AC -J- CB

2 ir X est le chemin décrit par le centre de gra-

vité. Cette expression multipliée par la génératrice CD , donne AC + CB

2ir

X CD — 2* GE X CD pour la surface convexe

198. Les deux théorèmes précédens peuvent être compris dans ce seul énoncé : Le volume ou In surface de révolution que l’on cherche , équivaut au produit de la génératrice par le chemin que décrit le centre de gravité.

Des Machines.

199. Les machines servent à transmettre l’action des forces , en les faisant agir dans un sens qui n’est pas celui de leur direction. La puissance est la force qui est appliquée à la machine, et la résistance est le corps que cette puissance doit mettre en équilibre.

Les machines les plus simples sont au nombre de sept , savoir : les cordes, le levier, la poulie, le tour, le plan incliné, la vis et le coin.

Des cordes.

200. Nous commencerons par adopter l’hypothèse que les cordes réduites à leurs axes , aient une flexibilité parfaite , et soient inextensibles et dénuées de pesanteur. Une corde sollicitée

par deux forces P et Q (fig. ioi) qui la tendent, ne peut être Fjg. ,olt considérée comme une machine, puisqu’elle ne change ni la direction de P ni celle Q. Il est facile de démontrer que lorsque

IIO STATIQUE.

ces forces sont égales, la tension de la corde est mesurée par l’une d’elles; car l’équilibre subsistant, on peut regarder A, milieu de PQ , comme un point fixe , et effacer la ligne qui s’étend de A vers Q; alors la force P agissant seule sur A, mesurera la tension de la corde.

201. Lorsque Q surpasse P, une partie de Q égale à P est donc employée à tendre la corde , et l’excès de Q sur P l’entraînera dans le sens de P vers Q; donc la tension sera mesurée par la plus petite des forces.

202. Les conditions d’équilibre qui existent entre trois cordes assujéties par un nœud , sont les mêmes que celles qui existent entre trois forces qui sollicitent un point matériel. Il faut que l’une de ces forces soit égale et directement opposée à la résultante des deux autres, ce qui entraîne la condition qu’elles soient dans un même plan ; alors il y aura équilibre si

Fie- 102. l’on a ( fig. xo2 )

P : Q : R : : sin^> ; sin q : sin r.

203. Cette proportion ne suffit pas si les cordes sont réunies Fig. io3. par un nœud coulant. En effet , en regardant P et R (fig. io3 )

comme des points fixes, si la force Q , au moyen d’un nœud coulant, tire k corde PCR, le point C décrira une ellipse; et comme le plan de cette ellipse n’est assujéti qu’à passer par les points P et R , il doit décrire en tournant autour de PR , un ellipsoïde qui aura pour grand axe PC -f- CR. Le point C sera toujours situé sur cet ellipsoïde , ou , ce qui revient au même , sur l’arc d’une ellipse mobile autour de PR : or ce point ne pouvant se mouvoir que lorsque la force Q a une composante suivant l’élément de l’arc elliptique , il en résulte que si la direction de Q est normale à l’ellipse , cette force sera détruite par la résistance de la courbe , et le point C sera en équilibre. Cherchons donc la condition nécessaire pour que la force Q soit normale à l’ellipse. Pour cela , menons à la courbe la tan-

DES MACHINES

gente Tf , nous aurtîns par la propriété de l’ellipse ( Théorie des Courbes du second ordre , page 1 66),

TCP = RCf j

si l’on retranche ces angles des angles droits TCN, fCN, il restera

PCN = NCR ;

donc l’angle PCR doit être partagé en deux parties égales par la direction de Q , et la proportion

P : R :: sin NCR : sinPCN

devient alors

P ; R : : sin NCR : sin NCR , ce qui montre que les forces P et R sont égales.

204. Une machine funiculaire est un système de cordes qui se font équilibre à l’aide de plusieurs nœuds.

205. Lorsque les forces P, Rj S, T, etc. (fig. 104) sont Fig. 104. réunies par un même nœud , si l’on substitue aux forces P

et R leur résultante R', le système contiendra une force de moins. En répétant un certain nombre de fois cette opération, on parviendra toujours à réduire le système à celui de trois forces réunies par un seul nœud.