DU SYSTEME DU 'MOS DE
cette valeur introduite dans la aeeonde, la changera en a'r'dm* -+* a»dr> , „ .
= i-2/Rdr,
dtp s •
adr
r y/bt* — a* — 2r*y"R<ir
Cette équation fera connaître le rayon vecteur pour un angle donné, lorsque ayant déterminé Ica constantes qu’elle renferme, on l’aur& intégrée: « ' • .
4o3. Pour savoir ce que ces constantes signifient, reprenons nos deux intégrales
Jt '*<■ r'd?'j^dr' = i, — a/Rdr. . ■ (265) : .. -
nous avons déjà vu, art. 335, qu'en prenant l’intégrale de la première équation, on était conduit à ' ■
2 secteun LCM = as . (266) j
par conséquent, si l’on fait t=r, 00 roeonnaltra que la constante a n’est autre chose que le double du secteur décrit dàns l’unité do temps. Oit peut ' tirér la -môme conclusion de l’cuuation
’ , 'r* df~ “
car dp étant l’arc infiniment petit décrit par le rayon f , rdp sera l’arc infiniment petit Récrit par le rayon vècteûr r; donc 'rr.rdrfr ou U??,
représentera Je secteur infiniment pet,it, décrit par le rayon vecteur dans 1 instant dt ; mais , comme les aires sopt proportionnelles aux temps art. 335 , on trouvera l’aire décrite dans le temps 1 par cette proportion ,
i~*da .
, —J- ! 4t 1 1 aire décrite dans l’unité de temps ; 1 ; donc ,
aire décrite dans l'unité de temps r= j
(*) Nous supprimons le signe de à, parce que nous ne considérons que la valeur absolue de celte constante.
par conséquent , rJ — vaudra le double, et en vertu de'l'équat. (267)
aéra la valeur do a. „
On tire de cette même équation (267)
do a 9
et comme exprime la vitesse populaire du mobile (*), on voit quelle
est en raisori inverse du carré dü rayon vecteur, et parvient à sa plus grande valeur au point où le rayon vecteur a la plus petite.
404* La première des équations (a65) nous montre encore que la constante a est indépendante de l’hypothèse qu’on péut former sur la force accélératrice; nous verrons qu’il n’en est pas de môme de la constante l, ,qui dépend de la force accélératrice renfermée dans la seconde de ces équations, ^ous ne pouvons donc différer davantage d’établir çetttf hypothèse dont nous avons parlé , art. ^06, nécessaire pour détermin^fctette force accélératrice; et nous admettrons avec Wewtori que les corps s’attirent proportionnellement à leiir masse1; et en raison inverse du carré de leur distance. Cela posé, représentons par i la force exercée à une distance k par 1 unité de masse; la force du Soleil" qui agira suç un corps placé à celte distance k sera donc exprimée par la masse entière M de cet pstre ; .mais la masse de la planète que lo Soleil attire étant m% cêtte planète réagira sur le Soleil, et produira un .effet exprimé par m;-et comme les deux forces M ut m tendent à rapprocher les deux astres l’un de l’autre, leur effet sera le même que si ta force M -f-m était concentrée dans le Soleil^ et agissait sur la planète, à une distance Ar. Lorsque cette distance change et devient, r, la force M-f-i» n’a plus, comme on la vu, la même intensité. Représentons donc par R ce qu’elle est alors; et comme les forces M-f-m et r agiront en raison inveifcç des carrés des distances A: et r, nous aurons
d’où l’on tirera • ' * * . . •/
(*) On l’appelle ainsi parce que l’angle <;> étant mesuré par l’arc correspondant décrit avec le rayon i , cet arc est l’espace parcouru dpnt Ja différentielle divisée par celle* du temps, exprimé, -art. 394 > la vitesse. • * - • ‘
DP SYSTÈME DD 'MONDE. l5î
Telle est U valeur de la forte accélératrice totale qui , agissant à le distance r , tendra à rapprocher les deux corps l'un de l'autre.
4o5. La valeur que nous venons de déterminer étant celle de la' force accélératrice que nous avons représentée par R, nous avons
bisons pour abréger
l1 (M -4- ra) = jtt..-.
nous changerons l’équation précédente en
/Rdr =/*> 4r-
fRdr=j^... (371;;
mais comme les masses M et m, ainsi que la distance * , sont des quantités constantes, il en sera de' même de /i ; par conséquent, On trouvera immédiatement pour l’intégrale de l’équation (071),
/Rdr =
remplaçant /Rdr par cette valeur, et ensuite b — ac par 4', les équations (»63) et (aC4) deviendront 1 -
dp
adr
r \/Vr > — o* -t- a yY
4o'j. Il ne nous reste plus qtç’à déterminer la constante b' qui , comme on l’a vu, est égale h i-J-ac. Four cela, recourant à l’équation faça) , examinons d’abord co que représente le premier membro : nous avons vu, art. 401, que fa valeur noua en était donnée pqr l’équation (a6a), c’est-à-dire qu’on avait
Jt . . • • .
r'dy» -f. drWiVjdj.’ -4- dr’
. dt»
et comme l/ dr* -f. est l’éléif^'à de la courbe , on voit que
dt>
• dr*
n’est autre chose que
que (§)\ c'-
est-à-dire est le caçré do
la vitesse estimée suivant la courbe; ainsi, en nommant v cette vitesse, l’équation (37a) deviendra
*54 » DTW4M1QÜE.
