OU CENTRE UE OBAV1TE

., » op X mm' =syÿ dx* + dy1, - • v.'

et par rapport^ à l’axe des y , -

r oyX mm

: x\/ dx* -+- dy *.

Nommant xyet y, les coordonnées du centre de gravité , et s la longueur dej’arc MM', les momens de cet arc, -par rapport à chacun, des axesj seront respectivement si, et sy, ; ces momens devant étte égaux à la somme des momens des élémens, nous aidons

. sï , =fy\/ ~{xl + dy1, X

sx, ~ fx l/ dx1 ■+- dy1, , .

e*t la longueur de l’arc Ml^J' sera donnée par l’équation

0 s — f y/ dx2 + dy2 . f

177, Cherchons, par exemple, le centre de gravité d’un arc de cercle RO (fig. 8 m). Pour cet effet, on disposera 1<% Fig. 81. axes coordonnés de manière que cet arc soit partagé en deux parties égales par l’axe des abscisses; alors le centre de gravite de l’arc BO sera sur cet axe, et l’on aura y,— o. Pour le démontrér, remarquons que les centres de gravité g et g' des arcs égaux BD et DO devant être^disposés symétriquement à l’égard de l’axe des ar v il faut que le centre de gravité G de l’arc toftl BO soit sur l’axe des x, au milieu G de gg' . Il ne s’agit donc plus que de connaître l’abscisse \G—x, du centre de gravité de l’arc BD, puisque cette abscisse doit être la même que celle du centre de gravité de l’arc BO. Or x, est donné, art. 176, par l’équation

sx, r=?/x|/ dx%r\- dy1. . . (90).

Pour intégrer le second membre de cette équation , nous allons chercher à le réduire à une seule variable au moyen de l’é-

Fig. Si.

9* ' . statique. vfc

quation du cercle qui est W . ■

.wpr*- i / * ■*

• fol); '

diflférentiant cette équation , nous trouverons, en supprimant le facteur Commun.,* ;

/ *•' • ./» -v ' J*(r— — xdjc* s ; *

d’où nous tirerons • • # ; •

et en substituant cette valeu| d«hs la formule \/ dx* dy1 1 nous obtiendrons *\ 4 ' , -

l/^1 + <r’ .rfr*î " 4

réduisant au moyen de l’équation foi) et extrayant la racine carrée, aura ' * , ) À •' ,

• - 4 /.d^+<fy*= .* a =' ^

substituant cetté valeur dans l’équation (90), intégrant et représentant par B la constante arbitraire, nous trouverons

yi \/dx? -\-dy* ~ ay -f- B .. foa). *

Nommons c la' corde BO , ét cherchons l’arc soutenu par cette cbrde. Pour cela, il faudra prendre l’intégrale entre les limites ï = t*c et y = — ^ c. L’arc s’étendant de O en B, cette intégrale^ doit di|re - nulle au point'©, déqt l’ordonnée est y — — | c.^Cette hypothèse réduit l’éqyation (9a) *à ,

. , o = — | ac + B :

éliminant B au moyen de l’équation (9a), on obtiendra

fx 1/ dx* + dy1 = ay + j ac ;

faisant y = \c pouf -prendre l’intégrale définie depuis le