DU MOUVEMENT CURVILIGNE. IC

iiciens différentiels des vitesses , pris par rapport au temps , on

aura

i Oz

dô

Telles sont les équations qui serviront à déterminer le mouvement en ligne courbe d’un point matériel, ou celui d’un mobile, puisqu’on peut regarder la masse du mobile comme concentrée à son centre de gravité.

33 1 . Lorsque les fonctions X , Y , Z seront données par la

nature jju problème, si l’on peut obtenir les intégrales des équations (184), ces intégrales ne devant Contenir d’autres variables que a:, jr, z et t, on aura trois équations qui, pjy l’élimination de t, en donneront deux autres entre les variables x, y, z; ces équations seront celles delà trajectoire, ou courbe engendrée par lès forcés accélératrices.

Si .toutes les forces sont dans un plan qu’on prendra pour celui des x, y, la variable z n’existera pas, et il suffira -d’employer les équations

Lorsque, par la nature du problème, on aura déterminé Xet Y, si l’on peut obtenir les intégrales de ces équations , elles ne pourront contenir d’autres variables que x, y et /; alors en éliminant le temps, on trouvera une équation que nous représenteront par

y = fx: .

cette équation ne renfermant que deux variables, la trajectoire sera une courbe plane. •

Élém. de Mécanique. 1 3

; iq/J. ' DYNAMIQUE.

■ '332. Nous avons vu que la vitesse du mobile était donnée • par l’équation

V — Jt[

or , l’élément ds d’un arc de courbe dans l’espace pouvant être considéré cômme une droite infiniment petite qui aurait dx, dy et dz pour projections sur les axes coordonnés, cette droite aura pour expression (art. 46)

i " \/ dx* -\-dy'-\- dz1:

Substituant cette valeur dans l’équation précédente, on a

• • v =3 -j- 1/ dx 1 -J- dy1 -f- dz ' , *

ut — ’

ou plutôt', en remarquant que toutes les différençièlles se prennent par rapport au temps,

V dp ^ dp

A l’égard des angles que la vitesse fgit'avec les axes, soient

* , C; y' ces angles, ils seront déterminés par les équations

v cos* = -T-, dt

> cos C

dt’

v cos y = — .

\aP ’ /

333. Il existe une méthode plus élégante poiir déterminer la vitesse. En effet, si l’on multiplie les équations (1 84), la première par idx, la seconde par idy, et la troisième par idz, et qu’on ajoute les résultats, on obtiendra

ïdz . d'z idy . d'y -|- idx . d'xc

r= 2 (• Zdz + Y dy + Xdx) ;

DU MOUVEMENT OUEVlLICffE. Ig5

observant que le premier membre dé cette équation b’est autre chose que la différentielle de dzi -f- dy* -f- djf1 -, divisée par de, on aura • •

yyfr)=i|a,+w+M)i

remplaçant dz> -f- dy 1 -f~ dx* par ds', et* regardant dt comme

constant , on trouvera en intégrant ,

-JZ = a/;Zrfs+ Y<//-f-X<ir)-t-C, •

fis

ou , en mettant la valeur v de — ,

J? = 2/(Zrfs-f-Y^H-X4r)+C... (186). .

334. L’expression de la vitesse dépend donc de l’intégration de la formule

f(Zdz + Y dy + XrfxJ. . ..<187).

Lorsque cette intégration est possible, en l’effectuant , on parviendra à mettre l’équation ( 1 86) sous la formé

v* = aF (x,y,z) -f-C. . . (188).

Pour déterminer la constante, il faudra connaîtra la vitesse du mobile^ à l’un des points de la trajectoire. Ainsi, lorsqu’on sait que V est la vitesse qui correspond aux coordonnées x — a , y — b, z — c, on a

Vj = 2F(«, 6,.c)+C.

Tirant de cette équation la valeur de C et la substituant dans l'équation ( 188) , on obtiendra

V* — V» = 2F (•*,>, *) — aF(/», b , c).

335. On peut parvenir à 'intégrer la formule ( 189) dans le cas où le mobile est sopmis à. une force «^attraction dirigée vers un point fixe. Pour le démontrer, les forces qùi agissent sur le mo-

lyü “ , UTNAMKiüE.

bile se réduisant, dans ce cas, a «ne résultante unique R qui passeqjar. le centre fixe, -et qui, agissant suivant CM, pourra être représentée jaar une partie quelconque CD de cette ligne Fig. i63. (fig. i63); prenons ce centre pour origine , et nommons A sa distance au point M, et *, C, y les angles que CM=A fait avec les axes coordonnés, la résultante R formant les mêmes angles, nous aurons

X — R cos a, Y = R cos£, Z = R cosy,

et par cofcséqueiH,

X cos« Y cos£ Z cos y . „ .

Y ,cos 6 ’ Z cos y ' -X cos a. ‘ ’ ' ' • '

Or, si «pus appelons x’, y, z les coordonnées du point M où

le mobile est situé, nous aurons

x — Acos* , y — A cos?, z = A cos y.

On tire de ces équations les proportions

’x ".'y ; z ; t cos * î cos » ; cosy; d’où l’on déduit

cos • x cos ? y cos. y

cas ? y* cos y ■ z * cos «

substituant ces valeurs dans les équations (189), on aura

yX—x Y=o, z Y — yZ = o , xZ— zX=o.

Si dans ces équations on met pour X, Y, Z leurs valeurs données parles équations (1 84), on trouvera

xtL

, dt'

dlr

~^ydT>''

" ~dp