POINT ASSUJÉTI A «ESTER SUR UNE SURFACE

n’étant autre chose quo les projections de notre droite 6ur les axes coor- ' donnés , cherchons les relations qui existent entre ces projetions et les angles 6, (f, 8". Pour cela, soit MN (fig. 33) notre dro™ donnée Fig. 33. dans l’espace, et rapportée aux trois axes ‘ rectangulaires réunis à un point O pris pour origine, et nommons x', ÿ , s', x , y, z , les coordonnées des points M et N j si , par les coordonnées

MD-»', BD=yetlNE = A, EC=r,

on fait passer les plans DF et'EG , ces plans seront parallèles à celui des r, * ; et comme la distance qui lés sépare est mesurée par la partie interceptée BC = jr — x' de l’axe des x, et qoo tonte parallèle à cet axo doit être perpendiculaire aux deux plans, il s’ensuit qu’on menant do l’extrémité M de la coordonnée ï, la parallèle MP à l’axe des x , cette parallèle sera perpendiculaire au plan EG, et le rencontrera à une distance MP = x — x'.

Or, si l’on unit le point Pau point N, où la droite MN rencontre le plan EG, on formera le triangle MNP, rectangle en P, puisque MI» est perpendiculaire au plan EG. Or, dans un trianglo rectangle, le côté adjaccntè un angle étant égal à l’hypoténuse multipliée par le cosinus de cet angle, nous aurons

MP = MNcosM,

x — ±' = MN cos B;

mais MN étant une droite qui passe par les points x, y, t et x', y , on sait (voyez la note de la page 20) qu’elle a pour expression

■+■ cr -~yy ■+■(* — •*'»>

Mettant cette valeur dans l’équation précédente, nous en tirerons

coke7 =

ème

menant ensuite par les coordonnées x, z, x', tf et r,y, y ty dos plans parallèles aux plans XOZ et XOŸ, on trouvera de même

Cos 6" = —

V( V — xQ* + ( y — y y -b (Z — zT)' ’

éliminant les valeurs'de x — x7 et dey— y, à l’aido des équations (aG , et snppriroant'ensuito z—z', qui devient facteur commun , on obtiendra

cos

STATIQUE* eus '/ —

cos 6* =

6i. Ces valeurs , qui déterminent la position de la normale, ne sont pas encore connues , puisque les quantités a et 4, qui entrent dans leurs expressions , ne sont que des signes généraux. Cherchons donc à déterminer ces quantités a et l d’une manière plus particulière. Pour cela, soit L = 6 l’équation de la surface qui passe par le point V, /, t' ■ si l'on mène par ce point un plan tangent à cette surface, l’équation de ce plan sera en général (Théorie des Courbes, page a;5)

Ax ■+■ Br •+■ Cr •+■ D = o ; • ;

et devant être satisfaite par les coordonnées a7, y, sf, elle nous donnera

£ a*7 + vy + Cz' + d = o.

4>Lft f '**: u .

Éliminant D, l’éqWion du plan tangent à notre point xf, /, t?, sora

•t en divisant par C, nous mettrons cette équation sous cette forme

Par la condition de tangence à la surface L = o ( voyez mes Elémens de Calcul diffère AAI, pages 54, 4® «d*1- et 56, 5* édit. ), il faudra qu’en

tiraqt les valeurs de ^ et de ~ de l’équation de cette surface , on ait

A dx' B Ay —c 3P’ (’9)'

Or, od siît par la Géométrie analytique (Théorie des Courbes, pago 379) que lorsqu’un plan dont l’équation est Ax -+-Bf-f-C«-#-D=o, doit être perpendiculaire à la droite qui a pour équations x = ar-H«,

yxzbz + C, il faut que l’on ait - = a, - = 4; donc les équations (39)

se réduisent à

— “ — dx"

Ga II ne s’agit plus que de déterminer les valeurs de ces cocIBcions

POINT ASSUJFTl A RESTER SUR UNE SURFACE.

dillérentiels , au moyen de l'équation de la surface. Pour cela, on obtient, en diOurcntiant cette équation,

dL , dL. . dL , cdx-f-ÿdr + j d*=o;

par conséquent on eu tire

VmP3b.

accentuant x, y, t, pour marquer que l’on considère le point de tangence, on trouve

dL dL

de' dP ds' #4/

dP~ dL’ 47-“dL: ^ .

ds' *ds' 4 ,

substituant ces expressions dans les équations (3o), on obtient **

dL dL

dP . d/

a~dL’ * dL’

Mettant ces valeurs dans les équations (27), ot réduisant, on a enfin

cos û =

■ If?-' -

co s 6" = .

ds'

■ V,(è)VQ'+G4)'

Ces équations étant sous des formes peu commodes pour le calcul , on les simplifiera en faisant

vU-)-+G?)Xë)-

jC'

éP\

ce qui les réduira à

„ dL dL ... r dL

cos 8= Y gp, cos e'=V^>, cos«'=Vjp;

substituant cos valeurs des cosinus dans les équations (a5) , on aura

NVÆ? + X=°- *g + T— . Mvg + Zfeo.'.:'.

