PRINCIPAL
aires x , A, etc. , sur le plan a , C, y ; elles termes renfermés ontre les parenthèses désignent les sommes des projoctions des mêmes aires sur les plans coordonnés.
Par conséquent l'énoncé du théorènié de l’art. tj6 ne subit d’autre modification , pour le cas présent, si ce n’est que la surface qui doit être projetée sur le plan a, C, y , au lieu d’être l’aire x, se compose de plusieurs aires x, x', x", etc., placées dans divers plans, ce qui est bien
plus général.
’ 4 7 Pour simplifier la dernière équation , représentons par P la somme dos projections des aires x, x', x", etc. , sur le plan <* , C, y, et par A, B, G, la somme dos projections des aires x, x', x", etc.\, sur les trois plans' coordonnés, l’équation précédente se réduira 4
P = A cos a 4- B cos C ■+■ C coiy. . . (77). - .
148. II est à observer que quand on prendra la somme deR aires, comme les cosinus qui entrent dans leurs expressions sont positifs ou négatifs , suivant que les angles a, J, e; , b’ , c' , a" , b“ , c" , etc., sont moindres' ou plus grands qu’au angle droit, ces sommes se changent quelquefois en différences. C’est pourquoi, dans l’énqhco du théorème precedent , nous ne devons entendre, par le nuit de somme, que la somme algébrique des projections.* *;*
vuA * • . ••
1 -Î9- Supposons donc qu’on projette ensuite les aires x, x', x", ytcS, sur deux antres plans qui forment avec les plans coordonnés des angles u'i £ ; / ) ct C*, et que l’on nomme •P' et P" les projections de x-fx' + x",otc. , sur Jes plans^'.É', y', et a", C,y", on aura, en y comprenant j équation (77) que nous^crirons'la première, et en désignant toujours par A, B, C, plans coordonnés, •-
» projections d cx + x' + x", etc. , sur les
P — A cos x -f- B cos S -h C ros y, P' = A cos a.' 4- B cos f'q-C cos y‘ P"! — A cos a" -j- B cos C" -+- C Cos 7
t5o. Si les plans de projection P,l", P" sont rectangulaires, il en sera du même de leurgjntersecUons, qu’on pourra regarder comme trois axés rectangulaires qui se rencontrent en un point 0. Par conséquent, en ..représentant par OP, par Gy/ et par Os’ ces trois nouveaux axes, ils seront respectivement perpendiculaires aux nouveaux plàns coordoupésj mais les 'axes des x, des y et des c l’étaiont aux anciena, Jonc les. angles formés par ces anciens axes avec Tes nouveaux mesureront les inclinaisons lies anciens plans coordonnés sur les nom eaux. Ces ii clinaisons sopt, par 'i.ypqlhésc , a. f, 7 , a.'., C', c .
Digitit«fi
comme chacun dea anciens axes correspond aux mêmes lettres grecque», quoique différemment accentuées , cela suffira pour nous faire reconnaître que
L’axe des X fait avec les nouveaux des angles sl, a', a", J jj(-
L’axe des y fait avec les nouveaux des angles C, £' , C,
L'axe des z fait avec les nouveaux des angles y, y , y“ J
par conséquent il y aura entre cos nouveaux axes rectangulaires (art. 4fi) les relations suivantes,
cos* oc -I- o^* x 4- cos* x — cos* C -I- cos* f' cos» C— cos» y -f- cos» y' 4- cos
D’un autre côté, en considérant 4 part ces nouveaux axes rectangulaires, on verra que l’angle formé par deux d’èntre eux sera droit, et que le premier membre de l'équation (;4) se réduisant à zéro, nous
aurons - 4.V PA»-. .
cos x cos è 4- co.s a.' cos C’ 4- cos a” cos C" cos a coa y
> a. COS y 4- COS x COS y -+- cos a" cos y t= O , i C cos y -4- cos C cos y' 4- cos f" cos y" = o .
i5i. Si l'on ajoute ensemble les carrés des équations (78), qu’on fasse 4* la réduction au moyen des équations (79) et(8o), et tju’on rassemble las termes affectés des mêmes produits des quantités A, B, C, on trouvera
P* -f- l** -tj:P"’ = A* 4- B- -f- C».. 81);
ce qui noos annonce que la somme des carrés des projections des aires x, x', x*, etc. , sur trois plans rectangulaires, est toujours la même.
i5a. Nous allons tirer des conséquences importantes de ce théorème: • résolvant l’équation (81) par rapport à P , fin trouve
La plus grando valeur que puisse comporter ce radical est évidemment lorsque 1" et P" sont nuis. Dans ce cas , la somme P des projections de - x4-x' 4-x", etc. , sur le plan dont les inclinaisons sont *, f, y, parvenue 4 sou maximum , sera donnée par l’équation
P x: \/ A» -4- B* -pCv . . (8i).
