DU CENTRE DK GRAVITE

Substituant ces valeurs de dx et de dy dans l’expression (9/1), nous trouverons

l/ dx 1 -J- dy 1 -f- dz 1 — dz l/ a1 + C1 + x ;

et en représentant, pour simplifier, le radical par A, nous pourrons écrire

V/ dx1 -f- dy 2 -f- dz 1 = A dz.

Substituant dans les équations (96) cette valeur, ainsi que celles de x et de y données par les équations (97), nous obtiendrons

s = f Ad z , , sx j =. f A nzdz ,

*y, — f AQzdz , szt — f A zdz.

Soit h l’ordonnée z du point M (fig. 85). Si nous voulons {,5, déterminer le centre de gravité de la droite AM, il faudra intégrer entre les limites z = o et z = h , et de cette manière nous trouverons

s = A/t , sx t — y A «//*,

*y, = y aG/i* ,

szi = jA/i2.

Eliminant s et réduisant, nous obtiendrons

xJt±±aA, y'—'^Ch, z, = \h.

Ces valeurs sont précisément les coordonnées du point O qui est le milieu de la droite AM ; car si AO est la moitié de AM , les triangles semblables AOQ , AMP , nous donneront

OQ = iMP = 4i*.

Substituant cette valeur dans les équations (97), nous obricn-

Elém. tic Ulccaniifue. -

tirons

•r = T“/‘» y = \Zh-

182. Trouver Taire d’une surface plane comprise entre un arc de courbe et l’axe des abscisses. Soient x, et y les coor- Fig. 86. données du centre de gravité, et AN (fig. 86), GN celles d’un élément MPM'P' ; l’aire de cet élément étant ydx ( Élémens de Calcul intégral, art. 348), le moment de ydx par rapport à l’axe des x sera GN>^/<ir, et son moment par rapport à l’axe des y sera AN yCydx. On peut, dans le cas de la

PM , v>

limite, substituer AP à AN, et — à GN ; par conséquent — dx

et xydx seront les mornens de l’élément par rapport aux axes des x et des /. Représentons par A l’aire DBMP ; cette surface ainsi que les coordonnées du centre de gravité, seront déterminées par les équations

A = j'ydX'’

ix, = J'xydx, . .

iXj=fÇdx.

i83. Pour application de ces formules , cherchons le centre Fig. 87. de gravité de Taire d'un segment circulaire CDE (fig. 87). Si l’on prend pour origine le centre du cercle, et pour axe des abscisses une droite AD qui partage le segment en deux parties égales , le centre de grAvité de ce segment sera sur cette droite : il ne s’agit donc plus que de calculer AG=rx,. Pour cet effet, je remarque que g et g ' sont les centres de gravité des segmens CBD, BDE; ces segmens étant semblablement situés à l’égard de l’axe des x, g et g1 seront à égale distance de cet axe, et se trouveront aux extrémités d’une ligne gg> coupée à angles droits et en deux parties égales, par l’axe Ax, et en ce point d’intersection se trouvera le centre de gravité G du segment.

DD CENTRE DE GRAVITÉ. gg

La question se réduisant à trouver l’abscisse xt du centre de Fig. 87. gravité du segment CDB, la valeur de xt nous sera donnée par l’équation (98) , dont nous pourrons déterminer l’intégrale du second membre, lorsque nous aurons éliminé l’une des variables. Pour parvenir à ce but , l'équation du cercle étant dif— férentiée , nous donne

ydy = — xdx :

tirant de cette équation la valeur de xdx , et la substituant dans la formule (98), nous trouverons

intégrant et nommant A la constante arbitraire, nous aurons

Pour déterminer la constante , nous prendrons l’intégrale depuis le point C jusqu’au point D; or le point C ayant pour ordonnée CB qui est la moitié de la corde CE , si nous nommons c cette corde , nous devrons prendre l’intégrale depuis

y — - jusqu’à y — o. Ainsi en supposant que l’intégrale s’é-

vanouisse lorsque y = - , la constante A sera déterminée par l’équation

et l’équation (100) deviendra

/ — y'dy = — ir5 + 77*

Faisant y — a pour que l’intégrale s’étende depuis C jus-

ioo

ST\TK»UK

qu’en D , on aura

/ — y'dy =

Mettant cette valeur dans l'équation (99) et divisant par A, on obtiendra

A représentant l’aire CBD, nous avons A = | aire CDEB.

Substituant cette valeur de A dans l’équation précédente , nous trouverons

X‘~ 1 a aires CDEB ’

ce qui nous apprend que la distance du centre de gravité du segment CDEB à l’axe des jr, est égale au cube de la corde, divisé par 12 fois l’aire du segment.

184. Trouver le centre de gravité G du secteur CJE (fig. 88). Il est d’abord évident que ce centre de gravité est sur la droite AB qui divise le secteur en deux parties égales ; il ne s’agit donc que de connaître AG. Pour cela, en regardant le secteur comme composé d’un nombre infini de secteurs élémentaires, le centre de gravité de chacun sera aux deux tiers du rayon, parce qu’on peut les considérer comme autant de triangles. D’où il suit que si avec un rayon AH égal aux deux tiers de AC, on décrit l’arc HK , cet arc contiendra les centres de gravité de tous les secteurs élémentaires ; par conséquent le centre de gravité de l’arc HK sera celui du secteur CAE. Cela posé, si l’on nomme x, l’abscisse AG du point G, nous aurons, art. 179,

AH X corde HK X‘ ~ arc 11K ’