DU MOUVEMENT SUE UN PLAN INCLINÉ

on déduit de ces inégalités celle-ci ,

ce qui nous apprend que la valeur de r' surpasse celle de t.

324. Le mouvement d’un corps sur le plan incliné, nous offre encore cette propriété remarquable du cercle : c’est qu’un mobile demeure autant de temps à glisser le long d’une corde AC (fig. i58) qu’à parcourir le diamètre vertical AB. En effet, Fig. i58. l’éqüation (180) nous donne ,

ou

par conséquent

A'* = hd.

Substituant cette valeur dans l’équation (181), nous trouverons, en réduisant,

Or, si nous appelons d le diamètre AB du demi-cercle ACB , la corde AC étant moyenne proportionnelle entre ce diamètre AB et le segment AD , nous aurons ,

or, c’est précisément la valeur qu’on trouverait pour t, au moment où le corps tombant du point À, arriverait en B; car la hauteur AB étant exprimée par d, il suffirait de changer e en d dans l’équation e=\gC pour que cette équation donnât la valeur du temps t de la chute.

Du Mouvement curviligne en général; équations de la trajectoire que décrit un point matériel libre , et détermination de la vitesse ; du cas où le mobile est soumis à une force d'attraction dirigée vêts un point fixe; du principe des aires; et du cas où les forces étant dirigées vers des cen- 1 très fixes, sont des fonctions des distances du centre d’attraction du mpbile aux centres fixes.

325. Jusqu’à présent nous avons supposé que le mouvement s’effectuait en ligne droite; mais s’il était curviligne, il ne suffirait pas de pouvoir dire qu’au bout d’un temps donné , le mobile serait susceptible d’avoir parcouru tel espace, ou d’étre animé de telle vitesse ; il faudrait, pour connaître entièrement* son mouvement, que l’on fût en état d’assigner la courbe suivant laquelle il a dû se mouvoir, et de savoir en quel point de cette cqurbe il est au bout du temps donné.

326. Pour résoudre ce problème, nous avons d’abord besoin d’employer un nouveau principe; c’est celui du parallélogramme des vitesses que nous allons démontrer. Voici en quoi il consiste : Si, dans l’unité de temps, deux forces P et

fig.159. q (fig. ,5g) communiquent à un point matériel m des vitesses /nB et mC, la résultante R de P et de Q lui communiquera, dans la même unité de temps, une vitesse mD qui sera la diagonale du parallélogramme construit sur les vitesses

un MOUVEMENT curviligne en général. 189

mB et raC. En effet, comme il est permis de représenter toute force donnée par une partie quelconque de sa direction, la force Q pourra être représentée par mÇ; alors la force P le sera par /«B ; car les vitesses sont proportionnelles aux forces. Or, en considérant mBDC comme le parallélogramme des forces P et Q, la diagonale mD de ce parallélogramme représentera en intensité la résultante R de P et de Q. Il s’agit dofic de déterminer la vitesse que R est capable de communiquer au mobile, et de prouver que cette vitesse est égale à la résultante du parallélogramme dont les côtés seraient les vitesses produites par les forces P et Q. Pour cet effet , soit x la vitesse que R est en état de communiquer au point m ; les vitesses étant proportionnelles aux forces, nous aurons

p : r : : mB : x.

Mais le parallélogramme des forces nous donne 1,

P : R ; I mB : mD ; - .

on tire de ces proportions ,

donc

mB : mD mB : x;

x = mD :

par conséquent on peut regarder la diagonale du parallélogramme construit sur les vitesses, comme égale à la vitesse que R peut communiquer au mobile.

327. Le parallélépipède des vitesses est Hne conséquence immédiate du parallélogramme des vitesses; car soient (fig. 160) Fi(j. 1G0. P, Q et R trois forces qui communiqilent les vitesses mp , mq et mr à un point, matériel m ; composons lés vitesses mp et mq en une seule mp'-; il résulte de l’article précédent que cette vitesse sera la même que celle qui serait communiquée à m par la résultante P' des forces P et Q; de même la résultante ms des vitesses mpf et mr représentera en intensité la

vitesse imprimée par S, résultante des deux forces P' et R, ou des trois forces P, Q et R; donc la diagonale ms du parallélépipède des vitesses sera la vitesse communiquée à m par la résultante des forces P, Q et R.

328. Considérons maintenant de quelle manière un point matériel , animé d’une vitesse variable , peut décrire une courbe. Pour cela, supposons d’abord que le point matériel Fie. m (fig. 161 ) étant en repos, cède à une impulsion instantanée qui lui fasse décrire la droite mK. dans le temps 0, et qu’au bout de ce temps il reçoive une seconde impulsion capable de lui faire décrire dans un second temps 0 la droite AB , le mobile n’obéira pas uniquement à la force qui l’entraîne dans cette direction AB, parce qu’en vertu de la loi d’inertie, il doit durant 0 parcourir AC=Am ; mais il suivra la diagonale AD du parallélogramme ABCD. S’il reçoit en D une nouvelle impulsion capable de lui faire parcourir l’espace DG dans un troisième temps 0 , il décrira de même la diagonale DF du •parallélogramme construit sur DG et sur le prolongement DE de AD , et ainsi de suite ; de sorte qu’au bout d’un temps composé de n fois 0 , le mobile aura décrit un polygone d’un nombre n de côtés.

