SOMME DES CABRÉS DF.S SI MUS ET COSINUS
posantes rectangulaires ACet AD; alors le système des forces AP et AP' sera le mente que celui des forces AD-)-AP'-|- AC. Or, AD étant égal à P'F, on peut mettre AF à la place de AD -f- AP', et il ne s’agira plus que de déterminer la résultante des forces AF et AC. Cette résultante , d’après ce qui précède , est évidemment AE ; et comme AE est la diagonale du parallélogramme APEP', il s’ensuit que la proposition est vraie quel que soit l’angle des forces.
NOTE DEUXIÈME, page 21.
Démonstration dojit le but est de prouver que la somme des carrés du sinus et. du cosinus est égale à l'unité.
On parviendrait encore à démontrer de la manière suivante, que la somme des carrés des cosinus des angles formés par les composantes, est égale à l’unité. Soit 9 l’angle DAC formé par la droite AD (fig. 29) avec sa projection AC sur le plan xA. y, et Fig. ag. fl l’angle BAC que cette projection fait avec l’axe Ax; les triangles ABC, ADC, rectangles en C, nous donnent
AB = AC cos fl, BC = AC sin fl,
AC = ADcosp, DC = ADsinp.
r "•} » * , - -tl'-.a «M *• — * r 1) 4.*A4>‘ é&i\
On tire des trois premières de ces quatre équations ,
AB = AD cos 9 cos 6, BC = AD cos 9 sin 0.
Substituant ces valeurs et celles de DC dans les équations (9) et (8)i page 2 1 , et supprimant le facteur commun, il restera
cos 1 = cos 9 cos fl, cos » = cos 9 sin fl, cos y =r sinp.
Ces équations, élevées au carré et réduites, reproduisent l’équation (10).
NOTK TROISIEME.
NOTE TROISIÈME, page 17.
Nouveau procédé pour déterminer les équations de la résultante des forces appliquées à un point.
Voici un moyen très simple de trouver les équations de la résultante. On sait qu’une droite dans l’espace, assujétie à passer par un point dont les coordonnées sont x', y, z', a pour équations
Supposons que les coordonnées des points extrêmes de la droite qui représente en intensité la résultante, soient respectivement x', y', z' et x", y" , z ", les équations (473) nous donneront
z" —z' = k[x" x'), z" z' = B(jr" j');
d’où l’on tirera
Or il est évident que les différences x"— x', y" — y', z" — z' des coordonnées des points extrêmes de la résultante ne sont autre chose que les projections X, Y et Z de cette droite sur les axes des x, des y et des z ; par conséquent les équations (4 74) peuvent s’écrire ainsi ,
substituant ces valeurs dans les équations (473), on aura Z— z' = ^ (x — x'), z — zf = ^(y— y).
RÉFLEXIONS SlIR LES ÉQUATIONS d’ ÉQUILIBRE.
NOTE QUATRIÈME , page 5 1 .
Réflexions sur les équations tf équilibre.
Les équations (55), (56) et (57), page 5i, nous offrent des conséquences remarquables. En considérant d’abord les deux premières , on reconnaît celles que nous avons trouvées être né cessaires, art. 4o et 43, pour que les forces soient en équilibre autour d’un point fixe ; c’est ce qui résulte immédiatement de la théorie que nous avons exposée ; car en supposant que l’équation (57) soit satisfaite, les forces du système concourent nécessairement en un point , et si Ton transporte toutes les forces du système en ce point, on pourra les décomposer en deux groupes de forces, les unes parallèles à Taxe des x, et les autres parallèles à Taxe des y. Ces nouvelles composantes auront les mêmes intensités que lorsque les forces étaient appliquées en différens points, parce que ces forces ayant été transportées parallèlement à elles-mêmes, art. 92, les parallélogrammes n'ont pas changé. Il suit de là que si la somme des composantes parallèles à chacun des axes est nulle, le point de concours qui est sur la résultante ne pourra se mouvoir dans aucun sens ; car s’il avait cette faculté, le système des forces aurait une résultante, et cette résultante serait décomposable en deux forces X et Y, parallèles aux axes coordonnés; or, par la nature des équations (55) et (56), les composantes parallèles aux axes coordonnés étant nulles, nous tomberions dans une contradiction.
Lorsque l’équation (67) n’est pas satisfaite, les équations (55) et (56) ne suffisent pas pour obtenir l’équilibre. En effet, soit R. la résultante de toutes les forces, hors P et P' ; ayant réduit le système aux trois forces P, P* et R , ces forces ne pourront concourir en un point , parce que l’équation (57) n’est pas satisfaite ; par conséquent le point de concours B (fig. 270) des forces P et P' ne sera pas le même que le point pjp. 2-0.
NOTK QUATRIKMF..
«l’application A delà force R. Nommons R' la résultante des forces P et P'; et supposons que R et R' forment respectivement avec les axes coordonnés nies angles a, b, et a', b', nous aurons
R' cos «' ~ P'cos a. P' cos R' cos b' P cos C -f- P' cos £',
R cos a — P"cos *" P'" cos « etc. ,
R cos b = P" cos C" -+- P'" cos £"'+ etc.
Au moyen de ces valeurs les équations (55) et (56) deviend ront
R cos a = — R' cos a’,
R cos b — — R' cos b'.
Ces composantes étant égales et de signes contraires, il suit de là que si R cos « et R cos b sont représentés par les droites AC et AD, les deux autres composantes le seront par les droites BF, et BF, respectivement égales à AC et à AD ; par conséquent les rectangles CD et EF seront égaux. D’où il résulte que les forces R et R' représentées par les diagonales de ces rectangles, seront égales et parallèles. Ainsi, en supposant que les forces R et R' agissent par pulsion, la force R transportera le point A en A', tandis que R' transportera le point B en B' ; et comme, d’après ce qui précède, ces forces ont la même intensité, les points A et B parcourront des chemins égaux; de sorte que l’effet de ces forces sera de faire prendre à la droite AB, la position A'B', et par conséquent lui imprimera un mouvementde rotation autour du point O.
On a donné aux équations
2Pcos«=o et
£ P COSo =o,
le nom A' équations d'équilibre de translation , et à l’équation SP p = o,
celui d'équation d’équilibre de rotation.
réd
des
gée
par
deu
rail,
en
fore
la c
mer
forr
sub.
NB,
*<]< MC, «gale de M plicai
direc
cette
situé,
dgée l«s f, Parc sera, rontr
