DU MOUVEMENT VERTICAL D UN CORPS

"'^VP'

et en intégrant , t

=-Wk

Pour effectuer l’intégration qui n’est qu’indiquée, nous trouverons , en réduisant les fractions au meme dénominateur,

Jv/i-

Nous ferons évanouir le radical du dénominateur en supposant

On tire de cette équation

dx = — izdz , l/ 1 — x = a, l/x = j/ 1 — ?

Substituant ces valeurs dans la formule précédente , nous obtiendrons

j/'dxy/x r

jÿr~^=~v(iz ^ 1 • (#70-

Intégrant par parties, nous aurons

fdz 1 — z‘ = 2 |/ 1 — z1 + — —Z~

D’une autre part, multipliant et divisant /c& v/i zJ par

1 — a1 , on a cette équation identique

f iz

ia. ,

lfcio UÏNAMIQUr..

Ajoutant ces équations et divisant par 2 , on trouve

Çdz t/i — z* = jzV/| — z'4-t J' T^==l = jzy' 1 — z* -f- | arc ( sin = z) ;

donc

— a fdz\/ 1 — z1 = — z\/ 1 — z1 — arc ( sin = z ).

Substituant cette valeur dans l’équation (171), on obtiendra l’intégrale de l’équation (170), et par conséquent l’équation (169) deviendra

z l/ 1 — z* -J- arc (sin = z)]

II n’y a point de constante à ajouter, parce que lorsque f = 0, on a x = 1 ; alors l’équation 1 — x = z’ nous donne z = o , hypothèse qui fait évanouir le second membre de l’équation (172); «t comme le temps est essentiellement positif, nous ne prendrons que le signe inférieur des deux signes qui affectent la valeur de f, observant ensuite que z* n’est antre chose que l’expression analytique 1 — x de l’espace parcouru AB que nous réprésenterons par e, l’équation précédente nous donnera, pour déterminer le temps en fonction de l'espace,

f=.-\J —\y e\/ \ — e -J- arc (sin = \/ e)\

317. Cette dernière équation se simplifie beaucoup dans l’hypothèse où les distances AB et AM seraient très petites à l’égard de AC -et de MC; car alors on peut, sans erreur sensible, remplacer 1 — e par l’onité, et l’arc par le sinus; c’est-à-dire mettre ^ e à la place de arc sin \/ e, et en changeant r en 1 , on obtiendra

DU MOUVEMENT VERTICAL d'uN CORPS. l8l

devant cette équation au carré , on obtient

réduisant et tirant les valeurs de e, on trouve **=T g‘2i

ce qui nous apprend que, dans cette hypothèse, le mouvement. s’effectue comme si la pesanteur n’était pas variable.

Du Mouvement vertical dans les milieux résistans.

3i8. On a trouvé que la résistance qu’éprouve un corps qui se meut dans un fluide, était proportionnelle au carré de la vitesse qui anime ce corps. Ainsi en appelant m cette résistance lorsque le mobile est animé de l’unité de Vitesse, cette résistance deviendra mv * quand il aura acquis la vitesse v. Cette force mie étant contraire à celle de la pesanteur que nous supposerons constante , nous aurons

<P = g — mv* -,

i dv

mettant pour tp sa valeur — , nous aurons

àv

— — e — mv * dt 6

dt —

g — mv*

Pour intégrer cette équation, nous remarqueront qu’en dé*

composant le dénominateur en facteurs, nous avons

g — mv* =(\/g -h v [/m) (\/g — v\ /m).

Nous supposerons, d’après la méthode des fractions rationnelles (Élément de Calcul intégral , art. 2g5),

dv /

— : = dv( — —

— mv' \ y/ .

y/ g ~hv ' tn V g — v y m>

réduisant le second membre au même dénominateur, supprimant les dénominateurs et égalant entre eux les coefHciens des memes puissances de v , nous trouverons

zV g

substituant ces valeurs dans l’équation (rj4)j nous aurons

dv i {

g—mv* ~w;Vi/;

g — ™' 'Wg^Vg + i>Vm ' Vg-Wm- Multiplions et divisons le second membre de cette équation par l/ m, l’équation (173) devient, au moyen de cette valeur,

^ i s dv j/ m • dv y' m \

2 ÿgKV'g-î- o y/™ \/g — v\/m /

et en intégrant , on obtient

t— [log( g-\-v\/ g — v \/ /n)]-f-C,

1 V mg

synig V g — vV m

Nous supprimons la constante , parce que r=o quand e=o.

3ig. Si l’on multiplie les deux membres de l’équation(i75) par 2 )/ mg, et le premier seulement par le logarithme de la base «du système népérien , logarithme qui, comme on le sait, équivaut à l’unité, on trouve

V g+° Vm

2 1 mg log«5=rJog