IE

dx ,

Mettant dans cette équation la valeur de — tirée de l’équation (220), on obtiendra

ds = dy

iay — /*’

réduisant au même dénominateur les quantités qui sont sous le radical, effaçant les termes qui se détruisent, et supprimant le facteur commun/, il restera

/ iû

MOUVKMKNT >US H -CÏCLOIDK.

Léxpression %a — ?y- qui entre dans cette formule, n’est chose que l’abscisse ED que nous avons appelée u ; par conséquent on a

ao — y — u, ày — — du.

' » ■ uyV I

Substituant ces valeurs dans l’équaâôn (xaj ) , on trouve

•.* * ds±t4-'4ùtf;—: r •"

. .■* f -;«V te? -V -

La valeur de <6 est négative parce que lorsque L'abscisse ED = u augmente, l’arc AM' diminue.

Mettant cette valeur de ds tjans l’équation (21g), on obtient

»va tt+i.a/f’.*

at = —

et

£ ÿ hu—u?

du.

• ■ •-•y y j-i/hit-zv

■ 4 4* Wfi IJÿV îf •»' •*.*< tïîfc ».,•*

36o. Pour déterminelr l’intcgrale qui entre dans cette valeur de t rappelons- nous qu’on a, en géheralf( Èlém, de Çqicui intégrai, art. 277) . • ; *... . ’ •

— 'a;:. — arc (sin verse a= x):

et'qu’eh faisant xzrr - , cette foVrriufe se réSuîlS “

■. ci v

w . * , sapa

■ : Jyss=»r ‘K*’**" ■» ^ - •

•if * *?r ,

par conséquent, en rapportant l’intégrale de l’équation (222) à cette formule, nous trouverons

.Jr • * .* ' * ■

f — — y -.arefsin verse s= — J -+- C. . . (224).

. «• eAtîiiw •••.» ' J * 4 . >

Pour déterminer- la

.observons que le

Fin. 174.

commençant lorsque le mobile est en H, nous avons atoit t = io et u = ËC = h -, cette hypothèse réduit l’équation (224) à

o =r — « /.".arc (sip verse = a)-J-C.

Or, l’arc dont le sinus verse est 2 étant la demi-circonférence décrite avec le rayon 1 , si nous représentons par x cette demicirconférence , l’équation précédente deviendra

Cette valeur étant mise dans l'équation (223), nous aurons t = ^ X (tt — arc sin verse =

Ce temps est celui qui a lieu lorsque le mobile étant parti du point M, est arrivé au point Mr dont l’abscisse est ED = k. Par conséquent, pour obtenir le temps que le mobile aura employé à parcourir l’arc ME , il faudra faire u — o , hypothèse qui réduira l’équation précédente à

On voit que cette expression est indépendante de la hauteur h qui est l’abscisse EC du point de départ M ; d’où l’on peut conclure qu’en quelque endroit que soit situé le point de départ M, ce mobile emploiera toujours le même temps pour arriver en E. Une courbe qui jouit de cette propriété est appelée courbe tnutochro’ne'.

Du Mouvement d’oscillation.

36 1 . Soit OBC (fig. 174) une courbe continue coupée aux points O et C par une droite horizontale; supposons que dans

MOrVEMF.HT SU» U f.YCl.OlDR. 27.3

cette courbe il n’y ait point d’angle qui puisse occasioner une perte de vitesse, et que la tangente BT à la plus grande ordonnée BP, soit horizontale et perpendiculaire à cette ordonnée ; alors la direction de BP sera verticâle, et le plan des r, y devra être horizontal , parce que nous employons' des! axes rectangulaires. Cela posé, cherchons l’expression de la vitesse d’un mobile qui , sollicité par la pesanteur, glisserait sur la courbe ; pour cet effet, nous observerons d'abord que si l’on regarde comme positives les ordonnées z qui se trouveront audessous du plan des x , y, la pesanteur g s’accroissant en même temps que ces ordonnées, devra être aussi considérée comme positive. Ainsi , faisant g positif dans les équations qui déterminent lemouvement du mobile, nous aurons

HF

dF~e' '

Pour déterminer la vitesse, opérant comme dans l'art. 333, nous multiplierons la première de ces équations par a dx , la seconde par ïdy, et la troisième par idz, et en les ajoutant, on trouvera • . .

idxd'.r -f- a djrtPy -f- a dzt&z " dt*

= 2 gdzi

intégrant, on aura

dx * -f- dy* -f- dz*

= Igz -1- G;

dt*

ou, en observait que la somme des carrés des différentielles des coordonnées est égale au carré de l’élément ds, l’équation précédente pourra se convertir en

ds* • ’

Mettant v à la placé de — , il viendra . ■ r r dt ' /

■>> = 2gz -f- C.

224 • PTHAMIQUK»,- . -•

Fig. 174. Soit V la vitesse initiale vpii a lieu au. point O, lorsque z — o , 1 équation précédente nous donnera -

par conséquent, 4^1 y substituant cette râleur de C, on obtiendra • , • - . o

«<> = V» 4- 2 gi J . V (2ü5). ' -

362. Les ordonnées croissant depuis O jusqu’en B, l’équation (22,5) nous montre qüe lawitesse v doit aller en s'accélérant lorsque le mobile parcourt l’arc OB , et qu’elle parvient en B à son maximum: Les ordonnées devant ensuite décroître, la^ vitesse diminuera à mesure que le- mobile parcourra l’arc BC. Dans cette diminution, elle passera par les mêmes degrés de vitesse qu’elle s’était augmentée; car, si par un point quelconque m on mène un plan horizontal qtfi coupe la courbe suivahtune droitè mm' , lès ordonnées mp et rrf p' seront égales ; par conséquent, en substituant leurs "valeurs dans l’équation (226), où verra que Tes vitesses du mobile atfx points m et m' seront égales. ' '

La vitesse du mofede diminuant d’autant plus que l’arc parcouru O m est moindre, on trouvera, sur le prolongement de cet arc, un point A où cette vitesse aura été nulle; par conséquent, le point A sera celui où le mobile est censé avoir reçu le mouvement. Si, par ce point, on mène une droite horizontale AA', la vitesse en A' sera donc également -nulle. Ainsi lé nipbile, dans son mouvemeht, s'arrêtera en cte pttini À.' où la vitesse est nulle. Alors l’action de la pesanteur le ramènera de A' en B ; et comme les ordonnées vont en croissant de Àf en B , il sera facile de conclure , au moyen de l’équation (225), que la vitesse ira aussi en croissant. Le mobile parvenu au point B, où il a le maximum de vitesse, continuera donc à se mouvoir en^ertu de cette vitesse, et remontera sur la branche BA jusqu'au point A, où Ja vitesse sera nulle. Mais l’action de

DU PF.ffDDU'- SIMI'i r. «^5

la pesanteur le faisant descendre , il parcourra encore l’arc

AB pour remonter jusqu’en A', et ainsi de suite; de sorte <jue le mobile fera un 110ml fre ipdefini d’oscillations.

11 est<évidèqVr]ue les vitesses successives, qu’acquiert Je uiobile lorsqu’il se meut sur l’arc AB, étant les mêmes «pic lorsqu'il se meut sur l'arc BA\ le mobile emploie le même temps , a parcourir ces arcs. Cf s oscillations faites en temps egattx sont appelées isochrones-, . ■ ' ' v » V-

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