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. ns» FORCES <i«t AG1SSKST BARS I.’ ESPACE. 65
124. La force R' (fig.68) étant représentée par la partie M'R' Fitj. 68. de sa direction, on peut’la transporter au point C' en prenant •
C'D' == M'R'. Décomposant alors C'ÏŸ en trois forces rectanjgulaires appliquées en G', ces forces seront les mêmes que les composantes de M'R' ; par conséquent nous pourrons consi- » dérer le point C' comme sollicité par trois forces P' cos a',
P'coso' et P' cos y' — g'., Les deux premières seront situées dans le plan des x , y , et la troisième sortira de ce plan et Fin- f8, agira parallèlement à l’axe des z : ainsi, au lieu de la force P' appliquée en M', nous aurons »,
* •*; v ^ * y tTî ^
<* M' la force g*, . parallèle à l’axe des z,
en C' la force Pt cos y' — g' parallèle à l’axe des z,
en C' la force P' cos *' . * . située dans le plan des x, y,
en G' la force P' cos*'. . . située dans le plan des c, v.
ra^. En opérant de même à l’égard des forces P", -
P,v, etc., au moyen des forces g" — g", gm — ,g"f g"1 g?v et0(>
qu’on ajoutera à leurs points d’application M", M"', M*v, etc., on décomposera le système en deux groupes de forces, les
ou
donc
% •*!&/ — S' : 09 il* î CD;
en
mettant cette valeur flans les équations (6a}, on obtient
rn *.ONc0s6 z . ON sin fi
“l-'cosy-jf» m~Vr-cosy'--g>ï
remplaçant ONctisS et ON sin 9 par leurs valeurs 6b et NL et observant que QL ot NL ne sont autre chose que les composantes P' cos «' et P cos C' de MN, nous aurons
• V PC0S>— g P CO» y — g’
valeurs «u'on substituera dans colles de AQ et ^
Wcm. de MJènnique. • * •
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STATIQCI..
unes parallèles à l’axe des = , et les autres situées dans le plan
des*,/.
Les forces parallèles à l’axe des s seront t.%
‘ etc- ’ ?
appliquées aux points M', M", 51"', etc. ;
P' cos -/ — g', P" cos V" — g"\ éfc. , '
appliquées aux points C', C , C , etc.
Et les forces situées dans le plan des *, r, seront
*- ’ f •>. |V T a ’* wv .
P' COS P'' cos « , P " COS i PIV COS V.1 » —mMÊfa . appliquées en C', C", C ", etc. ,
. . P' TOstV'^" cos P " cos T, etc. ,
appliquées en C, C", C’", etc. ^c
ia6. On va démontrer que pour qu’il y ait équilibre êjdre ces forces, il faut, i° quelles forces situées dans le plan ' des *, / se fassent équilibre fa° qu'il en soit de même à l’égard des forces parallèles. ”"r 1
Pour cela, les points C', C", C", etc., considérés comme les points d’application d’une partie des forces du systèinfc, sont invariablement liés entre eux. On' peut donc imaginer * que par deux de bçs points , on ait mène une droite C'Ç „ tqu’on prolongera.indetiniment de chaque coté; si 1 équilibre général subsiste^ cette droite sera immobile; par conséquent* aucun des points qui la composent ne pourra se mouvoir : or cela su/lit pour expliquer la destruction mutuelle des forces
situées dans te plan des * , y • ■ ,
En effet; tonte force située dans le plan des xt, y rencùn- ’ trera la droite fixe ou .lui sera parallèle. Dans le premier ça*,» 60, nous représenterons cette force par AB (fig. Cg)7k ndtjrla. prolongerons jusqu’à sa rencontre O de la droite fixe; .et-
Digitiz!
DES FORCES yui AGISSENT DANS L ESPACE- i 67
comme il siiffit qu’une force ait un point fixe dans sa direction pour qu’elle soit détruite, ce point O rendra nul l’effet de F rofce AB.
D’une autre part, si une force DE était parallèle à C'C", elle ne pourrait se mouvoir sans entraîner C'C" dans le même sens, ce qui est impossible, puisque la ‘droite C'C" est fixe; par conséquent la force DE sera aussi sans cff?t (*).
Les forces qui sont dans le plan des x, y étant en équilibre, il faut que les forces verticales le soient aussi ; car autrement ^équilibre général n’aurait pas IteJfc jr..^
127. Le problème est ainsi réduit à trouver les conditions d’equihbre , i° des forçes parallèles à Taxe des 2; V> des forces situées dans le plan des x , y. j
• • Jf* <. MWk, v
Conditions d’équilibre des foreét parallèles à l’axe des y. è.
'• ,fl\v ' gET&t • vvfr
w8. Çes conditions étant les mêmes que «elles que nous avons prescrites , article 87 , elles exigent qu’on égale a téro,
| t°. La somme des forces parallèles à l’axe des s; j£. La souune des momens par rapport au plan des y, - ■
3°. La somme des mcJmens par rapport au plan des r, 3.
première de ces conditions nous, donne
f" ros y' ; !
* *■ . “ + P’" c'os y'" — g” g” -f- etc-p: O ;
RB-t
On pourrait le démontrer pins rigoureusement de la manière ' suivante. Soit MP ( fig. 70) un* force parallèle à la droite fixe ÀB\ point d’application M de cotte force, deux droites Mrfet
MN' égalés et directement opposées. NoRs ne ohangerons rien à l’état
point L; donc le système des forces MN , MJV et MP nav effet, il 011 l*r» de npjme-do MT1. !" * v$>1
ia yjnt.aucu
ou, en réduisant,
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P' cos -/ -f- P" cos y" -}- P" cos V* -f- etc. = o . . . (63).
• c< . T ’ la . - a, *.
Pour remplir la seconde condition, nous avons deux sortes • de rnomens à prendre:
i°. ceux des forces g ', g", etc., appliquées aux points M', M", etc. ;
a®, ceux des forces P' cos y' — g*, P" cos y" — g", etc., appliquées au points C', C", etc.
>.* En considérant d’abord la première force g1 qui agit au Fi(j. 71. P0*111 (%• 71)) Ie moment de cette force par rapport au
’ ' ’ plan des y, 2, est g'xM'ÎN'; or M'N' = B'D' = AG' = x'; donc le moment cherché est g'x'.
A l’égard du moment de la force P' cos y' — g' qui agit ' •• en C', ce moment pris par rapport au même plan des-.j , z} est évidemment^égal à (P' cos y' — gîj X Î'C', ou plutôt à ( P' cos y' — g1) a, ; donc la somme des rnomens des forces g' - - /• et P' cos y' — g' par rapport au plan des y, z, est repré-
sentée par
V> <• ; ' ' g'x' + ( P' cos y' — g’) a
Mettant dans cette expression la valtmr de a, trouvée article ia3 , on aura -> )
effectuant la multi]>lication indiquée et réduisant, on trouve x'P' cos y'’*— z' P/cos V.
Prenant, par le même procédé, les rnomens des forces parallèles appliquées aux points M", M”, etc., C", C", etc., et réunissant tous ces rnomens , leur somme sera exprimée par l’équation
r"« * * J P' (x' coSy' — z' cos *') .y. • *
, -jy. p"'(x" cos -/' -Li; z" cos'/") -f- «te. (64)-.
