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THLORIE 1KJ PLA# PRINCIPAL.

-, / projections sur les plans

^ T P h ■+• \p h" + etc. = x I coord, multip. par lit

\ cosin. dés inc lin.

Le second membre contenant des produits analogues, on voit qup i sera facteur commun ; donc, en le supprimant, le premier membre de celle équation se réduira à *t»

ph -f- p'h! -f- p"h" etc.

®r> P y Pt ’p’y etc., étant les projections des droites P. P', T", etc., les produits ph, p'h', )pi" , etc., seront les momens des -droites p P, /P, etc. , pris par rapport à l’originOi Ce qne nous disons du prêtmier membre de l'équaKon (86) pouvant s’appliquer au seeond , on voit que la somme des momens des projections des forces sur le plan a, C, y , qui, passe par ^origine, est égale aux trois sommes des momens des projections des mêmes forces sur les plans coordonnés , multipliés respectivement par les cosinus des inclinaisons

t56. En faisant des substitutions semblables dans l’équation (8l) , on trouvera de même que les sommes des carrés des momer.s de différentes forces, par rapport à trois plans rectangulaire^, est constante.

Les équations (83), à leur tour, nous feront connaître la position du plan pour lequel la somme des momens est le plus grand. Enfin, l’é-r quation (8a), modifiée dans le même sens, nous formera la voleur de Ig^omme dq» momens sur le plan prûicipal. * a

l)u centre de gravité.

1 J7* foutes les parties de la uiatiere s<>^ soumises une force qui les entraîne vers la terre perpendiculairement à sa surface. Cette force est la gravité ou pesanteur.

La terre étant presque sphérique, les directions des différens points matériels qui la composent concourent à peu près à son centre; et comme ce centre est très éloigné de la surface de la terre , on peut , sans erreur sensible , supposer ces directions parallèles. , ' î" . A

i58. ,On a observé que lorsqu’on s'écartait du centre de la terre ? la pesanteur diminuait en raison inverse du carré de la distance qui se trouve comprise entre ce centre et le lieu où

l’on est» Par exemple , si un corps est placé àfilne «èstanee du centre de la terre, prise pour unité, *t qti’il soit ensriitè' transporté à des distances représentées par les nombres a.

3, 4, etc-, la 'pesanteur deviendra sacpes&iyemeot. p»

— , etc., oie - , été. , <tÿ ce Qu’elle était, lorsque le

corps se trouvait à l’unit? de distance. v

1Ü9. La terre étant aplatie vers les pôles, et renflée à l’équateur, il. suit de là (ju’en' allant vers les pôles , on fc’approçJÿe du centre de la terre, et que pAr eènséqucnt la pesanteur doit augmenter d’intensité. Nous verrons, lorsque nous parlerons de la force centrifuge, qu’il est une antre cause qui fijit que l’intensité de la pesanteur est plus grande au pôle qir’en tout antre lieiÇ ■.

160. pesanteur transmettant son action à toutes les molécules d.’un corps, les soumet donc à des forces dont on peut regarder les directions comme parallèles; la résultante de toutes ces forces 9 qui est égale à leur somme , constitue lepoîds du corps.

11 suit de.cette définition que dans les corps homogènes , Ite poid^Sortt propoctionrtelsA Jeitrs volumei. «j

161, La densité d’un tariras^ est la plus ou moins grande quantité de nuitée qu’il renferme sous un volume donné. On a pris pou^pnité tic densité te gramme, qui est la quantité de matière .que- contient te centimètre cube d’eau distillée au maximum de la condensation. Si l’on compare te gramme aa centimètre cube d’une «fttre- substance que l'eau distillée , ce jCentimèJtre cube renfermera le gramme «un nombrrnde fflis qup jg représenterai par a et -qui, suivant le. cas v sera aïK dessus ou au-dessous de 1’unité. @3 coefficient^ est ce qu’on appelle la densité, de la substance à laquelle il le rapporte. Par

exemple, si ç est la densité de for, nous aurons' l'éqn^ti.oii ,

ion Centimètre cube <Tor^=z ç ">< tn gramme ;

DU OEM TRIS DK GRAVITÉ.

d’où nous tirerons . - - ' ' . • ; * * . '

: ’ ♦ un centimètre cube d’or

»-• un gramme • <. . ».

