DO PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

loua les moyens généraux que l’on peut employer pour la solution des problèmes qui concernent. l’équilibré, ne sont que des applications plus ou moins directes de ce principe.

074. On entend par vitesse virtuelle le chemin que décrirait le point d'application m d'une force, si l’équilibre était infiniment peu troublé.

Ainsi, en supposant que le point d’application m (Bq. i^a) d’une force fjg, , 4^. P, par un dérangement instantané , vienne un 11, la petite ligne mn qu'il décrira sera la vitesse virtuelle de la force P. .

375. Le moment de cette vitesse virtuelle n'est pas le produit de P par la petite ligne mn, mais, suivant l'acception que lui donne Galilée, est le produit de P par la vitesse virtuelle évaluée dans le sens de P, c'est-àdire est le produit de P par la projection ma de mn sur la direction de P.

Nommons p cette projection, le produit P p sera donc ce que Galilée appelle le moment de la force P; on voit que le mot de moment est pris ici dans une acception toute différente de celle qu'ou lui donne ordinairement.

Le principe des vitesses virtuelles, comme on va bientôt le démontrer , consiste dans l’égalité à zéro de la somme de ces momens d’un nouveau genre , de sorte que si P, P*, P", etc. , sont différentes forces appliquées à un système, et p , p', p", pm, etc. , les projections de leurs vitesses virtuelles , sur les directions de ces forces , on doit avoir

Vp +P y -f- P y + P -h etc. = o. . . (147),

Mais il est à observer que si quelqu'une des projections p •, p' , p ", etc., tombait sur le prolongement mh (fig. ij3) de la force P appliquée en m, Fig. 14L celte projection serait négative; et, comme les forces P, P', P", etc., sont toutes censées positives, art. 35, le moment qui appartiendrait à cette projection négative serait donc aussi négatif ; c’est ce que nous exprimerons en sous-entendant que l'équation (147) se compose de la somme algébrique des produits P p, P 'p', P "p", etc.

376. Nous allons d’abord démontrer le principe des vitesses virtuelles, dans le cas où plusieurs forces sont appliquées à un même point. Poiir cela, soit P la résultante d’un certain nombre de forces P', P", P®, etc., appliquées au point m (fig. i44)> et dont les distances respectives sont Fig. i44invariables; si, par l’effet d’un dérangement instantané, le point m est transporté en n, la ligne mn étant infiniment petite, pourra être regardée comme droite. Plaçons dans sa direction l’axo des x, et nommons

«, <t®, étc. , les angles que les forces P, P', P", P®, etc. , font

avec cet axe, nous aurons, puisqu’il y a équilibre, *

P cos a -f- P' ros * -4- P" cos «" -j. P* cos «® -f- etc. = o ; ■

l54 STATIQUE.

Fig. 144. multiplions tous les termes de cette équation par la droite mn, que nous représenterons par z, cette équation deviendra

P z cos x 4- P ’z cos x -f P"* cos x + P *z cos x" 4- etc. = o. . . (148).

Or, il est, évident que z cos x ou mn cos nml n’est autre chose que la petite ligne ml, projection de mn sur la direction de P. Donc z cos * est la quantité que nous sommes convenus de designer par p, lorsque , nous avons défini les vitesses virtuelles. Ce que nous disons de P pouvant s’appliquer aux autres forces, il nous est permis de remplacer les produits zcos a', zcos a", zcos x", par les projections p', p", pm, etc. , des vitesses virtuelles sur les directions de ces forces, et de changer l’équation (148) en celle-ci,

Pp 4- P Y 4- P "p" 4- P "p” 4- etc. = o ;

ce qui montre que le principe des vitesses virtuelles est vrai dans le cas de plusieurs forces appliquées à un point.

377. Le cas le plus général du principe des vitesses virtuelles est celui de plusieurs forces P, P', P", P*, etc. , appliquées à différons points d’un corps ou système de corps ; ces points conservant toujours entre eux les mêmes distances, peuvent être regardés comme liés les uns aux autres par des droites inflexibles. Avant que de nous occuper de l’état général du système, lorsque son équilibre a été infiniment peu troublé, considérons seulement l’une de ces droites inflexibles mm' au moment où, par une légère impulsion donnée au système, le point m vient en it. Dans cette circonstance, l’autre extrémité m' de cette droite changera de position, el se transportera au point ri, qui pourra être au-dessus * ’ de la droite mm' (fig. l45), ou au-dèssous (fig. 146)» supposons-le

