LT
Ces deux dernières proportions nous apprennent que les temps sont comme les vitesses ou comme les racine» carrées des espaces parcourus pendant ces temps.
3o4* Si nous faisons /= i, l’tquation*(i 07) nous donne
Dans ce cas, e est l’espace parcouru dans l’unité de tèînps par le mobile; donc le double de cet espace est l'expression g de la force accélératrice. On a trouvé, par exemple, que dans une seconde de temps un mobile , livré à l’action de la pesanteur, parcourait à la latitude de î*aris, et à la température de la glace fondante,
1 5 pieds , 097 = 4", 9044 ; *
mettant cette valeur à la place de e dans l’equation précédente , on trouve
3o5. On parviendrait au même résultat par les considérations suivantes : soient i, et i(/ deux secondes successives de temps, et supposons que le mobile, pendant la durée de la seconde 1 1 qui représente f, ait parcouru i5 pieds; la force accélératrice se mesurera par l'espace que parcourrait le mobile dans la secondé 1 u , en vertu de la force accélératrice, devenue tout-à-coup constante à l’expiration de 1 ( : or , dans cet instant 1 n le mobile ayant parcouru i5 pieds, devrait, s’il n’était sollicité que par la vitesse qu’il a acquise, parcourir encore 1 5 pieds dans le temps 1 u ; maif la force accélératrice étant supposée constante, doit produire sur le mobile , dans la seconde fi (/ , le même effet qu’elle a produit dans la seconde i,; elle fera donc parcourir encore au mobile i5 pieds dans le temps i„; d’où il suit que le mobile aura décrit 3o pieds dans la seconde i/;; c’est cet esjiace qui mesurera la force accélératrice g.
■ 3o6. L’equatioq ( 1 57)'nous fait connaître l’espace.parcouru dans un temps donné. Par exemple, si t = 6", on a
DU MOUVEMENT UXIEORMLMENT VARIÉ. I<j3
e = |(3op, i95) X 36 = -(g", 809) X 36, et en exécutant les operations indiquées, on trouve e = 543^, 5i = 176", 56a;
ainsi un corps élevé de 176 mètres emploierait environ six secondes à tomber.
Si l’on cherchait la vitesse qui devrait animer ce corps au bout de ce temps, elle nous serait donnée par l’équation ( 1 54), dans laquelle on ferait
et l’on trouverait
307. On pourrait aussi demander de quelle hauteur un corps devrait tomber pour avoir une vitesse donnée. Dans ce cas, on éliminerait t entre les équations
e = “ = gt,
et l’on trouverait
erzt/a eg... (160).
Par exemple , si l’on vêtit savoir quelle est la vitesse que doit avoir à l’instant de sn chute ime balle de plomb qui tombe d’une hauteur de 20 mfetres, on aura
Çn énonce ce dernier p^PlIine en disant que l’on cherche la vitesse due à une hauteur donnée.
308. Epfin on pourrait chercher le temps qu’un mobile demeurerait à tomber d’une hauteur e. Dans ce cas, en éliminant 0 entre les équations
ruh fwfr. m&W-
v — g* et 0=^/2 eg.
on trouverait
3og. Il nous reste à appliquer les équations du mouvement
de
de
p et
à la recherche du mouvement direct d'un corps , dans diverses hypothèses. Cette recherche se réduit à déterminer les rela- * lions qui existent entre le teiqps , l’espace et la vitesse ; car , par exemple , si l'on peut parvenir à connaître l’espace et la vitesse en fonctions du temps , on sera en état de savoir en quel lien se trouvera le corps au bout d’un temps donné, et la vitesse qu’aura ce mobile. Ainsi tout ce qui est relatif au mouvement de ce corps sera connu; c’est ce qui va faire la matière des chapitres suivans.
Du Mouvement que suit un corps lancé verticalement en sens contraire à celui de la pesanteur.
3io. Si la pesanteur agissait seule sur un corps qui partirait du repos , -nous avons vu que dans ce cas on aurait l’équation
dv •
dt
Cette équation nous donnerait v at gt pour la vitesse que le mobile aurait acquise an bout dfr temps t : or, si l’on suppose qu’au lieu de partir du repos* il soit lancé verticalement en sens contraire à celui de la pesanteur avec une vitesse a , cette vitesse, au bout du temps t, devra être diminué! de toute celle que la pesanteur aura imprimée au mobile; par conséquent la vitesse du mobile, au bout du temps t , devra être représentée par a — gt; de sorte qu’en appelant e cette vi-
BU MOUVEMENT VF.KTICA1. I) UN COUPS.
