Considérons maintenant plusieurs forces P, P', P

P1", P1V, etc. (fig. io5) réunies trois à trois par des nœuds fixes Fig. io5, A, B, C, etc., on peut ramener l’équilibre de ces forces à celui d’un système assujéti autour d’un seul point ; car soit R la résultante des forces P et P' ; comme elle doit être détruite par la troisième force qui agit suivant AB , il faudra que cette résultante se trouve sur le prolongement de AB : or une force pouvant être appliquée à tout point pris sur sa direction , on aura la faculté de transporter R au point B ; alors on pourra décomposer R en deux forces égales et parallèles à P et à F, et

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l’effet sera le même que si les forces P et P' eussent reculé parallèlement à elles-mêmes pour s’appliquer au point B. Transportant de la même manière les forces P , P', P" qui sont censées appliquées en B au point C, toutes les forces pourront être considérées comme appliquées à ce point. Les conditions de leur équilibre seront donc

2P cos ce — o et ZP cos £ = o.

Pour avoir le rapport des tensions extrêmes P et P,T, soient t et t* les tensions exercées suivant AB et BC , et nommons

a l’angle PAP', a' l’angle ABP" , a" l’angle BCP”, b l’angle P'AB , b' l’angle P''BC , b'' l’angle P”CP'T,

nous aurons, art. 71,

P ; t : : sin 6 : sin a , t : t' : : sin b' ; sin a' , t' : P,y :: sin b" ; sin

multipliant ces proportions par ordre , et supprimant les termes communs , on obtiendra

P : P'” :: sin b sin b' sin b " ; sin a sin a' sin «" ;

on pourrait de même trouver le rapport de deux autres forces.

207. Si les forces P', P", P'", etc. , sont parallèles, on a dans ce cas ,

et comme les angles supplémens l’un de l’autre ont les mêmes sinus , il faut que l’on ait

sin b = sin a', sin b' = sin fl", et la proportion précédente se réduit à

P : P1» t". sin b" : sin fl.

nr.s M\r.mnp*.

Lorsque P', P" et P'" sont des poids (fîgp 06) les foreuse trouŸcfit Fig. 106. dans un même plan vertical; çaflla droite AP' étant verticale, le plan des fonces P, P' et t est vertical. De même le plan . des forces t, P" et f7 sera vertical : or t ne peut être à la fois dan £ ' deux plans verticaux sans que ces plans ne se confondent.

ao”. Les fonces extrêmes. P et P"' devant contre-balaneer •

la résultante de toutes les autres,' if faudra que cette insultante • » • 4 ■« . >

soit directement opjiosée p. celle de P et de P‘v, .et par tçirvse-

quont ^asse par le point.de concours G de ces, deux faites.

Ayant ainsi déterminé un point de la' résultante 'de toutes lés

forces du systeîffe , comme oette résitltante doit être vCrticSc,

puisqu’elle est parallèle aux forces P\ P'', P'", il suftiSa, pour .

en déterminer la direction , de mener par le point G la vorti*

cale GH. « * . - •

a 09. Une corde pesante pouvant être considérée comme un polygone funiculaire chargé d’irrte infinité de petits poids, il résulte de efe «Pi ]»réfcéde que $i l’on veut avoir égard au poids de la corde, il faut mener r ftg. ro ^ ) les den\ fan- Fig . i0gentes PG et QG , eC appliquer en G un poids égal'à celui de la corde; alors eri représentant par fl lé poids dé ' oette ’cort^,

n A ■ I C (viinnno ' * JL . ,

nous aurons

P \ Q I G t; sin LGQ : siu LGP : $iô PGQ.

De la Chafuetlr

u 1 0. La chaînette est lit cqurbe formée par une cordc parfaitement flexible qui, suspendue à dcifx points fixes A et B ( lig. 108), est aban- I0g donnée entièrement à ractinu.de lu .pesanteur. Nous supposerons oette cordé* imtfqrfiK^ÿiil pysaple, surchargée d urte iulWué de poids, et nojf . recormatlrqiA , <<*irtme i\»rfS l’art, aoj, qu’elle dbrt êtrg comprise défis uA. pliqi vertical» Ce ta pdaé; plaçons Torigirf^dSs coordonnées en A, et prenons pour axe de» x kiUgiiohorizorflole ACj renfcrinéc dans le plan do la coitrliic. Alor^mi Aÿx=.»csl l’abscisse d’un point (j'ftAconqfioTW , l’ordoiuiéo .1 de c« point Sera la rorlicalo PM. Par le même point M, i pat l’origine A ,-meijqi^'énsmfc les «Teux tangentes ÂH, HM, qui 1 ÉMm, de Hâttènii]ui-. $

