EB= - AB; J
THfcOMÏ. DU PIÀ5 J>MRCIi>AL. 77
Substituant cetto valeur dans l’équation (72), nous aurons
r cos f = r — • ~ : AB* . . . (73).
fl ne 8’a0il P,us que de trouver l’expression analytique de AB*. Pour cela, nous remarquerons que les droites CA et CB faisant avec les axes rectangulaires des angles «, C, y, et ,, », les projections de ces Adroites seront respectivement (art. 47) r cos «, r cos C, r cos y, et r cos «, r cos s', rcos»"; d’un autre côté, si nous appelons X, Y et Z les coordonnées du point C, celles du point A seront : *
'.?J X 4 r cos « , Y + rcosf, Z + rcosy,
et celles du point B seront
TW »' ,X4/cos», Y -f. reos»', Z + rcost";
substituant ces valeurs des coordonnées des points A et B dans l'expres-' aion du carré de la distance de deux points x’, /} r', ét x", y*, z", qui , comme on sait, est ’ ’
nous trouverons ’ - r- . v -
AB* = (r cos a — r cos »; » 4. (r cos C — r cos «')• 4 (»• cos y — r cos ,*).■ ;
mettant le l’acteur commun r en dehors, et développant, nous aurons
AB* = r* (c«u* a -f- cos* f cos» f )
-1- r* (cos* 1 -f- cos’ .'4. cos* »“)
* 2r 3 (eus ■ cos a -f- COS ir COS C 4- cos » * cos y). .
La somme des carres des cosinus étant égale à l’unité (art. do), cette équation se réduit 4
AB* = 2r* - ar* (cos » cos * + cos »' cos 6 4 00s »* cos y)j
mettant cette valeur dans l’équation (73), réduisant et supprimant le facteur commun r, on trouvera -.A. *
j» .* ^ T Sik » ^ i^.’ 3», A'mfi
. cos p-s cos I cos * 4 cos »' cos C 4 cos i* cos y... (7.}).
144* Si l’OD0le f est droit, cos f = o, et l’équation devient ' c0* tasos x 4 cos »'cos C 4 cos •" cos y ~ o.
i45. La formule (74) va nous conduire Üun théorème fort remarquable suçles projections. En effet, soient deux plans dônt'le premier fait avec le» plans coordonnés des angles a, b, c, et dont le second fait avec les mêmes aXiv. dos angles a, C, y ; nous mirons, d’après la forrmile(~ i '
' fl : , - '
7 8 Statique.
pour le cosinus y de l’angle formé par ces plans , l’équation suivante,
•» eos o — cos a cos x -f- cos b cos C 4- cos c cos y.
Or , si l’on représente par x une surface plane renfermée dans le premier plan, et qu’on multiplie l'équation précédente par x, on aura
x cos ç = x cos a cos x 4- X cos b cos C 4- A cos e cos y. (?5).
Le produit x cos est, d’après l'art, i+i, la projection de l’aire x sur % le second plan, et les produits x cos n, x cos b, x cos c, sont de meme les projections de l’aire x sur les trois plans coordonnés.
146. On peut déduire do l’équation (j5) l’énoncé de çc théorème j •
La projection d’une surface plane' x sur un plan est égale à la somme des projections sur chacun des plans coordonnés, multipliées respectivement par les cosinus des angles x, C, y, qui mesurent les inclinaisons du plan de projection sur les plans coordonnés- Go théorème prend un nouveau degré de généralité, lorsqu’au lieu d’une aire x projetée sur un plan , on considère les aires x, x', x", etc., placées dans différens plans, et projetées sur un plan dont lés inclinaisons sur les plans coordonnés sont et, C, y; appelons ce plan de projectiot*, C, y, pour’ éviter les circonlocutions , et nommons
‘ J fc, inclinaisons de faire x i / "J"" *» *’ ?’ / ‘ ""
a, b, c; J T l tes plans coordonnes;
< . . f sur le plan a, C, y, et sur
f lCS inC,"miSOnS ‘ ‘î les plans coordonnés;
«i 1 , ,, f sur le plan a, C , y, et sut
a",h",c"; ] "‘el, nuisons de latrex | Us plans coordonnés.
etc.. etc. °t0 .
Opérant comme nous l’avons fait pour l'équation nous aurons^
en écrivant celle équation la première,
'i cos? =xcosacosa + i tesl T»s C 4- x eos c fbs y , ^
> x' COS y' = X eos a cos * -f x' cos b’ cos C H- x' cos < ' cos 3 ,
x' «oSl" = x" cos «" cos a -*■ x" cos J“ cos C !+gRN c* cos J-, \ f. V
Si
x' eos »T = x"
-etc. L' etc.
etc.
etc.
Ajoutant ces équatious pat ordre de colonne, notis trouverons
(x cos y + x' cos -/ 4- X" eus y 4- 0tf$. « y wPffljB
-= (k cos a 4- x' cos ci 4t x" cos a" 4- etc.) cos a Ç •
4s (x ros A 4- x'cos !/ 4- x" cos A" 4* etc.) cos i 1 ‘ ’ 1 ‘
-4- \x cos o 4-x^co$ c'4-x" cosfc"4- etc.) cosy
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I,,. premier membre de cette equ «lion’ est la somme des proj'V! om> d,
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