16a. Jusqu’à présent nous n’avons considéré que la matière comprise dans le centimètre cube que nous avons pris pour unité de mesure ; mais si nous voulons évaluer la quantité de matière comprise dans un corps homogène.dont le volume V est donné , il faudra répéter le nombre ; de grammes renfermés dans l’unké de mesure, autant de fois que le volume V contient d’unités, ce qui nous donnera l’équation

M est ce qu’on appelle la masse y on voit que c’est la quantité de matière renfermée dans un corps..

i63. Si la pesanteur ne variait pas d’un lieu à l’autre, le poids d’un corp# pourrait en représenter la masse; dans ce cas, il serait permis de poser l’équation

mais si en transportant la masse M à une autre distance du centre de la terre, le poids P change d’interfsité, il faudra, ]K)'ur maintenir l’égalité dans l’équation précédente, multiplier M par un certain coefficient que j’appelerai g ; de sorte que nous aurons l'équation

P~M ff... (%);

et alors g sera un coefficient dont la- valeur se modifiera suivant le lieu où le corps sera transporté , tandis (pie M sera toujours constant et représentera le poids du corps dansde lieu qui se rapporte à l’équation (88) ; 911 , ce qui est la même chose, dans le lieu où ce coefficient g est égal à l’unité.

Ce coefficient g est la mesure de la pesanteur. ifi/4. Des deux équations (87 J et (88) ou tire celle-ci ,

STATlgUC. .

ce qui nous indique que le poids varie proportionnellement à la pesanteur g, à la densité ç et au volume V du corps.

i6fr. Par exemple, ' la peflpnteur et le volume étant les mêmes dans deux corps, celui dont la densité serait n fois plus grande, aurait un poids n fois plus grandi

Dans un même lieu, la pesanteur étanf constante, g aura la même valeur pouichaqtie poids.

166. Si à différens points liés entre eux d’une manière invariable, et dont les coordonnées sont respectivement x, y, z ; x7, y', z'; x", y", z" ; etc.’, on applique les poids P', P", P", etc., en considérant ces poids comme des forces parallèles, nous pourrons, art. 80 et 81, déterminer les coordonnées x,,yt, z, du centre des forces parallèles, et nous auron»

Px + PV -f- P"x" + etc.

X/— P + P' + P" + etc. *

. St ■ . •• v 1

P + P' 4- P" + etc.

Pz 4- PV 4- P"z" 4- etc.

P 4- P' 4 P" 4 etc. ’

167. Lorsque les forces, comme dans le cas présent, agissent par l’effet de la pesanteur, le centre des forces parallèles porte le nom de centre de gravité. Soient m, m', m", etc., les masses qui correspondent aux poidt^P, P', P", etc., on aura

'P = mg, P' = m'g,'p*v±m"g:

en substituant ces yaleurs dans les équations préçédentes , et en divisant les deux termes de chaque fraction par g , on ob-

t^eqdra

rhx 4- m'x' 4- tn" x" 4- etc.

m 4- >» 4-rw»" 4- etc.

,ny 4- m'y' 4- m'y” 4- etc.

m4"i'4 tn" 4- etc.

mz 4 \tn'z' 4- m"z" 4- etc.

■ etc.

DU CKWME.DK gravité.. 87

ce qui nous apprend que la position du centre de gravité est indépendante de la pesanteur. ,v

168. Si les corps sont d’une substance homogène, en appelant ç leur densité, et », v', v" , etc., leurs volumes, on aura, art. 16a , • . t ‘ .

» m — vç ,, . m’ = »’( , m" == »"( , etc. ;

et en opérant comme précédemment , on trouvera

• 1 vx -f- vx' -jr v"x" -f- etc. ■

X‘ » -f- »’ -f- «/' -f- etc. ’ vj-h»'/ +v"jr" -j-etc.

• v -f- 1/ -1- »" -f- etc. ’

• vz -f- v'z' -f- v"zà -f- etc.

