DU MOUVEMENT SUR UN VLAN INCLINE

Du Mouvement des corps assujetti à glisser le long des plans inclinés.

321. Proposons-nous de déterminer le mouvement d’un corps qui glisserait sur un plan incliné. Il est d’abord évident que le centre de gravité de ce corps se meut sur un plan parallèle au plan incliné. Ainsi la question peut se ramener à celle du mouvement d’un point matériel sur un plan incliné.

Soient donc (fig. 1 56) m ce point matériel, et g la vitesse Fig. 1 56 due à l’action de la pesanteur. Cette vitesse sera représentée par la droite mB que décrirait le point m dans une seconde de temps s’il agissait librement; mB aura pour composantes, suivant une direction perpendiculaire au plan incliné * et suivant ce plan , les droites m C , mD ; la première de ces composantes sera détruite par la résistance du plan incliné , et la seconde fera glisser le point m sur ce plan.

Cela posé, les farces étant proportionnelles aux vitesses qu’elles communiquent à un mobile dans le même temps, si nous appelons g1 la vitesse qui sollicite le mobile dans une seconde de temps, suivant le plan incliné, nous aurons la proportion

mB : mD :: g : g'.

Or, nous avons vu, art. a46, que le rapport de roB à mD était le même que celui de la longueur du plan incliné à la hauteur. Ainsi, en appelant h la hauteur du plan incliné, et h' sa longueur, nous aurons encore

d’où l’on tirera

322. Cette équation nous fait voir que la vitesse g1 n’est autre chose que la vitesse g qui anime le mobile lorsqu’il est.

libre, multipliée par le rapport constant Concluons que le

mobile est entraîné le long du plan incliné par une force accélératrice g1 qui ne diffère de celle de la pesanteur que par l’intensité. Donc, si nous appelons t' le temps 'que le mobile emploiera à descendre de m en A le long du plan incliné, comme l’espace parcouru sera h', il y aura entre g', h' et t* la même relation que nous avions entre g, h et t dans la théorie du mouvement uniformément accéléré; par conséquent nous aurons

A' = !gV... (« 80),

et {a vitesse v' qui animera le mobile au point A qui correspond à t', sera

en éliminant le temps, nous trouverons

Substituant* dans cette équation la valeur g' (équation 179), nous trouverons, en réduisant,

v' ~ 9gh.

L’expression de cette vitesse étant indépendante de- l’angle mAE que fait le plan incliné avec l’horizon, il en résulte que Fig.iôj. si différens mobiles partis du point m (fig. i5-j), glissent sur les plans inclinés mh , mA', mA", etc. , ils auront la même vitesse lorsqu’ils seront parvenus aux points A, A', A", etc., situés sur le plan horizontal.

• 3a3. Observons que, quoique les vitesses d’un mobile soient

égales aux points A et E, il n’en est pas de même des temps; car soient t et r' les temps qu’il emploie à parcourir les droites mE et mA, ces temps sont donnés par les équations

or, on a