DE LA MÉTHODE CENTROBARIQUE. IO
Si l’on multiplie les deux membres de cette équation par 2* , elle deviendra
fxy'dx = lxyl X A;
l’expression firy,dx est celle du volume engendré par la révolution de PP'M'M autour de l’axe des x, et 2xy/X A est le produit du chemin décrit par le centre de gravité autour de l’axe des x par la surface génératrice PP'M'M; d’où l’on conclut ce théorème : Un volume de révolution est égal à son aire génératrice multipliée par le chemin que décrit le centre de gravité.
194* Pour première application, cherchons le centre de gravité du corps engendré par la révolution du triangle isocèle ABC (fig. 96) autour de l’axe des x. Soient CD = h et p. ^ AB = a, l’aire génératrice sera exprimée par j ah. D’une autre part, le centre de gravité étant aux deux tiers de la droite DC , il aura pour ordonnée | h ; par conséquent la circonférence décrite par j- h ou le chemin parcouru par le centre de gravité, sera iir. y h. Ce chemin étant multiplié par l’aire génératrice, nous trouverons que \%h*a est l’expression du volume cherché.
Pour seconde application , déterminons le volume du cône.
La génératrice de ce solide de révolution étant le triangle rectangle ABC ( fig. 97 ) qui fait une révolution autour de l’axe fîc.
AB ; cette génératrice aura pour expression ÿ AB X CB. Menons la droite CE sur le milieu du côté AB ; le centre de gravité G de la génératrice sera au tiers de EC, article 172 , et il aura pour ordonnée la perpendiculaire GD abaissée sur AB : la valeur de GD s’obtiendra par la proportion
ou
d’où l’on tirera
EC : eg :: cb : GD, 3 ; r : : CB : GD , GD = £CB.
STATIQUK.
Le chemin décrit par le centre de gravite sera }*■ CB; en multipliant cette expression par l’aire de la génératrice qui est, comme nous l’avons trouvée, y AB X CB, on aura 7 AB X srCB* pour le volume du cône engendré par la révolution du triangle CAB autour de l’axe des x.
ig5. Pour troisième application, nous allons déterminer le Fig. 98. volume du cylindre. L’ordonnée GE ( fig. 98 ) du centre de gravité G étant égale à j AC , le chemin décrit par le centre de gravité sera wAC. Multipliant cette expression par la génératrice qui équivaut à AB X AC, on aura a-AC1 X AB pour le volume du cylindre.
196. Une règle analogue à la précédente peut nous servir à déterminer l’expression d’une surface de révolution. En effet, considérons une surface engendrée par la révolution de l’arc Fic. 9;. MN (fig. 99) autour de l’axe des abscisses, et appelons y, l’ordonnée du centre de gravité G de l’arc générateur , en prenant par rapport à l’axe des x la somme des momens des arcs élémentaires , et l’égalant à celui du centre de gravité , nous aurons, art. 178,
fy \/ dx1 -f- dy* = y, X arc MN . . . (io5);
multipliant les deux membres de cette équation par a»-, on la changera en celle-ci,
fixyÿ dx* + dy* = i*y, X arc MN ;
l’expression /a» y\/ dx' + dy' étant celle qui est connue dans le Calcul intégral pour représenter une surface de révolution , nous pouvons en conclure ce théorème : Une surface rie révolution est égale au produit de l’arc générateur par la rirconférence que dans son mouvement décrit le centre de gravité.
