I)U CENTRE DE GRAVITE
IOI
or, par la similitude des secteurs AH K. et ACE, nous avons
AH = \ AC, cortlc HK = -j corde CE , arc HK = \ arc CE.
Substituant ces valeurs dans l’équation précédente et réduisant, nous trouverons
| AC X corde CE X‘ arc CE
i85. Trouver le centre de gravité de l'aire OBU' (fig. 89) Fig. 89. comprise entre deux branches de courbe.
Soient PM —y et PM' =/' deux ordonnées qui correspondent à la même abscisse AP = x. L’élément MM'N'N de la surface aura pour expression
aire PN — aire PN' — ydx — y'dx — ( y — y' ) dx :
et si nous représentons par A une portion de la surlace comprise entre deux cordes MM', 00', nous aurons
* =f{y—/)dx.
Pour trouver le centre de gravité de cette portion de surface, cherchons d’abord les coordonnées du centre de gravité de l’élément M'N. Les droites MM' et NN' étant infiniment proches, nous regarderons le centre de gravité de l’élément comme situé au milieu de MM' ; par conséquent l’ordonnée du centre de gravité de l’élément M'N sera
PM' + AMM' =/ + {(y — /) = \{y +/),
et nous aurons pour le moment de l’élément par rapport à l’axe des x ,
et pour le moment de l’élément par rapport à l’axe des y,
x(,y — r')dx-.
par conséquent si nous nommons x, et y les coordonnées du centre de gravité, ces coordonnées seront déterminées par les équations
— fx{y ■•■/)*?,
ÿ*)dx.
186. Trouver le centre de gravité de la surface d’un solide de révolution.
Soit une surface' engendrée par la rotation de BM (fig. 90) autour de l’axe des x : l’élément de cette surface ou la zone élémentaire décrite par M/« , aura pour expression 2 *yds (Élément de Calcul intégral, art. 364); donc en appelant X la surface entière , nous aurons , pour l’expression de cette surface,
X — fxryds.
A l’égard des coordonnées x t et y , du centre de gravité , nous observerons d’abord que y , est nul, parce qne le centre de gravité est sur l’axe des x; il ne s’agit donc plus que de déterminer la valeur de xr Pour cet effet, en prenant les momens par rapport à l’axe des .y, celui du centre de gravité sera exprimé par Xx, , et en l’égalant à la somme des momens des clémcns , nous aurons
Xx, = fx X iseyds ;
d’où nous tirerons
f ixyxds
mettant au lieu de ds et de X leurs valeurs, et supprimant le facteur commun itt , nous aurons pour déterminer l’abscisse du centre de gravité,
fxy \/dx' + dy1
fyÿdx1 -}- dy 1
DU CENTRE DE CRAVITÉ. lo3
187. Pour donner une application de cette formule, cherchons le centre de gravité de l’aire de la calotte sphérique.
Cette surface étant engendrée par la révolution de l’arc BC (fig. 91) autour de l’axe des x, il faudra éliminer l’une des F‘C- Invariables de la formule, au moyen de l’équation du cercle, qui est
différentiant cette équation et élevant au carré le résultat, on obtient
A'sé-’*
xïdx'
donc
— dxV/x* + rl rdx
ydx » -+- dy* = — — - = .
Cette valeur étant mise dans les intégrales de l’équation (101), on a
fxy V/ dx1 + dy* = frxdx = ÿ rx * + C , fyV' dx* + dy 1 = frdx = rx C'.
Prenant les intégrales définies entre les limites x — AD = a et x = AB = r, on obtient
fxy\/dx 1 + dy* = j /•(/•* — a’), fy\/ dx* + dy' = r(r— «).
Ces valeurs transforment l’équation (101) en
donc le centre de gravité de la calotte sphérique est au milieu de la flèche DB.
1 88. Trouver le centre de gravité d’un solide de révolution p.
compris entre deux plans pcrpcndiculdircs à l’axe des x.
Le centre de gravité de ce solide (fig. 93) étant nécessaire- Fie. 0a-
Jt
ment sur l’axe des x , le problème se réduit à trouver l’abscisse xt du centre de gravité du volume^. L’élément de ce volume ( Élémens de Calcul intégral, art. 369) étant -îry'dx , nous aurons
ft ■= firy*dx. . . (102).
Prenant ensuite les momens par rapport à l’axe des y, nous obtiendrons
px, = firxy7dx. . . (io3) ;
divisant ces équations l’une par l’autre , et supprimant le facteur commun ft, il viendra
fxy'dx ~ fr'dx -'
Si au moyen de l’équation de la courbe on élimine y, ces intégrales devront être prises entre les limites x — AP et x — AQ.
189. Appliquons cette formule à la détermination du centre de gravité du cône : nous avons deux intégrales à obtenir, savoir ,
(y1dx et Jxy*dx ;
éliminant y1 au moyen de l’équation de la génératrice du cône qui est y — ax, nous obtiendrons en intégrant ,
fy*dx — fa2x*dx — — - , a*x^
fxy*dx — fa*x*dx ~ — — .
Nous n’ajoutons point de constantes parce qu’à l’origine Fig. g3. A (fig. g3) le volume est nul. Substituant ces valeurs dans la formule (104), on trouve
