DES FORCES QUI AGISSENT DANS L’ESPACE

truites par la résistance de ce plan ; donc les conditions d’équi- Fig. 71 libre se réduisent alors à celles des forces situées dans un plan, et l’on a par conséquent , '

r* 2P cos « — o , , « •

cos o = o ,

£P [y cos a — x cos S) = o.

i38. Si un corps repose sur un plan et peut être renversé, il faut ajouter à ces trois conditions, celle que la résultante des forces perpendiculaires au plan passe par un point commun à ce plan et au corps, ou rencontre le polygone formé avec les points de contact.

t3g. Nous terminerons cette matière par la solution de ce problème : Trouver l’équation de condition qui doit avoir lieu pour que plusieurs forces situées dans l’espace aient une insultante unique. Il y aura une résultante unique dans le système, si la résultante des forces parallèles à l’axe des z perce » le plan des x, y en un point qui soit sur la résultante des * forces situées dans le plan des x , y . Pour exprimer cette condition, il faut remarquer d’abord que lorsque l’equilibre a * lieu , il existe aussi entre les forces parallèles à l’axe des z. Les conditions d’équilibre de ces forces sont, art. 128 ,

P cos y -f- P' cos y' -f- P" cos y" etc. = o ,

P ( X cos y — Z eps *) -r{-P' (x/ COS y' — z' cos *') -f- etc.=x o,

P (y cos y — z cos C) -|- P' (y' eus y' — z' cos C) -J- etc.=z o.

En regardant la première de ces forces comme égale et directement opposée à la résultante P cos y de toutes les autres, • nous aurons pour déterminer la résultante des forces parallèles,

P cos y = P' cos y' -f- P" cos y" -+- etc. , ' ' 0

P ( x cos y — ‘Z cos a ) = J?' ( x* cos y' — 1 z' cos g.') -J- etc. ,

P (y cos y — z cos C ) — P' (y1 cos y'r— - cos C) -f- etc.

Si le poiut d’application de cette résultante est sur le plan

statique.

îles x, y , soient x,, y t et o, les coordonnées de ce point ; en

mettant ces valeurs à la place de x, de y et de z dans les

premiers membres des équations précédentes, on aura

P cos y = P' cos y' etc. , „

P cos yx, er P' (x' cos y' — 'z' cos «') + etc. ,

P cos yy, 3S P< (7 ■' cos y' — z' cos £') -+- etc.

Représentons par Z le facteur Pcpsy, et par M et 1S les seconds membres de deux de ces équations, elles deviendront t * "• f»4

Z = P' cos y' -f- etc. , ,

Zj/ = N;

d’où l’on tirera

Avant ainsi déterminé les coordonnées x/ét ft du point où la résultante des forces parallèles rencontre le plan des x, y , il faut maintenant exprimer la condition nécessaire pour que ce point se trouve sur la résultante des forces situées dans le plan des x, y : l’équation de cette résultante est, art. i if, •

X > — xY = SP (7 cos « — x cos Q) ; et en faisant, pour abréger , • . /, ,

2P (7 cos * — x cos C) = L ,

elle devient : , r «. J

, . - , X7 — xY=sL;

remplaçant dans cette équation x et 7 par les valeurs de x ; et de y, que nous venons de déterminer, nous exprimerons la condition demandée , et nous trouverons

chassant lés dénominateurs et transposant , nous aurons enfin

DES FORCES QUI AG1SSEMT DANS I.’ï.SP ACF. *5

-f . XN MY . . i* (7 i ■ - ' ; ; ;

Lorsque cette équation sera satisfaite , les forces se rc ch liront à une seule résultante, hors cependant le cas où l’on a

140. Dans le cas où toutes les forces agissent dans un même plan, et que ce plan est mobile autour d’un point fixe, l’é- liquation (71) est nécessairement satisfaite, car les quantités N>

et M qui représentent la somme des momens par rapport aux plans des x, 2 et des y, s, étant milles, ainsi que la quantité Z qui exprime les composantes Pcosy, P' cos y7, P" cos y", etc., • il en résulte que la condition exigée par l’équation (7 1) , pour qu’il y ait une résultante unique, est remplie.

