DU MOUVEMENT CURVILIGNE. ' IÇ)Ç
Multipliant par dt la première de ces équations, intégrant par parties et réduisant, on trouvera ■, .
ydx — xdy
dt
Opérant de la meme manière pour les autres équations multipliées par dt, on obtiendra ces résultats
ydx — xdy =c: Cdt , zdy — - y d»zx} Cfdt, xdz — zdx— Cl' dt.
Multipliant chacune de cë? «piations par la variable qu’elle ne renferme pas , èt les ajoutant , il viendra •
jo = {Cz-\*Cfx. .y •.
ou plutôt »
Celte équation étant celle d’un plan qui passe par l’origine , c’est-à-dife par te centre d’attraction , on voit mie le mobile se mçut dans une courbe plane. C’est pourquoi , si. l’on résout de nouveau leproblèihe en plaçant la trajectoire dam le plan des
x , y , nous ne ferons pas usage de l’équation Z — > ni des
quantités Z et z .qui sont milles ; nous aurons seulement à intégrer l’équation ( it)o) que nous écrirons aihsi '
ydx — xdy — Cdt, .
et l’on en déduira .
/ (ydx — xdy) = Ct '+ C > . . (191). -
Pour déterminer cette intégrale , nous remarquerons que ydx ctant-foléinniu d’une surface comité, ijOuj pourrons supposer que cette surface est ^comprise entre Jes 'abrtsses x — o et x — CP (lig. 164); alors l'expression f ydx sera représentée Fic -iOf par LCPM. Si nous retranchons de cette surfeçe le triangle
CPM, il nous restera • • . ; ,
sècteur LCM x=aire LCPM - — triahgle CPM ,
secteur, LCM = f ydx -- — — ; •'
difïérentjant et réduisant , 6n trouvera*
d; secteur LCM îfzi ■
infégrant de nouveau et faisant disparaître le divisieur 2, onaura
U secteursLÇM =c f (ydx — xdy ) ; . •
par conséquent l’éqtfation (191) fevient à celle-ci ,
■2 secteurs LCM = Cr. . . (192).
Nous supprimons la constante C-, parce que nous pouvons supposer que le temps commence lorsque le mobile est en L, cas oùle sgctetir ^ nul. * . * • , "
Faisons C c=> 24, l’équation {194} deviendra .• * .
• • . secteur LCM = A/;
ce qui nous apprend que lorsque le mobile , sollicité par une force qui l’attire vers un centre C , décrit la çourbè MW , la surface du secteur LCM est proportionnelle au temps que le mobile emploie à parcourir la coui*bc. Cette propriété est connue sous le nom-de principe des aires.
336. La formule ( 187) est toujours intégrable lorsque les forces étant dirigées vers des centres fîtes, sont des' fonctions des distance» du centre d’attraction du mobilç li ces centres.
Fig. i65. Pour le démontrer,, soit M(fig. t65) le centre dlattraction ' > d’un mobile (foi serait attiré par des forces P, P', P", etc., vers les centres fixes C , C' , C" , etc. ; nommons
Dr MOUVEJtEHT CURVILIGNE. «99
x , y j z les coordonnées du point M ,
«, b, c les coordonnées du centre C, a', b', J les coordonnées dn centre C', a" , bw, c" les coordonnées du centre C", , •
etcv etc. *
p,p',p" , etc. , les distances CM , C'M , etc;’, a, G, y les angles formés par/z avec les axes çoordonnés, G', y' les angles formés par p' avec les axes coordonnés,' y" 'es angles formés par p" avec les axes coordonnés, etc. etc. ( * ' fc.
La résultante de toutes les forces attractives aura pour compo-
santés, suivant les âxes coordorines,.
i = P cos a. -f- P' cos a' -f- P" cos *" -1-etc. , \
■ = P cosff+P' cos S' +P" cosr+etc., j • . C*9^)*’
' —P pn«w— l-P' rrwv,4.P,/ COSv*’ — t-fetc.
La projection de la droite CÇf sur Taxe des x étant représentée dans la figure ï65 par BD , nous avons „ Fie- i65.
