DU PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES
au point m par les forces (mm'), (mm"), (mm®) et P,
au point m' par les forces (m'm), (m'm"), (m'm®) et F,
au point m" par les forces (m'm , (m''m'), (m"m®J et F',
au point m® par les forces (m®m), (m®m'), (m*m") et I1®.
Nous pourrons donc établir pour chacun de ces équilibres l'équation des moment galiUeiu qu'on a démontrée art. J7G; mais, avant de procéder à cette opération , convenons de désigner par v la projection de l’une quelconque des vitesses virtuelles des points m, m', m", etc., et de placer toujours ce signe à cAté de celui du point dont il représente la vitesse. Par là, on ne pourra jamais errer sur la valeur de v. Par exemple , dans le moment v (m'm"), v se rapportera au point m', tandis que v se serait rapporté au point m" si nous eussions écrit ainsi ce moment, v ( m"m‘ ). De cette manière, v représentera, sans qu’on s’y méprenne, des quantités qui pourront être égales ou différentes, selon quo les projections des vitesses virtuelles tomberont sur la direction d'une même droite, ou appartiendront à des droites différentes.
u8a. Au moyen de cette convention, et d’après ce qui précède, nous pouvons maintenant établir les équations des vitesses virtuelles qui appartiennent à ces différons points ; nous avons donc, art. 376,
pour le point m, P p + v (mm) -+- v (mm") -f- „ (mm"’) =0,
pour le point m', F/>' -4- v 'm'm")-f- c (m'm*) v (m'm) =0,
pour le point m", Vp" -h v (m"m') -f- v ( m'm ) -1- v (m"m*) = o ,
pour le point m®, Vpm v (mPm) -f- e (m®m') -t- v (m'*m") = o ;
ajoutant ensemble ces équations, nous en réduirons la somme, en observant que les momens qui appartiennent à une même droite se détruisent. Nous effacerons donc v (mm') de la première ligne, en même temps que v (m'm ) de la seconde; en continuant cette operation , nous trouverons quo tous les termes affectes dee se détruisent, et il ne restera que
vP + p y -t- F>" -f. P V = o-
Si l’on avait un plus grand nombre de forces, la démonstration serait absolument la même.
a83. Pour donner un exemple de la manière dont le principe des vitesses virtuelles peut nous faire découvrir les conditions de l’équilibre d’une machine , supposons qu’on ignore le rapport de la puissance à la résistance dans le levier, et qu’on en veuille déterminer la valeur; on observera d’abord que puisque noue n’avons que deux forces P et Q, l’équation des vitesses virtuelles se réduit dans ce cas à
Fig. l5f .
il 58 STATIQUE.
Cette équation n’a de sens que lorsque Vp' est négatif, et que l’on a par conséquent
Pp=py... (149).
Cela posé, cherchons ce qu’expriment, dans le levier, les quantités p et p'*
Fig. i5a. Soient donc C le point d’appui (fig. >5a) et mm' le bras du levier qui , étant sorti de son état d’équilibre, a pris la position nn', les angles opposés, au sommet en C étantégaux, les arcs mn et m'n' qui les mesurent seront proportionnels aux rayons, et l’on aura
mn : mV“ Cm ; Cm'... (i5o).
Or, si par les points n et n' on mine des perpendiculaires nr et n'r' sur les directions des forces P et P', nous aurons
mr — p , m V = p' ;
mais en regardant les arcs infiniment petits mn'et’m'n' comme des lignes droites, les triangles mm, mYn' rectangles, par construction en r et en r', seront ^semblables ; car les triangles isocèles mCn , m‘Cnr , donnent
angle nmC = angle n'm'C :
si l’on retranche ces angles égaux des angles droits rmC, r'm'C, il restera
angle rmn — angle rm V.
Donc les triangles rectangles rmn, / m'n ' étant alors semblables, donnent la proportion
ou
mn ; mV : : nu- : m’r', mn : m'n' : : p ; p' j
donc , en vertu de la proportion (1 5ol , on a Cm : : /.