F|g. 146. d’abord au-dessus , la droite mm', dans sa nouvelle position, sera donc Fig. i47- représentée par nn (fig. 147), et alors les droites mn et niri seront des quantités infiniment petites à l’égard de mm' et de nn', puisque, par hypothèse , le dérangement du système est imperceptible. Cela posé, si par les points m et n' on mène une droite mn', comme le côté ni n' est infiniment J>e}it , il en sera de même de l’angle n'mm' qui lui est opposé dans le triangle mm'n' ; donc l’arc n'a qui en est la mesure sera censé rectiligne. Or, cet arc ayant été décrit avec le rayon Fig. 148. ma, si l’on prend (fig. ij8) mi = ma, l’angle Ma sera droit, comme appuyé sur le diamètre, et pourra être remplacé. par l’angle mn’ a. En effet, puisque l’angle n'ma est infiniment petit, il en sera de même de la somme des angles i et bnim qui est équivalente à rima ; donc l’anglo nui a, qui ne diffère de l’angle drdit que de l’angle infiniment petit in'm, Fig. 147. peut être regarde comme droit. Cela posé, le triangle mria (fig. 147) ayant un angle commun avec le petit triangle rectangle n'ia, lui sera

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semblable, et l’on aura la proportiou . Fig. îfc-

ma l n'a II Wa ; la.

Or, n'a étant infiniment petit & l’égard de ma, il en est de même de

la à l’égard de n’a ; et comme n'a est un infiniment petit du premier ordre, la en sera un du second. Or d’après la théorie des inÇniment petits, que nous avons exposée, on devra négliger la et regarder mn' comme étant égal à ml, et l’on aura de la sorte ,

- mn' mm' -+■ ml.

Par un même raisonnement, on prouverait que si du point n' pris pour centre on décrit avec le rayon n'm l’arc ma , on doit avoir

mn' = nn' -f- nh ‘

les premiers membres de ces équations étant les mêmes, on obtient mm' -f- m l = nn' •+■ nh ;

mais la droite mm' étant inextensible, doit conserver la même longueur dans sa nouvelle position : les droites mm' et nn' sont donc égales, et en les supprimant de l’équation précédente , il restera

m'1 — nh.

D’un autre côté, les droites nn’ et mm' doivent être regardées comme parallèles, puisque si elles se rencontraient en un point O (fig. 149), on Fig. 1 4i>aurait un triangle nt'On' composé de deux côtés finis et d’un côté m'n' infiniment petit ; d’où il suit que l’angle O serait aussi infiniment petit, c’est-à-dire nul. U résulte de ce qui précède, que si l’on abaisse la perpendiculaire nk sur le côté mm' (fig. 147), on aura Fig. 147.

nh = mkj

substituant cette valeur de nh dans l'équation précédente, on obtiendra ml = mk,

ce qui prouve que les projections mk et m'Z des vitesses virtuelles mn et m'n' des points m et ml sont égales.

378. Supposons maintenant que lorsque le point m (fig. iôo) est trans- Fig. i5o porté en n, l’extrémité m' tombe en un point n' qui soit au-dessous de la première position de mm'. On prouverait, comme dans le cas précédent, que l’angle o est infiniment petit, et que par conséquent, les projections ol et oh. ne diffèrent pas de on' et de on, ce qui donnerait les moyéns d’établir ces équations,

on' = om! -f- m’I, on = cm — -, mh ;

on trouve en les ajoutant ,

on -f- on — om' -f- om -f- m'I — mhj Fig- i5o. ou, comme la figure i5o nous le montre,

nn' = mm’ ■+■ n/l — mh , et en trtfosposant, on obtient

nn' + mh — mm' -4- m'I ; supprimant les parties égales nn' et mm', il reste

mh — m'I,

ce qui prouve encore que les projections sont égales.

379. 11 est à observer que , dans le premier comme dans le second cas , les deux projections tombent, l’une sur la direction de mm', et l’nutre sur. son prolongement, et doivent par conséquent être de signes contraires. F'6- >4? Cela résulte immédiatement de l’inspection des figures 147 et i5o, et et i5o. l’on sait que cela devait être; car si les deux projections tombaient sur mm', il faudrait que nn' fût plus court que mm, ce qui est impossible, d’après notre supposition que mm' est une droite inextensible.

Fig. i45.

280. Il résulte de ce qui précède, que si l’on considère mm' (fig. 1^5), comme une forço qui agit sur les points m et m' , et qu’on représente par {mm') cette force, par e et par v' les projections des vitesses virtuelles mn et n/n des points m et m', suivant la direction de mn/ , on devra avoir

et par conséquent

(mm') v -+- (mm') i o ;

ce qui montre qu’en considérant une droite inflexible comme une force qui, par ses extrémités, fait équilibre it d’autres forces, la somme des momens des vitesses virtuelles de ses points extrêmes, pris dans le sens que lui donne Galilée, est égale à zéro.

281. Au moyen de cette proposition , il est facile maintenant de démontrer le principe des vitesses virtuelles, pour le cas d’un système quelconque de forces appliquées à diiférens points.

Fig. i5i. En effet, soient P, P', P", P*, etc. (fig. i5i), différentes forces appliquées aux points m, m', m", m1*, etc. ; si l’on imagine que ces points soient liés enlre eux par des droites inflexibles, ces droites pourront être regardées comme des forces qui agiront sur les points m, m', m", m ", etc. ; alors, en désignant ces forces par (mm'), par ( n/m "), par (m"m*), etc., l’équilibre sera maintenu