BJ) = AB— AD;
et en observant que AB et AD ne sont autre chose que les coordonnées*, et a des points M et C sur l’axe des x, et qu,e BD étant la projection de MC sur ce même axe’, a pour expression analytique p cos a; qn trouvera,, en substituant ces valeurs dans l’équation précédente, *
p œs*=zx — «;
ce que nous disons de la projection de MC sur l’un des axes pouvant s’appliquer aux autres, flous aurons, pour déterminer les angles a, G, y, les équations
p cos <t—r — a, pca$Gz=y—b, /zcosy = * c.
De même les angles C', y', etc., « > *•> v » *tc » seront
200 dyhamiqujb.
donnés par les équations
P'™?=y—b', p’c<HV' = z—c', p cosec *~x—a!'t p" cos Z" =y — b" , p"cMV"= z—c"
étc # etc- . etc. '
deli3^tent’ CD éU“inant ^ aDgleS’ 165 Ôquatiotis (*93)
• . - P. • . “ * p' - +etc-,
+p. <r=p.+T -U^jn+M.
*’ jp
Substituant cés valeurs dans la formule (;87)4 ou obtiendra f (Xdx -\-Ydy -\^Ldz ) . ' '
+fr(^y^ ) -Htt. . . (>9«).
Or, les distances du point M ^ux' centres Cf G', C", etc., étant données par lies équation?
' (*—a7-i-(y—b'Y-i- (2 c')>==p'>, etc. ,
nous trouverons, uprèsbvoir diflérehtié,.
' • rfx+ ~^-.dz~ dp, ,
~J7~ <& + ___ dr + —-r.dz=dp' , etc.
Substituant ces valeurs dans 1 équation (194), nous obtieu-
DD MOCVEMEHT CURVILIGNE.
drons •
/( Xdx+Ydy+Zdz )=f(rVdp+V'dp'-\-P,'dp"+etc.). ..(195);
et comme, par hypothèse , P, P', P"; etc., sont des fonctions de p , de p', de p" , etc., l'expression X>dp -f, V'dp' -f-eto. , ne contiendra qu’une variaijlç dans chacun de ses termes, et son intégration sera ramenée aux quadratures. „
Qbservons que les facteurs dp , dp' ye te., pourraient être négatifs si quelques-unes des expressions x — a, y—b, z — c; x' — aiï' — b, etc., devenaient» — ôr, b — y, c — z; a — xf , b— y', etc.
337. Pour donner une application de èe théorème, cherchons à ^éteriniper la vitesse dans le mouvement d’un corps qui serait attiré vers tin seul centre fixe par uqe force P qui agirait en raison inverse du carré de la distance du centre d’attraction du mobile au point fixe. Plaçons l’axe des s sur la direction de cette force; et, pqur qu’elle augmente en même temps que z, -disposons les axes coordonnés comme dans la figure 166, nods aurons 4» * Fig. 166.
p— AC — — »; donc dp~-r-<lz.
Nomrhor» g l’effet déjà' forceP à la distance r du point C, et P son effet à la distance p , nous aurons la proportion
d’où nous tirerons
la valeur de dp étan^ négative, P dp devra être remplacé par — — dp-, intégrant, nous réduirons l’équation (195) à
fiXdx±YHy+Y.dzj-
Diqiti2
Jby Gc
ogle
Substituant cette valeur dans la .formule (186), nous obtiendrons • . • •
r’=iC+2 y . .. ('9e)- *
Poür déterminer la constante, nous Supposerons que le mobile
M commence à se mouvoir en un point dont la distance /> au centre C soit a : alors la vitesse sera nulle eh cè points et nous
aurons ■
par conséquent l'équation (196) deviendra ■ .. , •
Si l’on prend a pour unité de distance, la valeur de p* ne différera pas de celle que nous avons déterminée , art. 3i5.
