DES FORCES SITUÉES DAMS UM PL A

P 'p' —y' P' cos a' — »x'P' cosf',

P "p" — r"P" cos à" — ,r"P" cos C*.

P>w = /"P" cos •" — a/V cos' Zm, etc. etc. etc.;

en substituant ces valeurs dans l’équation des momens , elle deviendra 1

P (y co9H' — x cosS) J?' (y' cos a' — x'cosG') etc. = o. ..(59.);

par |^séquént nous aurons pour celle de la résultant? ,

/X — xY =: 2 [ P ( y cos *■— - x cos 6-) ].

lu. Nous avons vu que pour déterminer les signes des momens P p, P'//, etc,, qui entrent dans l’équation (5y), il fallait faire usage de la règle de l’article 107 , qui est un peu étrangère aux considérations analytiques; mais lorsque par une transformation cette équation sera devenue celle que nous avons indiquée par (5g) , il suffira pour déterminer les signe* des momens, de faire usage de la règle des signes (art. 37 et 38), en. ayant seulement le soin de changer aussi les signes des coordonnées , lorsque de positives elles deviennent négatives. , . • * . • • .

Par exemple, soit une force P située à l’égard des axes coordonnés Aæ et Ay, comme nous l’avons placée ( fig. 6 tX Le momentde cette force étant en général P (y cos <* — x cos S], pour le modifier convenablement ce cas particulier , nous avons tenégatif, y positif, rds n négatif, cos Z négdtif ; donc le moment de cette force, en ayant égard aux signes, deviendra

P(- — y cos «t — jrcosCj. ^ * : *

tid. Remarquons qu’il ÿ a toujours un# hypothèse primitive Çûte tacitement sur lé* signes. Cette hypothèse est ici , qu’une force dont la directlbn CD (fig* 60) coupe l’axe des/, a son, moment Vp positif. , v ’ '

Fi?. G>.

114. Les équations d’équilibre (5a), (53) et (54) expriment la condition que toutes les forces du système se réduisent à deux forces égales et directement opposées. En effet, si nous appelons P cos <*, P' cos «*', etc., les composantes parallèles à l’axe des x qui agissent dans un sens, et P" cos a", P'" cos *m, etc. , celles qui agissent dans un sens opposé, l’équation (5a)^ reviendra à celle-ci :

P cos a + P' cos <*' -+- etc. = P" cos * P* cos etc.

Les forces P cos a, P' cos etc., étant parallèles, noHttpou~ vons, par la çomposition des forces, les réduire à une seule X' égale à leur somme et parallèle à leur direction. Opérant de même à l’égard des forces P" cos P” cos <*", etc. , et appelant X" leur résultante , le système de toutes les forces parallèles à l’axe des x se réduira à celui de deux forces X' et X" égales et dirigées en sens contraires.

Par une même construction , nous convertirons toutes les forces parallèles à l’axe des y, à deux résultantes Y' et Y" égales et dirigées en sens contraires.

Transportons les forces X7 et Y' à leur point de rencontre Fig. 62 M (fig- 62), et les forces X" et Y" à leur point de rencontre N , nous pourrons construire les rectangles MA et NB , dans lesquels les côtés MC, MD, NE, NF représenteront les forces X7, Y', X", Y"; et comme les côtés homologues de cef rectangles sont égaux, il en sera de même des diagonales MA et NB dont les directions se trouveront parallèles, en vertu dè l’égalité des triangles AMD, BNE.

Les équations X = o, Y = o expriment donc cette condition, que les forces situées dans un plan peuvent se réduire à deux forces MA et NB , égales , parallèles et dirigées en sens contraires; mais ces équations ne disent pas que les forces MA et NB agissent dans la même direction. Pour que cela ait lieu, il faut que l'équation S P/j = o soit satisfaite : en effet, nommons R' et R" les forces MA et NB, et r7 et r" les perpendicu-

DES FORCES SITUÉES DANS UN PLAN. 5g

laires OP et OQ abaissées d’un point 0 pris hors des directions prolongées de ces forces; comme R' et R" agissent en sens contraires , les momens de ces forces seront de differens signes, et l'équation 2P/> = o sera remplacée par celle-ci ,

‘ ï / V RV — RV' = o.

Par hypothèse, R' et R'' ont les mêmes intensités; ainsi en supprimant R' et R" comme des facteurs égaux dans l’équation préeédente , nous la réduirons à

par conséquent , la différence des droites, OP = r' et OQ — r" étant nulle, il s’ensuit que les points fP et Q coïncident, et que les forces MA et NB sont dirigées suivant une même droite.

Une conséquence de ce qui précède, est que lorsque l’équation XP/> = o n’est pas satisfaite , et qu’on a seulement X = o et Y =0, le système se réduit à deux forces parallèles MA et NB, du genre de celles que nous avons considérées (art. 74).

11 5. Si au contraire l’équation SP p — o était la seule qui Fig. 6a. fût satisfaite , il n’y aurait pas équilibre dans le système ; car

alors les quantités X et Y n’étant pas milles, il en serait de même de R , qui est dorn^pp par l’équation

Dans ce cas, l’équation XP/i =0, ou plutôt Rr=o, ne pourrait être satisfaite qu’en faisant r = o, puisque nous venons de voir que R ne pourrait être nulle; or r étant unçqierpendiculaire abaisséfe du centre des momens sur la résultante , il suit

de là que le centre des momens serait sur la résultante.