Y + NV
Éliminant "N entre ce* équations, V disparaîtra en même temps , et l •» obtiendra deux équations qui, jointes à L =>o, détermineront le* coordonnées du mobile en fonction du temps.
354. Prenons pour exemple le mouvement d’un point matériel sur un# sphère; plaçons l'origine des coordonnées an centra, mettons le plan des dans une position horizontale , et enfla menons l’axe des s positifs dans la partie située au-dessous du plan des x, y, par catte disposition dé l’ale des t , les. ordonnées positives z auront le même signe que la pesanteur. Gela’ posé, l’équation de la sphère étant
*» +ï' + *' «a*.-, (aïo),
nous en dpduirons , par la différentiation ,
xdx + ydy -+• zdz == o. . . (ail); . .
par conséquent, nous aurons
dL dL dL , „ ‘ £
x’ dr~r’ <£ * °f ÿx*+y* -+■'*» *
D’un autre côté, la seuls forée accélératrice qui axiate ici étant g, noua avons • ,
' X = o, Y = o, Z=gi
ces valeurs réduisent les équation* (aog) à
dt' a
iV ... y i*z „ * . ,
=N-, — =#4r N -(un).
dt* *'dt*s a ' '
Pour éliminer N entre ces équhtions , il suffira des deux premières , et de moltiplièr l’une et l’aqtre par la variable qu’elle ne renferme pas ; opérant ainsi, prenant la différence des résultats, et supprimant un d«s facteurs de <&*, on trouvera
yd*x — xd*y
Il ■**
d (ydx ■— x4r) °U dt
intégrant, en traitant dt comme constant, on trptttara ydx — xt(y = Cdt . . . (ariy/
2l6 •> « . - DVWAMIQUK. è
Pour avoir une seconde équation,' parce que celle-ci contient trois variables, on multipliera chacune destrgis équations (ata) par la diflëren tielle de la variable qu’elle ijontient ,-et les ajoutant, on obtiendra
dxd'x -f- dyd'djr àzd'z \ - N
~ 5J7 — + ~(xd* -f- sdt) = o;
et comme la quantité qui est renfermée entre les parenthèses est nulle, en veftu, <je J’éqqation (an), 1c résultat que nous venons d’obtenir se réduit i ’’ -• ■
drd’-r'-f- dyd^ Y -4- tkd't lit»
MU» -A ^ f i à %
j»Ml(ipliapt par f et intègrent, on a
•• r ir».»4- dr» + de» - . - ...
< v - . : dt, ... ~ ' *s* + C'... (ai^
C'est entré cette- équation et les cijùations-(aio) et (ai3) qu’il faut éliminer deux des variables r,/etj pour que l’intégration eû s’effectuant puisse nous donner l’antre variable en fonction du temps ; mais avant que de procéder à cette élimination, on entrevoit déjà que Je résultat qu’oq obtiendra sera indépendant de la force normale N qui a disparu de ces équations. •
355. En considérant l’équation (ai4), il ést facile de voir que puisqu'elle ne contient dans son second membre d’autre variable que e , la sépapition des variables x, y, ’* s’effectuerait si l’on pouvait , à ]'aj£ des équations (210) et (ai3), déterminer la valeur- de dr* +4r» en fonction de podr la substituer dans le premier membre de l’équation (214). Or, l’équation (211) qui dérive de (210), et l’équation ;(at3) ^élevées au carré, nous donjpenj ' ,
*»dr» ■xrydiedy Hrytifr* =* e»da», ■: -, , .
■Jt’dr» — ixydxdy -p r»df» = C»dt* ;
et l’on voit que le terme en chrij disparaîtra alu résultat en ajoutant ou semble* équations. Effectuant donc cette opération, ont trouve
• ■; '' 4* ■*-(*•»,*-#•») dp» C» *»4.<s»«fs», : . .-
ou pKitOt " .
(■*’ -f- dr*) = Odi» -il ;><&•; i
mettant dans cette équation la valeur de je -f*» » tirée de l’pquat. (210) on obtient enfin ' . ,
MOIIV. ll’im POINT MATÉRIEL' SCR UNE SUBFACE COURBE. 2 I "] substituant" cette valeur dans l’équation (214), et suppriment les termes en **dx» qui se détruisent r il viendra
it — ..t (ai9).
V'!'*’ — r*) (2gs -f. C) — C*
L'intégrale de cette équation , qui ne pourra se déterminer que par approximation, donnera la valeur de 1 en fonction du temps.
356. Pour trouver les autres variables en fonction du temps, soit fl la valeur approximative de s, fournie par l'équation précédente ; on pourrait bien la substituer dans l'équation (214), et, en combinant ensuite cette nouvelle équation avec celle qui est désignée par (ai3), obtenir deux équations; l’une en x et en t, et l’autre en y et en 1 ; mais alors les variables x et t dans la première, et/ et t dans la seconde , ne seraient pas séparée». C’est à cause de cet inconvénient qu’on emploie cet autre moyen pour parvenir aux valeqrf de x et der en fonction de t.