(esse, nous aurons
v = a — gt. . . (162)} de
mettant pour v sa valeur — , chassant le dénominateur et intégrant, nous trouverons
c — at — \gt\
Nous n’ajoutons point de constante, parce que nous supposons que l’espace initial est nul.
Cette seconde équation étant mise sous la forme suivante,
si l’on y substitue la valeur de t tirée de l’équation (16a) , on trouvera
ou plutôt
3ti. Les équations (162) et (iG3) nous fefont connaître toutes les propriétés du mouvement que nous considérons. En effet, l’équation (i6i) nous prouve que plus’lc temps t augmente , plus la vitesse v diminue-; mais en considérant l’équation (i63), on voit que plus la vitesse diminue, plus l’espace parcouru augmente ; d oh il suit que le mobile diminue de vitesse en s’élevant verticalement; enfin la même équation ( < 63) nous montre aussi que lorsque la vitesse devient nulle, le mobile atteint il sa plus grande hauteur; si nous appelons h cette hauteur, l’équation (i63) nous donnera , en faisant <>= o,
t 76 J DYNAMIQUE.
Pour déterminer le temps qui correspond à cette -pi us grande hauteur, nous ferons aussi i» = o dans l’équatidn (16a), et nous aurons
Si l’on veut avoir la vitesse due à la hauteur h , c'est-à-dire la vitesse qu’aura le mobile .à l’instant de sa chute en descendant de cette hauteur, on mettra la Valeur que nous venons de déterminer pour h , dans la formule , .
et l'on trouvera
v = \é V£g = l/ ihg -,
<> =: l/fl’ — a ;
par conséquent le corps a la même vitesse en descendant qu’en montant.
3(2. Si l’on demandait, par exemple, la plus grande hauteur'à laquelle doit s’élever un corps lancé avec une vitesse de 81 mètres par secpnde , on trouverait, au moyen des équations (164) et ( i65) , que cette hauteur est de *334", 43»
et que le temps de l’ascension du mobile est de 8", 2.
3i3. Toute cette analyse peut s’appliquer au cas où le corps, au lieu démonter, descendrait ;. alors g serait de même signe que a , et l’on emploierait l’équation
v = a + gt.
Du mouvement vertical d’un corps, en ayant égard à la.v aviation de la pesanteur. .
3i4- La pesanteur est une force qui nvagit pas de la même manière dans tous les lieux. On a reconnu qu’elle diminuait lorsqu'on s’éloignait du centre de' la terre, et qu’elle agissait
DO MOUVEMENT VERTICAL d’B!» COBPS. I 77
en raison inverse du carré de la distance , c’est-à-diîe qu’à des distances du centre de la terre, représentées par les nombres
2 , 3 , 4 ) etc. > ede devenait — , — , -y de ce qu’elle était à la
distance I ; ainsi , quoique Ta pesanteur fasse parcourir 4'",9o4 en une seconde à Un mobile qui est à la surface de la terre , si l’on s’éloigne de cette surface, ce mobile ne parcourra plus 4”, 904 par seconde.
3t5. Considérons donc un mobile qui, partant du repos du point A (fig. 1 55), est parvenu en un point B, et cherchons Fig. 1 55. d’abord la vitesse de ce mobile en ce point. Dans cette vue, nommons g la pesanteuç à la surface M de la terre, <p la pesanteur au point B , rie rayon CM de la terre, x la distance de B en C ; et pour simplifier les calculs , faisons AC = t : la pesanteur agissant en raison inverse du carré de la distance, nous aurons
d’où nous tirerons
* xJ ‘ •
La force accélératrice est aussi exprimée (art. 297) par
dv
ainsi on conclut des oes équations.
D’une autre part , la vitesse étant égale à la différentielle de l’espace parcouru, divisée par celle du temps (art. 295), nous aurons pour la vitesse
ÉUm. dr Mécanique. I 2
ou plutôt
v=-dï " <,b^
Multipliant cette équation terme à terme par l’équation (166), et supprimant le diviseur commun dt , nous trouverons
et , en intégrant ,
dx
vdv = — gri — ,
Nous déterminerons la constante en observant que quand x = AC = 1 , v — o, et nous trouverons
C = ^gr>.
Substituant cette valeur dans l’équation précédente, nous obtiendrons
Tas.^*(î'” *)*•• (,68)’
Cette équation détermine la vitesse qui a lieu en un point quelconque de la verticale.
3 16. Pour avoir le temps que le mobile a employé à parcourir l’espace AB , nous éliminerons v entre cette équation et l’équation (167), ce qui nous donnera
dx
dx1 / 1 \
, ' 1 y dx
dt* = — - X
igr* 1
et par conséquent ,
Diyitized