Mais on tire de l’équation (149) dos momens
donc, en comparant cos deux proportions, il vient Cm : Cm' :: P' : p,
c’est-à-dire que les bras de levier doivent être en raison inverse des forces.
Di
MAXIM. ET MIN. DES HAUT. DF.S CENTRES DE CRAY. 1 5g
Propriété du centre de gravité d'étre en général le plus haut ou le plus bas possible , lorsqu’un système de corps est en équilibre.
a84- Soient m, né, m ", les centres de grarité do différons corps liés entre eux d’une manière invariable ; abaissons de ces points des perpendiculaires s, d, s", etc., sur le plan des x , y, que nous supposerons horizontal , ee sera suivant les directions de ces perpendiculaires qu’agiront les poids P, P', P", etc., de ces corps, qu'on regardera comme suspendus aux points m, né, m", m®, etc. Si z est l’ordonnée du centre de gravité de la totalité du Système, on aura, art. tOG,
Pz'4- PV -4- P *z" -f- etc.
p + k + p- + ow! ‘
Quand le système de corps change de position , et que 2 devient s 4- h ou 2 — h, l’accroissement de t influe sur tes autres ordonnées z', 2", t'“, etc., parce que les points m, m', m", mm, etc., étant invariablement liés entre eux, 2 ne peut subir un changement sans que 2', z", 2®, etc., n’en épfouvent aussi un. Cette dépendance mutuelle de ces ordonnées est ce qu’on exprime en disant que 2', r", 2", etc. , sont des fonctions de 2. Quoiqu'on général nous en ignorions la loi , qui dépend du système de corps que l’on considère, nous pouvons représenter l’équation précédente par
Ps -I- Py -4- P*Fr -4- etc.
F+P + P- + etc.
Or, si l’on demande quelle valeur doit avoir l’ordonnée t, du centre de gravité du système , pour qu’elle soit la plus grande ou la plus petite possible, on soit par la méthode des maxim* et minimu f que si cette valeur existe , elle doit correspondre à celle de 2, qui devrait être déterminée par l’égalité à zéro de la différentielle du second membre de l’équation précédente.
11 faudrait donc que l’on eût
Pdz ■+- -f- P* dFz -4- etc. = o,
ou plutAt
Pdr + P'dz' ~s- P “dd‘ -4- etc. = o.
Kous allons voir que cette équation est nécessairement satisfaite d’ellcmème, lorsque l’état d’équilibre du système est infiniment peu troublé. En effet, quand les centres de gravité m, m', m", etc., changeant de
i6o STATIQUE.
place , viennent en des points n, n' , n* , etc., les chemins parcourus sont mn, mn, m“n", etc. Par conséquent, si l’on projette ces chemins sur les directions primitives s, z’, z“, etc., des forces P, P', F', etc., on aura les vitesses virtuelles évaluées suivant les directions de ces forces.
Fig. i53. Or, en considérant la première, on voit que mh (fig. i53), projection de mn sur s, est égal à nk qui est l’accroissement que z a reçu en vertu du dérangement survenu dans le système, accroissement qui, suivant je cas, sera positif ou négatif. Par conséquent on aura donc , abstraction faite des signes , p =z dz-, en appliquant la même considération aux autres ordonnées, il suit de là que la’ différentielle Vdz -f-Frfs'-f- P’dz", etc., est la même chose que Vp -h P'p' + F>" -+- etc. ; et commo cètte quantité est égale à zéro , d’après le principe des vitesses virtuelles, on doit donc avoir également
P dz + Fdz' 4- P “dz" + etc. = o,
et par conséquent dz: = o, ce qrti montre qu’en général le centre de gravité est le plus haut ou le plus bas possible, dans un système en équilibre. Je dis en général , parce que l’on sait que la condition dzt/ — o ne suflit pas toujours pour déterminer une limite.
