RÉDUCTION X DEUX RÉSULTANTES

NOTE CINQUIÈME, page 75.

Manière de réduire toutes les forces situées dans le plan des x , y, à deux résultantes .

Voici de quelle manière on peut exécuter cette opération. On réduira d’abord, art. 1 14, toutes les forces situées dans le plan des x, y à deux résultantes MA et NB (fig. 271) égales et dirigées en sens contraire ; on en fera autant à l’égard des forces parallèles à l’axe des z , et il ne s’agira plus que de composer, deux à deux , les quatre résultantes qu’on aura ainsi obtenues.

Pour cela, soient P et Q les points où les deux résultantes parallèles à l’axe des 1 rencontrent le plan des x, y; il faudra faire en sorte qu’en changeant les directions de MA et de NB, ces forces passent par les points P et Q. On parviendra à ce but par la construction suivante : Sur le prolongement de PM , on formera le parallélogramme AMDC, et en prenant NE = MD, on formera le second parallélogramme BNEF : alors on pourra substituer au système des forces MA et NB celui des forces MA, NB, MD et NE, parce que ces dernières, directement opposées, se détruisent. Remplaçant ces quatre forces par les diagonales MC et NF, ces diagonales, d’après notre construction , seront égales et dirigées en sens contraires ; et comme alors la direction de MC passera par le point P, on y transportera le point d’application M de cette force. Par le même procédé , on changera la direction de NF, et l’on transportera le point d’application de cette force au point Q. De cette manière, le système des forces situées dans le plan des x, 7, se réduira à deux forces égales dirigées en sens contraires, qui rencontreront aux points P etQ jes forces de même genre PZ' et QZ", parallèles à l’axe des z; par conséquent la résultante des deux forces situées au point P, sera égale à la résultante des forces situées en Q, et agira en sens contraire

Élèm. de Mécanique, 30

M)TK SIXIÈME.

NOTE SIXIÈME, page 75.

Démonstration qui tend à prouver que la projection dune aire sur un plan est égale au produit de cette aire par le cosinus de V inclinaison.

On pourrait démontrer cette proposition par la simple considération des triangles rectangles, en prouvant que toute ordonnée qui, dans la projection, serait perpendiculaire à la commune section du plan de projection et de la surface plane projetée est égale à l’ordonnée correspondante de cette surface, multipliée par le cosinus de l’inclinaison, mais nous ne nous y arrêterons pas : nous préférons démontrer ce théorème en faisant voir que si l’on décompose la surface projetée en triangles, chaque triangle, multiplié par le cosinus de l’inclinaison des plans, sera Fig. 17a. égal au triangle de projection. Pour le prouver, soit ABC(fig. 272) l’un de ces triangles ; sa projection DEF est déterminée par les pieds des perpendiculaires AD, BE, CF qui sont abaissées dessus.

Cette projection DEF peut être regardée comme la base d’un prisme triangulaire tronqué, dont AD, BE et CF seraient les trois arêtes. Or on sait, par la Géométrie, que le volume de ce prisme est égal au produit de Faire de la base par le tiers de la somme des trois perpendiculaires abaissées des sommets A, B et C sur cette base ; ces perpendiculaires n’étant autre chose que les trois arêtes AD, BE et CF, le volume de notre prisme aura pour expression

aire DEF X 7 (AD + BE + CF). . . (475).

Mais en posant le prisme.sur le triangle ABC, ce triangle en deviendra la nouvelle base, et le prisme aura pour mesure le produit de ABC par le tiers de la somme des trois perpendiculaires D d, Ee, F/ menées des extrémités D, E,F sur le plan ABC; de

Cel

arè

plai

non

par

sub<

et co quie lantç

eequi

f°rm,

l*rp,

PROJECTION d’unf. surface sur un plan, 45 1

sorte que la solidité de notre prisme tronqué aura encore pour expression

aire ABC X { (Bd + Ee + F/). . . (4>j6).

Cela posé, les droites Bd, Ee, F f étant perpendiculaires au plan ACB, sont parallèles, et font les mêmes angles avec les anciennes arêtes. Or, AD et Drf étant deux droites perpendiculaires aux plans DEF et ABC , mesurent l’angle d’inclinaison de ces plans ; nommons p cet angle d’inclinaison, nous aurons donc

angle AD<7 = p ;

par conséquent le triangle AD</ rectangle en d, nous donnera D d ■=. AD cos <p.

On prouverait de même qu’on a

E e — BE cos p , F f— CF cos p ; substituant ces valeurs dans l’expression (476), on obtiendra aire ABC X j (AD -f- BE -f- CF) cos p ;

et comme cette expression du volume du prisme est égale à celle qui est désignée par (475), nous trouverons enfin, en les égalant et en supprimant le facteur commun ,

aire DEF = aire ABC cos p , cequi démontre notre proposition .

NOTE SEPTIÈME, page 76,

Sur la mesure de l’angle formé par deux plans.

Voici de quelle manière on pourrait démontrer que l’angle formé par deux plans se mesure par l’angle compris entre deux perpendiculaires menées d’un même point C (fig. 7a) à chacun Fig’ 7a*