63. Il nous reste maintenant à déterminais valeur de N. Or, c’est ce qui est très facile, car, en faisant passer X, "S, Z dans les seconds membres des équations (3a) et élevant ensuite ces équations au carré, on obtiendra, en réunissant leur lomae,

et, en réduisant au moyen de l’équation (3i) il restera N’ =• X’ -+• Y* + Z’,

d’où l’on tirera

N = :fcl/\* 4- *•-+-*>• . (33).

Cette valeur de N est précisément la même que celle de la résultante de toutes les forces du système, mais elle doit être d’un signe différent, puisqu’il faut qu’ello lui soit opposée. Ainsi , lorsque nous aurons déterminé la résultante dq toutes les forces P, P', P", cto., nous prendrons le radical de l’équation (33) arec un signo contraire, et nous nurons pour N la pression normale qu’éprouve la surface.

64- Si la force normale est dans la direction de l’axo des z, on a 0=ioo°, O' = ioo°, 8" = o ou 6' = 000°, (div. centésim.) et par conséquent

cos 0 = o, cos0' = o, cos8“ = ±i, et les équatÿins (i5) se réduisent ù

ce qui nous montre que les composantes, dans le sens du plan tangent, se détruisent, et tjuc ln force normale doit contrebalancer l’effort de toutes les forces dirigées suivant l’axe des r.

65. Enfin, la nature du problème peut être telle, qu’on no nous donne que les forces P, P', P“, etc., et l’équation de la surface, et qu’on demande où doit être situé le point d’application y, s’, do toutes ces forces, dans le cas de l’équilibre.

Pour résoudre cette question, on éliminera d’abord N au moyen des équations (3a), le facteur V disparaîtra en même temps, et l’on aura

POINT ASSUJÉTI \ RF.STKF SUR DF-UX SURFACES. VI

„ dL „ dli „ dL . 'dL

' ds'

ëLv dL z dp ~ Y ds'

ces équations, jointes à l’équation L =■ o , suffiront pour déterminer les coordonnées, ■x', y', s', du point d'application cherché.

Des conditions d’équilibre lorsque le point auquel sont appliquées diverses forces est assujéti h rester constamment sur {{eux surfaces courbes, ou sur une courbe à double ‘Courbure.

66. Un point matériel retenu sur deux surfaces, Tie peut rester en repos à moins que la force qui lo sollicite ne puisse se décomposer en deux autres qjui soient respectivement normales à chacune des surfaces données'; car si l'une de ces composantes avait une différente direction , on pourrait la décomposer en deux forces, la première normale à l’une des surfaces , et la seconde tangente à la mémo surface ; et l’on sent que cette dernière ferait glisser le point matériel.

Cela posé , soient doûc N et M les deux forces normales , et 6, V, lé, », », les angles que leurs directions font avec les trois axes rectangulaires menés au pdint d’application ; en opérânbide la même manière que dans l’artfqe 5g, nous aurons ' .

Ncos 0 4- M cos » -f- X = • 1 -s,

'NcosS' + Mcee»' + Y == o l.. . ,34).. t.*,

M cos fr“ M cos s" 4- Z m o I

Les équations L —6 et K = o étant différentiées, nous feront connaître, comme dans l’article 6a, les valeursjdes quantités cos 8, cos 8', cos 8", cos », cos»', co^»" ; et, en nous servant d’abrèviations analogues à «elles que nous avons employées art. 63, nous supposerons

iV-- . . :■* - = v„

dL\> L,dr7 •

.saurons , * ^ ^

et nous

CM lé - V

d gr*.

dat ' ' dk

cos fl” — X — -

Élém. de Mécanique.

•dSt

dL :

SF’

dK *: :

COS': - . d?- * <¥‘- tb*

iL » • i-. .€/■-• - :

co&* =. u yy. * - ■ ■

Ces valeurs étant substituées dans les équations (S4) nous trouverons

dy'