338. -Pour première application des formules (t 84), cherchons la trajectoire d’un point matériel qui se meut dans l’espace en vertu d’une impulsion unique. Dans.ce cas , les forces accélératrices Sont nullcs;-ainsi nous avons •
■î^Wy/
X=o, Y=t », Zc=o,
et les équations (18^) se réduisent à
dp—0’ dp —°’ lip ~ OÎ multipliant par dt, elles deviennent
~di
d, dt
Læs intégrales de ces équations seront
dz dy dx
ml *tu>n tr >
VW t ,,
dt
MOÜV. d'un point matébiee ses une coubbe donnée. ao3 Substituant ces valeurs dans l'équation ( i85) , nous trou-
verons
* v — <z* + è’ -f- c” = constante;
donc en appelant A cette constante,
' dt^ A"’ , ' .’ • *
et conséquent, -V \ ** " •; ’•
d’où il suit que le mouvement est uniforme. '
Ce mouvement s’effectue en ligne droite ; car les équations (197) multipliées par dt étant intégrées, donnent
z = et -f- c', y ~ bf-\- b', x = at + a! ;
éliminant t, on trouve
bz . b'c — bc'
az . a c — ac
On reconnaît dans ces équations celles d’une ligne droite dans l’espace. . ‘ - * *
Du mouvement d’un point matériel assUjêti w se
‘ mouvoir sur une courbe donnée. ‘ v
33g. Lorsqu’un point matériel m (fig. 167) sans pesanteur Fig. 167. est assujéti à se mouVoir sur uneeourbe en vertu d'une force
d’impulsion K, .si l’on décompose JK. en deux forces, l’une /nN = K', normale à la courbe, etl’autre /wT = K.", tangente à la courbe , la force, normale sergt détruite jiar la résistance de crtte courbe,-, et la ‘force dirigée suivant la tangente aura seule son effet. ’ v *
En coitsi derapt la courbe comme un polygone mm'm" mw , etc. (fig. 16Ô) d'un nombre infini de côtés, l'angle tm'mu Fig. 168. formé par le prolongement du côté mm'' avec le côté sui -
. nTWAMIQÜF.
vant m'm", est appelé X angle de contingence ; nous le représenterons par et : le plan tpi'm" est le plan oscillateur au point tri-, ce plan, dans les courbes planes, est eelui de la courbe.
Le mobile m, sollicité pat la force K, reçoit une vitesse primitive v qui lui fera décrire le côte mm' ; mais lorsqu’il sera arrivé en m', il se détournera pour parcourir m'm". Dans ce passage j il perdra une vitesse qtie nous allons évaluer.
Pour cet effet, représentons la vitesse v par la droite m'q. Si nous décomposons m'q en deux vitesses, l’une ni' n dirigée suivant le côté m'm" , et l’autre m'I perpendiculaire à ce côté,
nous aurons ’ .
m' l =; m'q sin tm'm", m’n = m'q cos tm'm" , ou ' '
m' l z=i v sin et , m'n—v cos au
La composante « sin et étant détruite par la résistance du polygone, la vitesse i> sera réduite à r.cos a; par conséquent la vitesse perdue qui est égale îi la Vitesse primitive moins la vitesse actuelle , sera exprimée par e — e u cos»; ou, ce qui est la même chose, par t> ( i — cos ai).
Quand au lieu d’un polygone on a une courbe, l’angle tm'm" devient infiniment petit. Dans ce cas, la vitesse c(i — cos et) est un infiniment petit du second ordre. -
Pour s’en convaincre , il suffit de remarquer que i — cos a FiC- 169. représentant le sinus verse DB (fig. 1C9) de l’angle et mesure par l’arc CB, nous avons
AD : CD :: CD : db. •
Or, quand un arc CB est infiniment petit, il en est de même de CD; et puisque CD est infiniment petit à l’égard -de ADj.il faut, en vertu de la proportion précédente, que DB soit aussi infiniment petit à l’égard de. ÇD, c’est-à-dire Soit un infiniment petit du second ordre. Ainsi la vitesse qui est perdue
MOUV . Il’ UN POINT MATÉRIEL SUR UNE COURBE IIONNÉE. 205
par chaque côt£. infiniment petit du polygone, étant un infiniment petit d’un ordre inférieur, doit être négligée devant la vitesse v cos « qui est un infiniment petit du premier ordre. D’où l’on peut conclure que le mobile qui parcourt la courbe conserve toujours toute la vitesse qui lui a été imprimée lorsqu’il s’est mis en mouvement.