Cela posé j, si nous représentons par V cettfe vitesse à l’origine da mouvement, et par a ce que devient alors le rayon vecteur, tout sera
déterminé dans l’équation (^74],, et nous en tirerons , <■
407. On pourrait aussi déterminer la constante a en fonction do la vitesse initiale. Pour cela, il faut partir d’une équation entre v et a; ce
qui sera facile en mettant, d’après l’équation (aG8), à la place de
da ♦ . » - • „ ' r’
dans la formule
et qui lé changera en
dr» -f- r*da*
/ \ "* • dr\ « *
Fig. 18 j. La valeur de dr, qui entre dans cette équation, est représentée (fig. i8ji par la différence infiniment petite ml, qui existe entre les deux rayons vecteurs A/n et Anj en regardant le triangle mnl comme rectangle en /, et rectiligne parce qu’il est infiniment petit, on aura
ml = nui cos nml, ou
dr dr cos nml ;
substituant cette valeur de di- dans l’équation (a ^5), et changeant ensuite - en v, nous obtiendrons
= p» (cos nml)' -f. — .
Or, si nous appelons <t ce <jue devient l’angle nml quand v et r se transforment en Y et en a à l’origine du mouvement-, nous aurons, dans cetté hypothèse,
- V» =5 Ÿ.» cosa * 4. îl;
donc ' ,r
a’ssx'V’fi — cos'pe) = a*V*sin*«, et par conséquent , ’
« — aV sin f .
408. Ayant déterminé les constantes qui entrent dans Féquet. cherchons maintenant à l’intégrer^ pour poqvoir connaître ensuite quelle est la nature de la trajectoire ou courbe- décrite par le mobile.
DU STST Èjre DU MONDE.
Nous essaierons d’abord de la simplifier en supposant i — -, parce
que la différentiation des tractions de ce genre accroissant la puissance de la Variable, on conçoit qu’il peut y avoir des réductions qai rendent la formule moins compliquée : .c’est en effet ce qui arrive , car nous troQvons . ..
, adz . • • •
• ; tV/6' — («’** — i Iflz)
Regardant les termes qui sont entre les parenthèses comme le* deft* premiers d’un carré parfait, nous voyons que, pour le compléter, il
faudrait y ajouter CL ; mais, pour ne pas troubler l'égalité, nous intro-
tf t m1 {'
duirons sous le radical la quantité - — , et alors nous pourrons
écrire ainsi notre équation
adz
faisant
az — - s= u.
t, et *' + — = A*, «*
l’équation précédente deviendra
du
prenant l’intégrale ( Élém . de Calcul intégral', art. et îç!ï), on a
. “ . arc ^cés = 2^ — j 4- constante.
Remettant les valeurs de u et de A, supprimant le facteur commun a, et nommant 4 la constante arbitraire, on obtient
cos — — ■ — ■ ) =a-4-J.;
Va'V+p'J
on tire de cette équation ‘ » .
. '• .r;’*;"- r ■ = cos'(<? % 4) i r a*b -+• ’/jl* * ^
et, eo restituant la valeur de s en r, nous trouverons enfin a* ur 3= r V/rt’i' -f- ft*,.co s (y + 4)- • • (^C). .
2^6 ' • bYNAMIQL'E.
■ 4°9- La constante arbitraire 4 no sert qu’à changer la direction de l’axe
Fig. l85. qui, avec le rayon vecteur, forme l’angle variable ; par exemple (fig. i85;, si l'angle CA m ou y, formé par le rayon vecteur avec l’axe primitif AC, est successivement de i°, de a°, de 3®, etc. , et que l’on compte l’angle variable à partir de l’axe AB qui fait avec l’axe AC un angle CAB = 4, l'angle formé par le rayon vecteur Am avec cet axe AB , sera succès, sivement de . • ‘ •
,0 •+■ +> de a° 4- 4, de 3° + 4, etc., et’, err général, de ,
4io. L’angle f + 4 disparaîtra de l’équatloh (176) si nous transformons les coordonnées polaires on coordonnées rectangulaires, à l’aido de ces formules , '
„ r* = x> +.r>, * = rcos(? + 4), ^ = #. sin (? + 4)... (^77);
car les deux' premières réduisent cette équation (376) à
a* — ,u\/x* = x\/fl’&' -f- fi*.
On tire do là ,
pV'1’ =a‘ — x\/a’b' + p*... (378);
clevant au carré et réduisant , on obtiendra
— Îéa'x* = af^- 2 a*x V/a*i' ■+. /i». . . (379).
Cette équation est celle d’une section cdiiique ou courbe du second ordre; elle appartiendra à une ellipse ou à upe hyperbole, selon -que i', d’où dépend le signe du terme ep x*; sera négatif ou positif; car, dans le premier cas, les deux carrés des coordonnées seront dé mômes signes, et, dans le second, ils seront de signes contraires. Mais, si b’ est. nul, le terme x* s’évanouissant^ l’équation appartiendra à la parabole. ■ ’ 1 '*
4n. Lorsque dans l’équation (378) on introduit le rayon vecteur à , l’aide de la première des équations (377), on la transformé en
/ir = a* — xÿa*b' 4- p*»
ce qui montre qu’en regardant \/ a' b' -f- pomme une constante, ce rayon vecteur est toujourAonné en fonction. rationnelle de l'abscisse x; d’où l’on peut Conclure que l’origine est ap foyer.
412. Ainsi voilà la secondo loi de Képler démontrée avec une généralité qui était inconnue à ce grand homme; car il gjclail borné, et
