IL
LP = 2^... (a5a).
Nommons 0 l’angle LCI, moitié de l’angle LCM,- et r lé rayon moyen LC, non? aurons '• t • ' ■<-
IL — r sin B, ~
et l'équation (a5a) deviendra , . - ■ - . ,
k | LP ^ ar sip’ 6 ; •
et en mettant la Valeur de l’angle 0 , . ~
, LPrsnrsin’ lS"-^... (253)
3<j3. Nous avons vu que la distance moyenne de la Lune à la Terre évaluée'en.rayons de l’équatçur-nv&it pour expression (art, 387) 60,24; et comme le rayon de la Terre b l’équateur (art. 38i) est de 037^j5g mètres, nous aurons -donc <•’ *
substituant celte valeur dans l’équation (2 53) nous trouverons * •
LP= 2 (60,24) (637785g) sîn» 16*-^.. .'>(254),
le sinus qui entre dans cotte formule appartient à un cercle qui a le rayon pour unité. Si l’on la proportion
veut que ce sinus soit celui des tables, on a
tin tabulaire ; dix milliards 1 J sin dont lé rayon es f l’unité î I ,
d’où l’on tire
sin 'dont le rayon est l'unité sin tabulaire
'1 — dix milliards’
introduisant cette quantité dans i’équation (254) no1*s obtiendrons
. p 2(60,24) (637785g) (sin tabulaire de 16" ,-fft)»
. — . ij- (re milliards )»
Pour exécuter les opérations indiquées dans cdtte formule, employai» les logarithmes, nous avons • ' .
MJ SYSTÈME DO MOSUE.
Joe M O,3oio3oü
log 6o,u4. : . . = t ,779885° log 637785g. . = G,Mfi7Î9
•log siq* |G",47 = 1 v ,8°45a8o
v v v ao,r»90ii79, *
retranchant do ce résultat le logarithme du carré do 10 milliard b qui est vingt, caractéristique, il restera >
1 og LP = o, 0901179, ^ 4 .
passant aux nombres on a ' , ■ • . -
LP=4m,899r,
Si J’on veut, que le logarithme de LP se rapporte à des pieds, il suflira d’y ajouter 0,48833 (*), et l’on aurh 1 ,178449a, logarithme qui répond à
LP = i5r*,o8t {**)■ j
3q4- L’expérience prouve donc que la Lune tombe vers la Terra en une minute de 4“, 899= 1 flr,o8t, valeurs très approchantes de celles que nous avertis trouvées art. 3go, équations(q5t), dons l’hypothèse où la loi de 1 attraction subsisterait. La différence n’est pas d’ùn dixième de pied, pour lodemps de la chute Oh une minute d’un corps éitilé à la distance de la Lune, et par conséquent elle est inscusiblepour la chute un uiio secoude- Si les deux résultats 11e sont pas absolument les mêmes, -dans toutes les décimales, 011 sent que cela ne provient que de certaines quantités dont nous u’avons pas tenu compte , mais y eût-ou égard, comme nous n opéroris que d’après des mesures qui , par la difficulté des opérations quo leur détermination exigeait, ne .sauraient être regardées comme étant
(*) Pour le démontrer soit M un nombre de mètres , et P sa valeur on pieds, le mètre valant3r*, 07844 {> on a *a proportion
1"*: 3ri,078i44 ;:M: P, >' . '
donfe
log P = log M logSr', 078444 * logM ■+■ o, 48833 1 3 ;
veut-on au. contraire convertir des pieds en mètres, cette équation rious donnant
log M = log P — o ,48833i3 ;
on voit qu’il faudrait retrancher 0,48833i3 du logarithme des pieds. * (**) Si l’ov eût employé 4c rayon do M. llorsche) (page a 38), on aurait trouvé 1 5f',o8o, valeur bien peu différente.
Fig
3 q 8 ' ; DYNAMIQUE. '
'Finie exactitude extrême, on sent qu'on ne peut espérer de parvenir à une identité parfaite entre les nombres qui expriment ia chute hypothétique et la chute réelle.
3g5. Co qui précédé suffit cependant pour nous faire entrevoir que la force de la gravité s’étend jusque sur le globe lunaire, et va en diminuant selon la raison inverse du carré de la distance. Cette loi a été ensuite confirmée par une foule de théories et de tables astronomiques qui renferment implicitement In loi de Newton , et n’ont jamais été démenties par l’observation. 11 n’est donc point do phénomène qui soit plus appuyé sur l’cxpérionce ; mais ee qui met l'hypothèse du philosophe anglais tout-à-fait on évidence, c’est qu'elle s’accorde entièrement avec les lois de Képler qui ont été si souvent vérifiées par l’expérience , et dont voici l’énoncé ;
. t°- Les planètes décrivent des ellipses dont Ir foyer est au centre d’at-
traction autour duquel s’opèrent leurs mouvement;
3°. Les aires des secteurs elliptiques des planètes sont proportionnelles du temps qu elles emploient à décrire les arcs -de ces secteurs ;
3®. Les carrés ■ des temps des révolutions des planètes sont proportionnels aux cubes de leurs distances au centre conmusn de leurs mouvement , c’està-dire au centre du Soleil autour duquel elles, circulent.