1 et so

ii 4

,§TATIQUE.

rencontrent en Hj et enfin, par lepéint H, élevons la verticale HL- Nous avons déjà vu , art. 109, queisi nous, supposons que |e poids.de la corde soit appliqué au point H, 'on doit avoir Ja proportion ' . <

imsuihcn A ; poids de la portion de càr de A!VT :;«in LHM{ sin AHM ... (toGU

nommons s l’arc AM rfA la tension en A, laquollo agit suivant la lanqjéitite AH, et désignons par « Yanple que cette tangente fait avec l’fto- * Tïitontalo AÇ. Cfcs deux quantité? A et 4 sont des constantes qup nous-apprqndroas bientôt ît déterminer.

♦ Von J le moment , h nous suffit de remarquer que la tension A étant

de vriôme nature que le second, terme de notre proportion, do*it être exjiriiqce par un poids, autrement il n’y aprait pas ho’mogcnéftê entre les deux derniers termes de .notre proportion. Or, si bons ^représentons prfr j> l'unité de poids, la tension A sera de la forme ap, et je poids de la cqrdo AM aura pour expression sp \ par c^séquent , les deux premiers termes < 00 noire proportion seront. rçqiplacés par ce rapport ap'.tp, pltrtSt - par fi. s, en supprimant le facteur commun ; alors aile

^‘viendra

• a ; 1 X sin LHM ; sin AHM.

ail. Déterminons maintenant lés cxpressiotis analytiques des sinus qui entrent dans cetto proportion. Poué cela , remarquons d'abord que le triangleAIémentaire mMn fqtrné paj une parallèle à l’axe desçr, pou-* vant être regardé comme rectiligne, on a

. mM sin mMn = mn, mM cos mMn — Mn ,

ou /ton ‘divisant' par mM,

, s,nmMn = ,3M’

► * t« , ij. 11

» « K» >lt'

cotmMn = — — : rf

remplaçant les lignes élémentaires par leurs valeur; analytiques, ces équations deviennent

sin mMs — cos •vP^V2

»in LHR a — , cas LH* = . ^(tbg).

• DES MACHIHKS. • Jt»U

La première de ces équations' revient à . • t ' ' ' ■ .

sinLIIM = . . {^10%

car les angles LHK et LHM étant supplémens l'un de l’rfutre, on* a ■ sin LHM = sin LHK.

D’un autre côté, les angles AHM et AHK étant aussi suppl&nens l’un de l’autre, on a encore

sin AHM = sin AHK = sin (LHK — LHA), t. ‘ ; .

ou plutôt, d’après la- formule connue de Trigonométrie , •

sin AHM = sin LHK cos LHA — sin LHA oo* LHK ;

éliminant Sin LHK et cos LHK & l’aide des équatidbs (100), on aura

%. sin AHM = ^cos LHA — ^ sin LHA... (ni).

ds ds ' '

A l’égard du sinus et du cosinus de l'aqgle LHA, le triéhgle' ALH , <)«i est rectangle en L, nous montre que l’angle LHA est complément de l’angle HAL, et que par conséquent le sinus de l'un de cdS angles est le cosinus de l’autre. Ayant désigné HAL par « , nous aurons donc

cos LHA = sin *, et sin LHA = cosV . * Ijf •aia. Substituant cafe valeurs daûs l’équation (n t), elle deviendra

<fn AIlM r*È sin * — eos a. . Jffts).

Enfin les é^bations (no) et (tu), convertiront la proportion (ro?L en

1 ds * ds ;

On tire de Cette proportion

- . . • dy

5 = <iBin« — a — eos a... {n3);

et comme nous avant trois variablej, bous en éliminerons unej’crr substituant cette valeur de s dans la iormutp

ds =,| T^dx* + dy*. •

Pour cela, nous diKrenticrons l’équation. (y 3), ce qui nous donnera » ocos ajj-lj

lit STATIQliï.

comparant cea valeurs Êeds et divisant par dx, on obtiendra

— a cos a.

dx* + dx*

divisant ensuite par le radical, il viendra

• - . ' ' ’ dv

dx *

V ,+ss=r—

i = — - a cos «t ■

^i'f’bn multiplie les deux membres de cette équation par dy , pour que le' numérateur de la fraction puisse devenir la différentielle de la quantité qui est sous le radical, nous obtiendrons *

, r ir* — a cos et (

dy=-a cos*. ou — ^ — V ! T^*’

par conséquent , en intégrant (Élément de Calcul intégral, art. 070),

nous trouverons \

\ i */’■ dy*

y — — a cos x y 1 -+- 4- r.

