Supposons maintenant que le^ mobile qui glisse sur la
courbe soit un corps pesant, nous aurons dans ce cas
2o8 DYNAMIQUE. i
et alors l’équation (201) se réduit à
v1 — 2/ gdz ç= 2.gz 4- C.
Si v devient V quand z est nul, nous aurons
VJ == c. . -
Substituant cet;te Valeur dans^’équation précédente , nous'obtiendrons ' .*
*»’ = igz -f- V1 ;
d’où nous tirerons
v = y igz 4- VJ. . . (202).
Cette équation donne la vitesse, indépendamment' des relations qui peuvent- exister entre- les coordonnées y, z; par conséquent cette vitesse à lieu quelle que soit la forme de la courbe. • • ■
L’équation que nous venons d’obtenir. pour déterminer la vitesse ne suffit pas lorsqu’on veut connaître le t^ps et l’espace ; car en y mettant la valeur de v, on a
ds
' dt ~ V
on tire de cette équation
dt =
ds
^2gZ.~b V^.
et en mettant la valeur de ds ( note de l’art 180), nous aurons
- ^ [/dx* -f- dy* -f- dz*
|/ igz "*f- V’ *
Or, pôur intégrer, il faut qu’au moyen des équations de Iâ courbe r on puisse réduit cette dernière ti n’avo^r que deux variables ; car supposons que les équations dé la courbe soient
f(x, t) ztz b, * q>(y, z)= o. . . (zo5).
MOtJV. D’Un POINT MATÉRIEL SUR UNE COURBE DONNÉE. 20Ç)
Si , à l’aide de ces équations et de la precedente, on parvient à éliminer deux des variables x, y, z, il ne s’agira plus que d’intégrer une équation entre dt et l’une des coordonnées du point matériel.
345. Par exemple, si la courbe, et ce mot est pris dans toute son acception , est ane' droite située dans l’espace, les équations (ao5) sont alors de la forme
on en tirera ..>£(►-«•. . '«
... .. .. ly ^bdiï * . s* a <
et en substituant ces valeurs dans la formtrle (*o4) , on ta convertira eh " ' -î -V45** 14 .'• 'V-
dt =? ^ — -i .
V ?.gz + .V»
Si le-corps part du repop, la vitesse initiale est nulle', et l’on a, en divisant par le radical du numérateur , w -* '■
dt
. dz
V a 1 ri-rij2 ri- t . Igz ’
intégrant, on trouvera
» ,* <* * O4 • V ar * / »• .#V ■ - '<*
346. Pour obtenir l’espace parcouru, nous remplacerons le radical supérieur de l'équation (204) par ds , et supprimant V qui est nul dans notre hypothèse , nous réduirons cette équation 4 , j . ' # -,ï»f V : '1. • * 4 .• v- .• ' '* ;^JV.
* / —, W‘ ; •' - -<fi i f “ » •' ’■ '"’<>■
lr*’ % *ry % • * ^ - **. -* v\y
éliminant z de cette équation à l’aide de l'équation (207),
Elém. de Mécanique, I ^
-IvniAMIQCT. ,
nous trouverons
ds — — JL^
ÿa'+b?+\
-+- Cg-d' ,
et en intégrant ,
* | /«* -fr- ô* + i
ce qui montre que ce mouvement est le même que celui d’un corps qui descendrait lé long d’un plan incliné , comme on devait s’y attendre.
347. Enfin, si Ton demandait quelles sont les valeufs de chacune des trois coordonnées x, y et, s, en fonction du temps, k dernière est déjà donnée par l’équation (307); et à l’aide de cette équation et des équations (306) , on déterminerait x et y en fonction de t.
348'- Lorsque , comme dans le cas présent , la courbe sur laquelle se meut le point matériel est plane, et renferme les forces accélératrices , en plaçant dans le plan de cette courbe les axes coordonnés. que nous supposerons être ceux des x et des y, la troisième des équations (198) cessera d’exister, les équations (199) et (300) se réduiront à
dx
cos* a -f- cos* C = i1, — cos <t -f- — cos £ 3= o ;
et au lieu des deux équations de la courbe , nous n’en aurons plus qu’une seule , qui sera dé la forme
349- La vitesse donnée par l’équation (303) étant déterminée sans qu’il soit besoin de faire usage des équations (ao5) , concluons que la vitesse ne dépend point de la forme de la courbe, mais de son ordonnée verticale. Par conséquent, si, à Fi* tjs. partir dtfpoint 0 (fig. 1 70) où z = o et v = V, oh mène divers
MOUV. d’un POINT MATttlEf. SU* I NK COURBE DONNÉE.' 211
arcs de pourbe OM , OM', OM" , etc., qui se terminent au plan horizontal KL j toutes les ordonnées z de ces points étant égales, il s’ensuit qu’en faisant partir dirpointO differens mobiles avec la meme vitesse V, ils auront acquis des vitesses égales lorsqu’ils seront arrivés aux points M , M', M", etc., situés sur le plan horizontal.