34o. Quant à la force e&in* qui presse la courbe et qui est. détruite par sa résistance, cette foi-ce varie à chaque élément, puisque sin a change continuellement; par conséquent on peut la considérer" comme une foree accélératrice qui agirait sur ïe mobile.
Si, outre cette force, il y avait plusieurs forces accélératrices appliquées au point ni , en les décomposant de la mcine manière, on devrait ajouter à c sin « toutes IeS composantes normales dé ces forces accélératrices. .
34 1 . Imaginons au 1101111 ni ( fig. 1 67 ) une force normale N, directement opposée* et égale à la résultante de toutes ces forces;, la résistance que la courbe leur oppose sera mesurée par N. Nommons et, G, ys les angles que cette force accélératrice normale fait avec les trois axes; les composantes de N suivant ces axes, seront respectivement
N cos et , N cos G , N cos y,
et devront s’ajouter aux forces accélératrices X , Y , Z dans les équations (184) du nrnuvement; de -sorte que nous aurons
WF = X + Ncos*
• -7— = Z -1- N cos y
dt' „
A ces équations nous en réunirons 8eux autres qui résultent
Fig. 167.
ao6 dynamique.
des relations nécessaires qui existent entre les angles « , G- et y ; la. première de ce^ équations est
r cos1 u -J- cos1? -f- cos*y — i . t . (tgg).
A l’égard de la seconde, nous observerons qtte lorsque deux droites qui sont à angles droits dans l’espace forment avec les axes coordonnés des angles et, G, y et G', -/, on a, d’après les principes de la Géométrie analytique, ,i
cos «e cos a! -f. cos G côs G' -|- coS y cos yf î:o (*y
Dans le cas présent , cette équation, subsiste entre Ja tangentë et la normale; car a, G, y étant les angles formés par la Normale N avec les axes coordonnés , cette normale est perpendiculaire à la tangénte en m „ qui fait avec, les axes coordonnés des angles que nous pourrons représenter par a', G', y' ; ces angles a', G', y' étant aussi ceux que l’élémedt dé la courbe formé avec les axes » on a ' * ,
co? *' = ^ cos co*v' = xï .
ds’
di‘
ds'
substituânt ces valeurs dans l’équation précédente, il viendra
dx dy dz
. cos « -f- — . cos ?-f- — . cos y —o.-.. (200).
ds
ds
ds
342., Pour déterminer la vitesse , on multipliera les équations (198) , là première par 2 d)x, la seconde par idf , et la troisième par iclz, et en le» ajoutant on obtiendrâ
= 2(Xrfr + Y dy + Z dz)
•+» 2 Jfrldje cos a. -f- dy cos G •+■ dz cos •/).
Le dernier terme de, bette équation doit .être supprimé à cause
(*) C’estl’équatfbn de l’a ri? 144, <pii a été démontrée art. 143.
MOUV. d’un POINT MATÉHin. SV» UNF. COURBE DONNÉE. 2O7
de la relation suivante,
dx dy „ dz
— cos a. -4- — cos p H — t cos y — o; ds ds ds
il nous restera
idx -£■ *+- 2^z^â = 2(X-dx + Yc/r -+- U>),
ou plutôt * • .. ,
'l[,7x' + dz'l = ?{Xdx + Yflÿtf. z dz).
ij, ,
Remplaçant la somme des carrés des différentielles des variables par ds? et intégrant, nous obtiendrons >
^ = 2fÇX.dx ■+■ Y dy + ’Ldz) C,
OU
0*^=2 J[\dx + Y dy + Z dz) -f- C . . . (20J ).
343. Appliquons ces formules au cas où les forces accélératrices sont nulles; on a alors
X = o, Y = o, Zt=o,
et par copsequent,
e’ ~i constante.
Ainsi, un corps sans pesanteur qin se mouvrait sur une courbe, conserverait toujours la même vitesse. C’est ce que nous avon# déjà pronvé dans l’hypothèse où le point qui est
mis en mouvement serait libre , art. S34 .