14 1. D’après ce que nous avons vu, art. 114, les équations X — o et Y==o expriment la condition que les forces situées dans le plan des x, y, peuvent se réduire à deux composantes -R/ et R" égales et agissant en sens contraires.

Par un procédé analogue , on pourrait aussi réduire les forces parallèles à l’axe des 2, à deux forces Z' et Z" égales et agis- t sant en sens contraires. Ainsi dans le cas où l’on a seule-

mentX=:o, Y=o, Z = ô', le système de toutes nos forces . reviendra à celui de quatre forces R', R", Z7 et Z" qu’on pourra réduire à deux forces égales et dirigées en sens contraires. (Note cinquième.) * f 1 \

Thcorfc dit p/a f principal , et analogie qui existe entre les projections et les momc/ni

1 4a. La théorie du plan principal , qui présente des analogies si frappantes avec celle des momens, est trop utile daus les hautes questions de Mécanique, pour que nous la passions sous silence; olle repose sur un thearème'-qui est démontre dans mes Klémon» de Calcul intégral la note dont voici l’énoncé : La projection d'une surface plane sur un plan est égale à l’aire tic cette surface multipliée par le cosinus de son inclinaison. ’ ( Note sixième. )

fiïï-

Fig. 73

■ Il suit de ce théorème que si l’on nomme y l'angle formé par deux , plans, et x 1 aire d’une snrface renfermée dans le premier plan, la projection de cette aire sur le second plan aura ponr expression x cos y, Or on sait (note srptième ) que l’angle y formé par deux plans MF et EN • (fie- 72)> 6(; mesure par deux perpendiculaires qui, partant d’un même point C, sont abaissées sur chacun des plans. Lorsque l’un de ces plalis EN, par exemple, est celui des x, y , la perpendiculaire AH qui lui est relative devient parallèle à l’axe des /. Donc l’angle formé par le plan' MF avec le plan des x, y, a pour mesure l’angle compris entre la perpendiculaire BK qui lui est menée, et la parallèle AH' à l’axe des t.

En général , si l’on nomme a, S, y , les angles qu’une perpendiculaire au plan donné forme respectivement avec les directions des axes deyx, des .r et des s, ces angles mesureront toujours les inclinaisons de ce plan avec les plans des y, z, dosa-, z, et dosx,^-.

" >43. Soient maintenant »,î, >, et ,, les angles formés res-

pectivement par deux plans quelconques avec les plans coordonnés, et que, d après 1 article précédent, on connaîtra en mesurant les angles que chacune des perpendiculaires aux plans donnés fait avec les axes coordonnés. Les cosinus de ces angles, introduits dans une formule qne nous allons bientôt employer, nous mettront en état de conclure immédiatement la valeur du cosinus do, l’angle y qui est formé par ces deux plans; c’est celle formule que je vais démoutrer de lu manière suivante par un procédé nouveau. ‘•T < 1 rJPW

Menons par le point C (fig. 73) les droites CA, CB, perpendiculaires & nos doux plans, ces droites comprendront entre elles, comme nous l’avons vu, un angle égal à l’anglo y qui existe entre nos doux plans; prenons ensuilo les parties CA et CB égales ; représcntons-les l’une et l’atrtre par r; menons par les extrémités de ces droites la ligne AB; et, abaissant sur CB la perpendiculaire AE, nous aurons

CA cos a =CE = CB — EB.

pu T '

re$)S y r EB. . . (53). »'

Pbur déterminer EB, abaissons la^erpcndîcirlaire CD sur’ lé milieu du AB, les triangles rcctanglrs CDB, ÈÀB qui ont un angle commun B, sout semblables et donnenEla proportion

donc

CB : BD “ AB ; EB, rî^;:AB:EB;.

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