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179. En général, le centre de gravité d'une pyramide po- 8J lygonale ABCD (fig. 83) est au quart de la droite SF, qui, du centre de gravité de la base, est menée au sommet de la pyramide. Pour le démontrer, ayant pris FO= j-SF, et mené par le point 0 un plan parallèle à la base de la pyramide*, ce plan contiendra le centre de gravité. En elTet , si par le ceikre de gravité F de la base, on mène les droites FA, FB, FC, FD , etc. , au sommet des angles du polygone , on formera autant de triangles qu’il a de côtés; ces triangles pourront , servir de bases à un égal nombre de pyramides triangulaires (pii, auront le mémo sommet S. Toutes les lignes menées du sommet S aux centres de gravité Je ces triangles seront coupées proportionnellement par le plan qu on a mené parallè- ; Icment ü la base; doit il suit que ces lignes seront toutes coupées par ce plan au quart d,e leurs longueurs,' à partir de la base*. Cds points d’intersection seront donc les centres de gra-v
Diqiti
DU CEHTftF. DE GBAVITÉ. <)'5
vite des pyramides partielles. Ces centrés de gravité étant ren fermés dans le plan que nous avons mené parallèlement a la hase, il en résulte que le centre de gravité de la pyramide polygonale sera dans ce plan. D’une autre part, la droite SF contient aussi le centre de gravité de la pyramide polygonale, puisque cette droite passe par les centres de gravité de toutes les sections parallèles à la hase. Ainsi le centre de gravité de la pyramide polygonale est au point O , où la section que nous avons menée parallèlement à la base, rencontre la droite SF ; c’est-à-dire est au quart de la droite SF, à partir de la base.
180. Trouver le centre de gravité d’un aràr de courbe à double courbure , ou en général celui d’une ligbe quelconque située dans l'espace. On sait que l’élément d’une courbe à double courburç a pour expression
V dx1 + rfr* + d*\ (*)... {94).
Prenons les momens de cet élément par rapport aux plans *
dans
abra
(*) Pour le démontrer, soiènt M et M' (fig. 84) deux points situés ns l’espace , et dont les coordonnées sont x, y, 1 et x', y, s', on t:„
ra . . - -a \ •
. corde MM' s \/(ix — x‘)‘ -h Cf — Jr')* ■+■ («îfr— *')*..< (95).
Si lu différence des abscisses x et x* est représentée par A, là formule de Taylor nous donnera 4 J . ?....» 0* y
y^(x+^=> + ^A + ^)^i-f.etc.,
dz d*B h *
Substituant ces valeurs, ainsi que celle dex-âé* qWest h, dans i’é-
quation (95), nous trouverons
rde MM' = y/*» + (JïZ + etp + etc.'^ A>
coordonnés. Comme x, z représentent ies distantes de «et élément aux plans des y-f 2, des x , 2 et des x, y, ces roomens seront ...
x \/ dx 1 -f- dy’ + <fe*,
* -h tfr?'+5v,
2 \/ c/x1 dy * dz * ;
par conséquent en nommant x,, y,, 2, les coordonnées du centre de gravité , et «.lare de courbe, on déterminera ces quantités par les équations.
■ s f 1/ dx* -4- dy 1 + dz1 , j
^ %ct — fx )/ dx1 4- dy\ -H dz', f
T sy, = fj V dx' -f- dy* -#*&, f
szf f z v dx* rh dy 1 -f- dz\ !
iHi . Appliquons ces formules à la détermination du centre ' de gravité d’une droite située dans l’espace. Pour cet effet, plaçons l’origine à l’une des extrémités de cette droite, ses équations seront
d'i iu l'on tirera -, X.
-- '■■■» ■’"'%tr’SiîÇbjî • dy =£dz.
Cette équation divisée par k-pOus donné'
passant- à la.lÜatle, bit obtient
'* . . » * .la*' a
et par conséÇneA , > . •'
^ J - „* V^Ur* -r <*»•". '
, dr* , d*» *
