N NOTE PREMIÈRE

déterminant de même les autres constantes , on en mettra les valeurs dans le développement de tpz , et l’on obtiendra

/ bz% b*z* bize

p = ’(,+T+,-Jî+rMXSH:®'

Si l’on fait h = — a*, on trouvera

cette valeur de çz est précisément le développement de 2 cos az, ainsi qu’on peut le vérifier en réduisant en série 2 cos az par la formule de Maclaurin ( Élément de Calcul différentiel ); donc

tpz= 2 cos az ;

changeant z en x dans cette équation , on a <px~ 2 cos ax ;

substituant cette valeur dans celle de R, on obtient enfin R = ?P cos ax. . . (47 2).

Pour déterminer la constante a , soit 2x = 200° : alors P et P se trouvent directement opposés; et comme ces forces sont égales, elles se font équilibre; la résultante est donc nulle dans ce cas , et l’on a

2P cos (a X 1 00) = o , et en supprimant le facteur 2P , il reste

cos (a X 10°) — °-

Or, le cosinus qui est nul ne peut appartenir qu’à l’un de Fig. 169. ces arcs (fig. 169),

BE, BEAF, BEAFBE , etc.;

PARALLÉLOGRAMME DES FORCES, 2lnt DEMONSTRATION. 44^

c’est-à-dire à l’un des suivans ,

ioo, 3.ioo, 5.100, etc.;

donc a ne peut être qu’un nombre impair.

Je dis maintenant que a — i ; car aucune autre hypothèse de nombre impair ne peut subsister. Par exemple , si l’on faisait a = 3 , comme x est arbitraire , on pourrait supposer

ioo

et l’angle 2x des forces deviendrait

ces forces formant alors un angle moindre que 200 °, auraient une résultante ; car il faudrait que leurs directions se confondissent pour qu’il n’y en eût pas.

D’une autre part, l’hypothèse de a — 3 et de x —

change l’équation (472) en

R = 2P cos ioo,

et , en observant que le cosinus de ioo° est nul , cette équation se réduit à

résultat qui est en contradiction avec le précédent, car nous avons vu que , dans cette hypothèse , les forces auraient une résultante ; donc puisqu’on ne peut , sans absurdité , prendre pour le nombre impair a une autre valeur que l’unité , concluons que a — 1 , et que l’on a

R = 2P cos x.

Si l’on construit maintenant la losange BAB'D (fig. 267 ) , le Fiç. 167. côté AB étant représenté par P, et l’angle BOA par x , on a

évidemment

donc

WOTE PREMIÈRE.

AO = P cos x ; aAO on AD = 2P cos x.

Il est facile maintenant de démontrer que la proposition est vraie , lorsque les forces P et P' sont inégales et rectangulaires. Fi(;.a68. En effet, ayant achevé le parallélogramme PAP'D (fig, 268), on mènera la parallèle EF à la diagonale PP', et les parallèles PE, P'F à la diagonale AD. Cela posé, les diagonales PP' et AD se coupant en quatre parties égales au point O , on aura