• 3j6. La première de ces lois, comme nous allons le démontrer, n’est qu'un cas particulier de celui de la.nalurc, qui exige que tout corps soumis 4 Uno force qui agit en raison inverse du carVé de la distance, se raenve dans uno section conique. ,
La seconde de ce6 lois a déjà été reconnue. (art. 335), et appartient en général à tout corps attiré vers un centre fixe, quelle que soit d'ailleurs la nature de la force motrice qu i le sollicite. Ainsi tout se réduit à prouver l’existence de la première et de la troisième loi de Képler.
3gq. Pour y parvenir, plaçons l’origine des coordonnées au centre . d’attraction, qui sera celui du Soleil pour notre système planétaire, >83. ot appelons R la force accélératrice qn’exerce cet astre sur Sahe planète, ot r le rayon vecteur de -son orbite. Ce rayon veclenr Am (fig. >83) faisant un angle roAP ~ y avec l’axe des x, scs composantes AP et Pm,
. suivant les axes coordonnés, auront pour expression Am cos y , Am sin y.
Or, dans le triangle rcetangle AmP, on a évidemment
AP x mP y
cosy = s,n^-=-i
ainsi , les composantes X et Y de la force accélératrice y , seront
DU SV SXJSME DC MOVIIE. 2 (1)
et comme la courbe' tourne sa concavité vers le point lixe, la i'otee accolérattice qui agit' suivant mA, tend à diminuer les coordonnées AP=x et PM=.r du poiut m; par conséquent, art. 5i, nous affecterons du signe négatif les composantes de la force accélératrice représentées par ces coordonnées, et nos deux équations deviendront
ou, en remplaçant X et Y par leurs valeurs tirées dos équations de
l’art. 33t, nous aurons
dtx x d’y y ....
dt * rj di’ r ' r
3q8. Peur intégrer ces équations, nous multiplierons la première par y et la seconde par x ; retranchant l’un des produits de l’autre, et divisant par dt , il restera-
r dï-xTi=0' •
équation dont l’intégrale sera
• fdx — •r£fr' / -r\ .
et par a nous désignerons la constante arbitraire ajoutée à l'intégration .
399. Pour avoir une autre intégrale première, nous multiplierons les équations (255), Tune par 2<ir et l’autre par 2 et ajoutant les pro** diiits, nous trouverons
■xdxd’x 4- idyd’y. „T) {*<lr+ydr) ,„c x
dt’ r . "
Le second membre de cette équation contenant les' trois variables x, j et r, nous la transformerons en une fonction de celte dernière au moyen do la relation x» +,rJ = r», qui dçnuc par la différentiaiion
xdjc -+-ydy = rdr ; ^
mettant cette valeur de xdx -bydy dans 1<J second membre de l’éqUation 257, on obtiendra
# dl*
«ini
ou plulét, parce que dt est constant, , .
; -'.'/JS
DTlb-MIQURT
Intégrant et nommant & la constante arbitraire, nous obtiendrons
(ir* 4* (/y1 v ’v-^ *
. ' = (aS8).v ' • '
400. Nous avons affecté Rdr du signe d’intégration, parce quo, si l’on, veut que la distance influe sur la force accélératrice , c’est supposer que l’une dépende de l’autre en vertu d’une certaine foi qui restera arbitraire tant que nous n’aarons pas adopté une hypothèse particulière.
401. Comme il nous reste encore trois variables dans cette équation, nous la réduisons à deux ( savoir x et ® ) en y introduisant les valeurs de x et de y en fonction du rayon vecteur r, et de l’angle y qn’il forme avec l’axe des x j ee» valeurs seront données par les formules
x = rcos®, y t= rsin y>. ^59). j
Ces formules nous donnent en diffcrcnUant ces fonctions x et y, par rapport aux variables r et 8 ,
dx = — r sin tfdtf -f- cos ydr 1
dy=. r cos ydy -+. sin ydr j“‘ . ” “
les valeurs de x et dey, de dx et de dy, données par les équations (a5 9) et (260), étant misos dans l'équation (a5(i), on obtient, après la réduction,
(sin*«>-+. cos’ol . ^ ’f
et comme la somme des carrés du sinus et du cosinus est égale à l’unité, l’équation précédente, devient
’ —r*^=za...Çi &l): ' ‘ •
Opérant de même relativement il l’équation (a58J* on trouve d’aberd, en ajoutant les carrés des équations (a6o), et eh réduisant,
»V • dx% -\m^y*‘z= ■+• dr*. . . (a6a ).
Par conséquent, en mettant çette valeur do dx* -) -rfr» dans l’équation (a58) , on la transformera en ■' ' ,
4oa. Pour avoir l’équation do la courbe , éliminons de efctre les équations (qGi j et (a63) que noua venons d’obtenir par Pintégration : la première nous donnera •. ’