Or, les angles étant ceux qui sont formés par Han rien
axe des x avec les trois nouveaux axes qui sont rectangulaires , on doit
•voir f *
THÉORIE DU P LA If PRINCIPAL.
A = P cos a + P cos «' + PtîOB #**; -
«•n considérant les autres angles, on obtiendrait de même ‘
B = P cosf -f- F cosf' P" cosf", c — P COS y -K P' cos y + P'' cOs y" (*).
Par conséquent, dans l’iiypothôse actnelle de F = o, et de P*=o, les équations précédentes se réduisent k
A = P cos « , B = P cosf, C = I^>s y. . . (83) ; ce qui donne
cos« = p,
cos f ‘ :*=
COS y = p-
Et en mettant pour P sa valeur donnée par l’équation (8a), on aura
cos a —
cos y =
VF+F+c’
cogf
Telles seront les inclinaisons du plan et la plus grande projection, ou plan princifÿh
On voit que la détermination de cé plan ne dépendant que des angles dont nous venons de donner la valeur, tout plan parallèle à celui-ci jouit de la même propriété.
, ,5f ' °n démontre encore que la somme des projections des aires x , x , etc. , est la même pour tous les plans également inclinés sur lé p an principal. En effet, soit Q la somme des projections sur un plan quelconque qui ait », b, c pour inclinaisons avec les plans coordonnes; si nous représentons toujours par A, B, C, les projections des memes aires sur ces plans coordonnés, nous aurons
Q = A cos a -p B cosi + C cose;
mais si «, C, y désignent les inclinaison» du plan principal, les équations (83) qui sont
A = f cos», B ^ P cosf, C = P cosy,
(*) On peut déduire immédiatement ces équations des équations (j8), en multipliant la par cos a, la a» par cos»', la 3« par cos a", et en réduisant la somme à l'aide de l'équation cos ■ * 4- cos* »' -f- cos* t et dffs <1 “•Otites multipliées par B et par C, qui sont iiulles.
Éli-m . dp peannj ut g
Ha ' STAT1QUB.
réduiront l’équalion précédentes ‘ '
Q = P ( COB a cos St -+■ cos b cosC -f- cos c cosy,).
La quantité renfermée entre les parenthèses équivalant au cosinus île l'angle formé par le plan principal *, C, y, et le plan quelconque u, b, c, si nous nommons 0 cette inclinaison, nous aurons
Q = P cos fl ,
et comme P représentât somme des projections sur le plan principal, qui , art. t5a , est P = ÿ A.* -+■ B’ -f- C* , nous obtiendrons, en restituant celte valour,
Q= l/A* H-B*-*-C*.cosfl... (85).
Or, les projections A, B, C restant les mêmea-.'pour tous les plans également inclinés, il suit de l'équation (85) que la valêfir de Q, c’estai-ilire la somme des projections sur un pfan , sera la même pour tous les plans qui formeront le même angle avec le plan principal.
On voit, en outre, que cette somme croit ou diminue proportionnellement à cos 0.
i5$. Enfin, on peut remarquer que, pour tout plan' perpendiculaire an plan principal, la somme des projections est égale à zéro; car l’hypothèse de 0= too° annulant le second terme de l'équation (85), donne Q = o. ,
i55. Tous les théorèmes qui viennent d'être démontrés sur les projections et sur le plan principal peuvent s'appliquer aux momens. En elfet, plaçons le centre des momens à l’origine âes coordonnées, et supposons que le plan oc, C, y passe par cette origine; si par les points d’application des forcesèt dans leurs directions , nous prenons des droites proportionnelles à leurs intensités, nous pourrons représenter ces droites par les lettres P, P', P", etc. Cela posé, la centre C des momens peut être regardé comme le sommet des triangles dont P, P', P", etc. , seraienHes bases ; les projections de ces triangles sur le plan a, C, y, et sur les plans coordonnés , seront d’autres triangles qui auront pour bases les projections p, /, p", etc. , dos côtés P, P'fP" , etc. ,et pour hauteurs les perpendiculaires h, h', h", etc., abaissées du centre C sur les droites p, p', p", etc. ; de sorte qu’en substituant ces valeurs dans, inéquation (76), qoi revient à ™
: , / projections sur les plans \
S ( projections sur Ir plan n, C, y ) = 2 ( coord, mullip. respectif. J ,
\ par les eosin. des inclin. J
elle m changera en