Soient AG = x (fig. 17a ), DC =/, mD =z, les trois coordonnées p;g du point m de la spbèi* où ee trouve le mobile; si, pour une valeur de *, on donnait Paifgle CAD que faif la projection AD de la droite Am avec Paie des x, il serait facile dé déterminer x et y en z. En effet , nommons 6 l’angle CAT) , comme Am est égal au rayon a de la sphèrfe, nous arons évidemment AD=: I/o* — s» ; et le triangle ACD rectangle en C, nous donne ,
AC = AD cos CAD, CD = AC sin CAD,
xr= y'a* — j*. cos 6 , y ^/a* — x’.sinS... (216};
ces deux équations établissant une relation entre les variables x, y, t, tiennent la place de celle de la sphère , qu'on obtiendra eu ajoutant la somme de leurs carrée.- A la vérité , .nous «vous la nouvelle variable g ; mais aussi nous introduisons dans le calcul une équation de plus.
En diflèrefttiant les équations (216), nous trouverons
d* — — ain — *> — cos 6
dy — cos MS 1/ a* — .r* afh 9"
multipliant les équations (217) l’une par la seconde des équations (216), et l'autre par la première de ces équations , et prenaut la différence des résultats, on trouve
ydx — xdy — («* — a*) (sih’ 0 cos* 8) dfi , *
21 8 Dt MIMIQUE,
ou plutôt, parue que sin* 8 + cos» i équivaut à l’ unité, ïdx — xdf = (i»' — a>) dd.
Substituant eettu valeur dans l’équation (»ï3), on obtient (a* — a') dê = C dt ,
et par conséquent
Cdt
remplaçant dt par sa valeur, tirée de l’équation (ai5), on obtient enfin
aCdz
de = .
Cette équation , intégrée par approximation , fera connaître la valeur do 6 J on en déduira ensuite celles de cos 0 e( de sin 6, qui , étant substituées dans les éqtialioné (4i6), détermineront les valeurs de’jr et de y en
fonctions de a, et' par conséquent du temps dont s est une fonction.
357. L’équation (aijJ) détermine la vitesse indépendamment de la force normale K ; car la somme des carrés des différentielles étant égale ap carré de ds , cette équation nous donne *
, ’ ds*
~=ags+C',
V* = 3gt + C; •
et par conséquent
* v = V igz (!' .
Mais si Fon demalnde la valeur de cette force N, il faut recourir aux équations (a t») j on les multipliera respectivement par x, par y et par z , et en réunissant les produits , on obtiendra 1
xd'x + yd*r-\-zd*z N , . . . . , j,,
Or, la différentielle de l'équation (au), c’est-à-dire l équatiuu
d (xdx -1- ydx 4- zdz) = o , nous donne
xd'j -i-j’d’x -4- zd’z 4. dx.* 4 -djr* ■+■ ds*
dt*
ou
xd’y •J-j'd’x 4- zd's (dx* 4. 4r» 4- dz>)
dt* ^ dt *
ou , parce que le second membre est le carré de la vitesse ,
. MOUV. d’un POINT MVTtRI^. SUR UNE SURFACE COURBE. 3I()
. . .xthr-i -.rdy'-d-aP*.
dr
Substituant cette valeur dans .l'équation {ai8), et en vertu de l’équ. ato , remplaçant x*+jr* -+-*> par a», l'équation ai 8 deviendra
et par conséquent
— p» =gs ■+■ No,
N = -vL±H.
358. Ici nous trouvons N négatif, parce que des deuv valedls dont V était susceptible, ayant adopté arbitrairement la positive dans les équations (aog), cela est en Contradiction avec la supposition que la force nprmale N porte le même signe que les- z positifs. Pour lever cette difficulté, nous disposerons donc de la faculté que nous avons de choisir Je signe de V, èn lui donnant le signe négatif dans les éqnat. (aoÿ , ce qui nous conduira, à ce. résultat : ,
. Du moulinent cTun point matériel sur la Cycloide.
35g. Supposons qu’un point matériel M qui se meut sur la cycloide parte du repos ; la vitesse initiale de ce point étant alors nulle , nous ferons V = o dans l’équation (202) de l’article 344 > qui > étant élevée au carré , nous donnera
ou plutôt à
d’où l’on tirera
dsx
dt =
ds
i/ngt
Prenons, comme précédemment, l’originé des abscisses au point F, (fig. 173), et nommons u l’abscisse ED d’uii point pjg. quelconque M' , pour ne point confondre cette abscisse avec la variable x qui entre dans l’équation de la cycloide; et appe-
220 DYNAWHJUE.
Ions h l’abscisse EC du point M de départ, nous aurons CD = EC — ED,
ou
Substituant cette valeur dans l’équation précédente-, il. vien.dra
dt —
ds
y Hih—u)
Cette équation contenant trois variables, nous allons chercher à en éliminer une au moyen de l’équation de la cycîoïde. Pour cela, nommons 2 a le -diamètre BE du cerele géncrateur , et x, y les coordonnées AP, PM' d’«n point M' de la cycloïde : l’équation de cette courbe étant ( Élém . de Càlc. différentiel)
dx — . . (220),