35o. En général, quel que soit le nombre des forces accéléritrices , lorsque l’équation est intégrable , on peut déterminer v sans qu’il soit nécessaire d’assigner la courbe. En effet, si, d’après la nature des forces accélératrices, on met dans l'équation (20 1) les valeurs de X, de Y et de Z, en fonction des coordonnées x, y, z, et que l’expression
* /(Xrfr.-f- Ydy + Zdz)
soit intégrable, nous pourrons la î-epréSenter par .
et alors l'équation- (20 1 ) deviendra
pI = */(*» r» *) 4-C.
Appelant f{a, b,c) ce que devient/ {sa, /, s) lorsque •> = o , on aura»
v"=lf(x, y,z) — zf(a, b,ç).
expression qui ne dépend que des coordonnées des points x,y, z et a, b, c. .
35 1. Nous avons vu que la force normale N dérivait des composantes des forces accélératrices , prises dans le sens de la normale à la courbe, et de la force normale produite par la vitesse. Pour évaluer cette dernière force, abaissôns lés perpendiculaires on , on' (fig. 1 7 1) sur léS milieux des côtés égaux Fig. 171. consécutifs mm', m' m" d’un polygone d’un très grand nombre de côtés, l’angle tm' m" formé pai l’un de cés côtés et le pro-
longement de l'autre , sera .celui que nous avons représenté par». Or, les angles n et n' du quadrilatère non' ni' étant droits, -on aura
non' -j- ntfi’n' — 2 angles droits == tm'm" -f- iim'n ' ;
donc
rfh'm" , ou a = won' — 2nomr
ha petitesse de l’angle nom1 qui est mesure par l’are qui lui correspond , permet de prendre le sinus k la place de l’arc , et
comme re sinus est exprime par —j- pu plutôt par — , puisque les droites m'o et no sont censees égalés, nous trouverons
no
mm
no
en passant du polygone à la courbe qui en est la limites le côte m'm deviendra l’élément de la courbe , et no son rayon de courbure; par conséquent f’ expression précédente se changera en .
ds
Nommons <p la force accélératrice qui d^ive des composantes normales de la vitesse : comme toute force accélératrice est représentée par l’elcment de la vitesse, divisé par celui du temps (art. 297), et que dans notre cas l'cléineut de la vitesse est v sin a , nous aurons
v sin ài *
*-~dT'
eut » parce que tout arc infiniment petit peut être substitué à son sinus , cette expression deviendra
dt'
MOUV. d’uN POINT MATK^fEL MjR LNE CIJUIBK DONNÉE, 1 I 3
remplaçant a par sa valeur que bous venons de trouver, nous
aurons
v ds * = ÿdl
ou
A l’égard de la pression normale qui résulte des autres forces, on la déterminera par ie parallélogramme des forces.
35a. Supposons, par exemple, que la courbe soit plane^ et
que les forces qui sont appliquées au mobile agissent dans le plan de la courbe, oW réduira tontes les forces à' une seule R dirigje dans ce plan ; et en nommant 6 l’angle que cette force fait avec la normale, on anra R cos 5 pour la composante de R suivant cette normale. Si' cette force agît contre la courbe,
elle sera en sens contraire de la force — qui presse le point
matériel sur la courbe, ou, ce qui est la même chose, qui tend à l’éloigner du centre; nous aurons dône , dans ce cas.
N = — — R cas 6.
Du mouvement d'un point matériel- astufili à .\e mouvoir. sur
une surface courbe.
353. Lorsqu'un point matériel qui •> ne peut se mouvoir que sur une surface courKe est soumis à lYction de plusieurs forces accélératrices, ces forces variables, et celles qui proviennent do la vitesse initiale, auront iine résultante qui devra être détruite parla résistance qu’ppposc ia surface; si nous désignons doue par N celte résistance, on pourra regarder le point matériel comme libre, pourvu que, dans -le* équations (i8q), on fasse entrer les composantes de N. Pour cela , nommons «, C, y les angles que' cette force fait avec les axes coordonnés, iés composâmes, suivant cerf axes, auront pour Expressions Neos», N cosC, et N cos y ; par conséquent les équations du mouvement dcinahdé seront
Ht*
^ =• X +F «os Ç . ) . . . (aog).
On connaîtra les angles et, C, yt, lorsque l’équation L = o de la surface courbe sera donnée; en effet, nous avons vu, art. 6rf, qu’on déduisait dfe cette éq dation (*),
■SCWWWW’
cos y :
dL
dor
dz
V(êy<fy+(èy
Pour simplifier, faisons, comme dans l’art. Ou,
Les équations precedentes deviendront
cos « v= y
dx‘
y dL dL
:V3r.\ C0SV = V57;
et comme le radical comporte le double signe, il ne faudra pas oublier qu’il en sera de même de V. Substituant ces valeurs ‘dans les équations
(*) Nous ^opprimons les accents qui affectaient x, x, **,. dans les équations dè Pirt. Ou, parce que nous sommes libres d’admettr^ue le point d’application de la forée N, au lieu d’être représenté par ^,x', le soit par x, x, z.
MOU v . d’un point «atkmkl su* ON* SURPAC* COU*»*. 21 5 (ao8), ou aura
d*x V dt» — ■