* Z ' v -f- »' -f- v" 4- etc. ’

et en nommant V le volume de tout le système , ces équation* deviendront ,

vx + v'x' -f- etc.

v.y 4- c'y' -f-’etc.

vz 4- v'z' -f- etc.

169. On peut déterminer, par une expérience, le centre de gravité d’ün corps, de la manière suivante. On suspend (fig. 74) ce corps à un fil CA, et le prolongement AB de la Fig. 74. direction du fil passera par le centre de gravité. Pour connaître ensuite sur quel point de la droite AB est situé le centre de gravité, on suspendra le corps par un autre point, et la verticale EF dirigée suivant le prolongement du fil , devant contenir le centre de gravée , il sera au point d’intersection G de ces deux lignes.

Dans cette expérience , le corps n’étant retenu

celui de ses points auquel est attaché le fil , il faut que la résultante passe par ce point; et comme elle est verticale, sa direction est celle du fil.

Fig. 56. I7°- Le centre de gravité d’une droite AB (fig. 7 S) est à

son milieu C; car en la considérant comme chargée de points matériels pesans, chaque molécule m située d’un côté du a point C, correspondra à une' autre molécule m', également

distante de C; par conséquent les momens m X Cm et m' X Cm' seront égaux. Ce que nous disons des molécules m et m' pouvant s’appliquer à toutes œlles de la droite AB , prises deux à deux, il en résulte què la somme des momens de toutes les molécules , par rapport au point Ç,, est égale à zéro ; donc le moment de la résultante sera nul , et par conséquent la résultante passera par le point C qui se trouve au ■ milieu de la droite AB.

Fig. 76. 1 7 1 • Le centre de gravité d’un parallélogramme AD (fig. 76)

est à Intersection G des droites EF et HK qui partagent les côtés parallèles en deux parties égales.

En effet, si l’on conçoit que toutes les molécules du parallélogramme soient disposées sur des parallèles à AB, les centres de gravité de toutes ces parallèles se trouveront Sur la droite EF qui passe par les milieux E et F des côtés opposés CD et AB; car EF coupe toutes ces parallèles en deux parties égales. Il suit de là que le centre de gravité du parallélogramme doit se trouver sur EF. On prouverait de même que HK , qui divise CAfct DB en deux parties égales , contient ,iussi le centre de gravité du parallélogramme; donc ce centre de gravité est au point d’intersection G des droites EF et HK.

rça. Le centre de gravité de l’aire d’un , triangle ABC Fio. ('fig- 7-7 ) se trouve en menant une ligne CD sur le milieu deia base AB, et en prenant la parÿe DG égale au tiers de CD. Pour le démontrer, on va d’abord faire voir qu’il est sur cette droite CD. En effet, CD passant par les milieux de toutes les

Ull CENTRE DK GRAVITÉ. 89

parallèles à Ali , contient le centre de gravité de l’aire du triangle : il en est de même d’une droite AE qui passerait par" le milieu de CB ; donc le centre de gravité de l’aire dn triangle est au point d’intersection G de ces droites. Il reste à prouver que G est au tiers de CD, à partir de la base. Pour cela, ayant mené la droite DE, les triangles ACB, DEB sont semblables ; car les côtés BD et EB étant lés moitiés de AB et de CB , ces triangles qui ont un angle compris entre deux pôtés proportionnels, sont semblables; d’où il suit qne DE est parallèle à AC ; donc les triangles ACG et DEG sont aussi tâÿ. blablcs et donnent

•jf-

donc

CG s; GD

et par conséquent , CD

d’où l’on tire

AC : de : : AB : bd

CG = aGD;

ou CG -f- GD ;= 3GD ;

GD = t CD.

173. Trouver le centre de gravité d’un polygone. On le décomposera (fig. 78) en- triangles; et nommant a, a', à", etc., les aires ABC, ACD, ADE, etc., de ces triangles, on .regardera «, a’, a", etc., comme des poids appliques aux centres de gravité G, G', G", etc., des triangles ABC, ACD, etc. Le centre de. gravité de l’aire ABCDA se trouvera par la proportion

«-+-<*' : GG' : G'o. ’ . *