Çett» équation étant multipliée par dx, nous.donne

(e — y)dx = acos x Ÿ ** 'yr!>

devant les deux membres au cprré, rassemblant les termes en dx' , et

tirant de nié; eau la. racine cartsie, on obtiènt

dy l/ (r —ï)' — a‘ C°8* * dx

a co s a

(ai4).

*»i3 Pour déterminer la constante, remarquons qu’au point A,

y = o, 'et» tanga;

ces dprwàres valeurs réduisent l’équation (114)

y'c' a» Costa

tang ot :

<fovl l’on tire

Biais.

t if cos a

a Lang x cos x =s^/c» — <j’ cos» t ;

tang k cos « =s sin « ;

np.s machiNks

donc en élevant au carré, on a

a» sin* k = c» — a* eos» « ,w et par conséquent • ' j. • ' . •

^ es o» (sin* a'4-tos* *>: •*

et, comme la quantité renfermée entra les parenthèses est égal e à Vu h i té, 1 équation précédente ée réduit à c* = ûl.éiTsyant aucun égqrd aux signes parce que nous n'avons employé a, dans la proportion ioy, que d'une manière absolue, pous substituerons a, ‘à la placeidec, dans Vé* quation (il 4), et nous auroas enfin, -pour l’équation différentielle de la chaînette.

dpr l/(a — .y.)» — a* cos» a

dr a cos *

ai4- Cette équation différentielle nous conduit facilement à reconnaître que la chaînette est une courbe rectifiable j .car si, par son moyen, dy

on élimine la valeur de^- de l’équation (n3), on trouve

i = a sin a — V/(a — y y — «» Cos» . (u6),

ai5. Occupons-nous maintenant de l'intégration de l’équafion de la chaînette. Pour parvenir à ce but, commençons d’abord à la simplifier en faisant »

on aura donc

û cos x — b,.. (117)- 4) * «» — de ;

substituant ces valeurs dans l’équation (u5) de la chaînette, on obtiendra

, bdz

dr = --— (,,8).

Vz* — b*

On parviendra ù intégrer cotte équation en employant le protédé suivant ( Elemens de Calcul intégral, art. 3iG) : 011 fera

élevant au carré et réduisant, on obtiendra

izt = &» ■+■ <».

Celle équation étanl dilféreuliéo et divisée ensuite par i, nous.domi zdl ■+■ fer s tdt ;

STATIQUK.

d’où l’on Àe '

dt ' t '

Or, eu vertu de l’équation*( M§) , z — t n’étfml autre chose que le radical, ce derhier résultat convcMit l’équation (118) en

dx = h±

et donne, en intégrant, *

. * = à Io? < -f- «*

mettant, au moyen de l’équation (119), la valeur de t en z, ou obtient

1 = 4 log (è — [/z1 — *4») -f- e;

remplaçant ensuite i et z par leurs valeurs tirées des équations (117),

on a enfin

x z= a cos a. log f(n — y) — v (a — y)' — a* cos’ *] +«... (iao).

216. Pour déterminer la constante e, remarquons qu’au point A l’hypothèse de x =. o et de y = o, nous fait déduire de l’équation(iao)

x = a cos <t

log £

e = — aebs « log (t — V/i — cos* x) ] -, au moyen de cette valeur de e, l’équation (120) devient

Æ = acoSst{ log [(a — y)— \/(a—y)* — a* cos1 a] — loga(f — V'i— cos»a)} ;

ou, par la propriété du logarithme qui permet de remplacer une différence par un quotient,

(a— y) — V'(‘— y y — «»cos’Vi Uiii]

a(i — yr^~ cos* « ; J

Telle est l’équation de la chaînette.

217. Mous venons de reconnaître dans les constantes c et e des fonctions des quantités a et 01 ; mais jusqu’à présent ces quantités ne sont encore représentées quepar des signes généraux. Pour les déterminer, il faut que l’on nous donne les coordonnées du second point de suspension : soient donc AD = *', et DB =y ces coordonnées, et l la longueur de la corde AMB; en substituant ces valeurs dans les équations (116) et (121) , nous obtiendrons

l = a sin a — — y )• — a*cos*«,

-(q— y)— y/(7 — y)» — a» COS1 *1

fl — cosT^ J

v' = « cos « log^J

IIF.S MACHINES.