DU CENTRE UE GRAVITE

aix3

FiC- 93-

ce qui nous apprend que le centre de gravité du cône est aux trois quarts de son axe s/x.

igo. Cherchons encore le volume du paraboloïde de révolution qui est le solide engendré par la révolution de l’arc de parabole AM (fig. 90) autour de l’ave Ax. L’équation de la courbe étant y* =px, nous avons

fjr2dx ~ fpxdx = | px *, fxy2dx — Jpx2dx — y px3.

Substituant ces valeurs dans la formule (102), on a */ = !*•

On n’ajoute point de constante par la raison expliquée cidessus.

191. Prenons encore pour exemple l’ellipsoïde allongé de révolution : l’équation de la génératrice est

mettant cette valeur de y 2 dans les intégrales de la formule (104), et observant que les constantes sont nulles, on a

/) 2 . /j* ✓ rH

fy2dx = - f(a2dx — x2dx) ~ -- [a'x — — j,

A2 A* / rJ j4\

fxy2dx ~ - f(a2xdx — x3dx) = -- (a2 Y

gfe

<îe -si *

Au moyen de ces valeurs, l’équation (104) devient

lit ! : il O . 'UiV'BTÿ bb •Ültl'tT nb ■

>-3 Ga2x — 3.r3

•iti'jl

y a2x j XJ

et en prenant l’intégrale entre les limites x = o et x — a, il suffît de faire x — a dans la formule ci-derrière, et l’équation (104) donne pour l’abscisse du centre de gravité du demi-ellipsoïde allongé de révolution,

192. Trouver le centre de gravité du volume engendré par Fig. q4- 1° révolution de Taire d'une courbe plane BMCM' ( fig. 94 )

autour de Taxe des x situé hors de cette coulée.

Soient MP = y et M'P =./ ; le volume engendré par l’élément Mfflm'M' sera censé égal à la différence des volumes engendrés par les rectangles M p et M ’p ; les expressions de ces volumes étant respectivement vry'dx et % y'*dx , le volume engendré par MMV« sera t( — y2) dx; par conséquent en nommant f* le volume total , nous aurons

!* = *f{y* — y1 ) dx :

prenant les momens par rapport à l’axe des jr, il viendra t**, = */(r* — /* ) *dx.

On ne détermine pas yn parce que, ainsi que nous l’avons fait observer, le centre de gravité étant sur l’axe des x , il faut que y, soit nul.

De la méthode centrobarique , ou théorème de Guldin.

193. Soient xt et yt les coordonnées du centre de gravité Fic ^ d’une surface plane MPP'M' (fig. g5) dont l’aire est représentée par A. Nous avons vu, art. 182, que le moment de l’élément de cette surface plane , par rapport à l’axe des x, était ±y Xydx , et qu’en égalant la somme des momens des élémens à celle du centre de gravité , on avait

• fîy'fo =//*•