D’après ce qui précède, la vitesse étant la même tant que le mobile est sur le même côté, il suit de là que si, lorsqu’il est arrivé à l’extrémité du dernier côté , il ne reçoit pas une nouvelle impulsion, il s’échappera suivant la direction de ce côté.

Si l’on suppose que le temps 0 soit infiniment petit , les impulsions se succéderont immédiatement, et le polygone se changera en courbe; alors si la force accélératrice cesse d’agir , le point matériel s’échappera suivant la tangente à la courbe.

Dans la même hypothèse de 0 infiniment petit, G se change en dt en même temps qhe le côté du polygone devient l’élé—

DU MOUVEMENT CURVILIGNE. igf

ment de 1* courbe; par conséquent, pour avoir la vitesse qui (art. 2g3) est l’espace parcouru dans l’unité de temps, suivant la tangente^ dans l’hypothèse où la force accélératrice cesserait tout à coup d’agir, il faudra répéter ds autant de fois que dt est contenu dans l’unité de temps; c’est-à-dire multiplier ds par

~ , ce qui donnera pour l’expression de la vitesse

ds >

V ~dt'

32g. Revenons au mobile qui , par des accroissemens de vitesse aux points m' , m", rnm , etc. (fig. 162), parcourt lé Fig. rGa. polygone etc. Soient v, v', v" , •>*, etc., les vitesses

qu’il reçoit aux points m , m', m", rnm, etc., et 0, 0', 0", 0m, etc., les temps qu’il emploiera à parcourir' les côtés mm', m'm" , m"mJ", etc. Comme , par hypothèse , la vitesse est constante tant que le mobile ne change pas de côté, nous aurons, par la nature du mouvement uniforme,

mm' = vO , m'm" /fi', rn"rnm — v"Q” ;

par conséquent le contour du polygone mm! m" , etc. , sert exprimé par

uO + v'ù' + v"Q" -[- etc.

Si l’on projette les eptéS de ce polygone sur les axes coordonnés , et qu’on nomrtie * , G , y ; a! , S' , y' ; m" , Q" , y" , etc., les angles formés jjar le* vitesses v, v' , v" , etc., avec les axes coordonnés, ces vitesses auront pour projections {note neuvième ),

■ v eos « , / cos *' , v" cos a." , etc. , sur l’axe des x,

v cos C, v' cos C , v" cos C"“, etc. ; sur l’axe des y, v cos y, v' cos y' , ’ v" cos y" , etc. , sur l’axe des s.

Par conséquent la projection nnn"n“’ , etc., du polygone mm'm!'m!" , etc. , sur l’axe des x , sera exprimé par

v cos etO -f- v' cos»'ô' -f- v" cosm'6" -h- etc ... (182).

On voit donc qu’en même temps que le point m parcourt le polygone mm' m" tri" , etc. , sa projection n parcourt nécessairement l’espace nn'n"n’" , etc. Or, si cette projection était seulement sollicitée par une force X dirigée suivant l’axe desx, et qui fût telle que le point n décrivît dans les temps 0, G', G", etc., les droites nri , ri ri', ri'ri", etc., avec les vitesses v cos « , v' cos«', v" cos a" , etc., le chemin que cette projection parcourrait sur l’axe des x serait représenté par

ecosae+/cos«'0,4V,cos*"ô"-{-etc. . . (i83).

L’identité de l’expression (182) à cette dernière nous apprend quelorsque'le point m est transporté dans l’espace, sa projection se meut sur Taxe des x connue si les deux autres composantes de la vitesse n’existaient pas; car dans le calcul qui nous a conduit à l’expression (t 83), nous n’avons fait entier en considération rien de ce qui est relatif à ces deux composantes.

Ce que nous disons de l’axe des x pouvant s’appliquer aux deux autres, et le polygone se changeant en courbe lorsque le nombre de ses côtés est infini , concluons que lorsqu’un point matériel, sollicité par une force accélératrice, décrit une courbe dans l’espace, une de ses projections se meut comme si les deux autres n’existaient pas. Ainsi en nommant X, Y, Z les composantes de la force accélératrice ç , suivant les axes des coordonnées, nous pouvons regarder X, Y, Z comme des forces accélératrices qui imprimeraient aux projections du mobile des mouvemens indépendans de l’ensemble des deux autres.

33o Pour déterminer les expressions analytiques de ces forces accélératrices , il faut remarquer que lorsque le point matériel parcourt 1 espace ds , ses projections décrivent les espaces dx , dy , dz; par., conséquent les vitesses des projections suivant les axes coordonnes seront respectivement dx dy dz

dt’~dt’7ti Ct comme ces forces accélératrices sont les coef-