’un fluide étant loin do suffire pour la détermination de nos trois inconnues, nous allons en obtenir trois autres qui nous seront données par la considération desforces accélératrices. Pour cet effet, supposons qu’on ait réduit tonteB les forcés accélératrices à trois composantes rectangulaires X, Y et Z^parallèles à cliacun des axes , et agissant à l’expiration du temps t sur les molécules fluides dont les coordonnées sont x, x, s; si ces forces agissaient librement,
comme elles impriment an boutdn temps 1 des vitèssea qui sont ^ ,
dr dt
dt’ dt’ °"e* accroîtraient ces vitesses des quantités Xdl, Ytk et Zdt, qui
sont les vitesses que les forces accélératrices X, Y, Z sont capables de produire dans l’instant dt ; mais comme le point fluide que 'nous corderons est lié aux autres, et participe à leur «ommun mouvement , les accroissemens de vitesse, au lieu d’être Xdt, Y dt et Zdt, seront les ac-,
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT U F. S FLUIDES. \o.()
dx dy i ig ' • ' dx dy dt
croissemens a. — , d. d. — que reçoivent — , et — au bout dty dt ’ dt ^ v dt* dt dt
du temps dt. Ainsi, à l'expiration de dt , nous aurons pour les accrois*
semens de vitesse effectifs,
, dx dy dt
ddï’ dTt’ ddi‘
et pour les accroissemens ditsailx seules forces accélératrices ,
Xdt, Ydt, Zdt;
et comme, d’après le principe de d’Alembert, les vitesses gagnées ou perdues doivent équivaloir aux' vitesses que pourraient communiquer les forces accélératrices, moins celles qui ont réellement lieu, on aura pour les vitesses perdues ou gagnées
,dans le sens des x
Xdr-d.J,
dans le sens des y....
... Xdt-d*,
dans le sens des t. ...
dt
... Zdt — d-f-.
dt
Soient maintenant X', Y', Z' les forces accélératrices qui, dans le cas'de l’équilibre , seraient capables d’imprimer ces vitesses au fluide. Comme on a vu art. (598), qu’une force accélératrice tf étant donnée, l’accroissement qu’elle est capable de communiquer à un mobile dans l’instant dt, était représenté par ç>dt , nous^urons donc
X'dt, Y 'dt et Z'dt,
pour les accroissemens de vitesse que peuvent communiquer à notre molécule fluide les forces hypothétiques X', Y' et Z'. Gr, cbtnme nous supposons que ces accroissemens sont précisément égaux aux Vitesses gagnées ou perdues, nous aurons donc, diaprés le principe de d’Alembert,
Xdt - d.^ = X'dt,
dt * # .
• Y dt -d.% z=,Xdt, ' ,
dt ’
- Zdt - d.% = Z'dt;
et puisque dit, dy, dt, sont les espaces parcourus , on a dx dy dt .
Tt as, Tt = w... (4G5).
yJ3» HYDRODYNAMIQUE. ,
En substituant ces valeurs dans les équations précédentes, nous réduirons ces équations à
’kdt — du z=z \'dt, \
Ydt — de s= Y'd<,( . (466). •
Zdt — dw = Z'éi.l
Iî’uno autre part, les forces X'j Y', Z' étapt celles qpi, sont capables de mettre le fluide en équilibre, satisfont nécessairement aux équations générales (3ga) de l’équilibre des fluides , page 35i ; donc , en y remplaçant X, Y, Z par les composantes X', Y', Z', on a
rn - J V/t dp . . y, dp y,
= fX, ^t=fY, ^ = fZ. .
659. Au moyen des valeurs de X', de Y' et de Z' fournies par ces équations,, les formales (4(36) deviennent #
Xdt — du = - dp dt ,) ; p dx 1
Y dt — dv = - dt,
r dr
dw= - ÿ dt.
p dz
Zd(
Les différentielles du, dv et dw, qui entrent dans cOBéquations, devant être prises en regardant les composantes a, v et vu de la vitesse comme fonctions des variable^ t, x, y *et s, on a en général
du du s du ■ du
= ST * + £ dx + &ir +
l dv* . ,dv . ù dv dv
dv — dt -f. — * dx -t- — dy -h —, dz , dx dy J di •
dt
dw z
dw ■ dut dw . ' dw
• * ^ dx -t- -jf dr
dt
dy
et, en mettant dans ces équations les valèurs des différentielles dx, dy et dt, tirées des équations (465), on obtient t
du du du du
du xx — dt + — ,udt H- T ■ vdt -t- — .wdt,
dt dx dy dz
, dp . dp dp dp
* =Ttdt + dx •"*•+, & vdt + dt wit'
dwx-^dt + p.udt + p.vdt + % .wdt.
de dx dr az *
