CHAPITRE VIL

Du tempérament.

64. 1 Altération que nous venons d'ob- .L ferver entre certains fons de l'échelle diatonique , nous conduit naturellement à parler du tempérament. Pour en donner une idée nette , & en faire fentir la néceiîité , fuppofons que l'on ait un inftrument à touche , un clavecin , par exemple , compofé de plufîeurs oclaves ou gammes , dont chacune renferme fes douze demi-tons.

Prenons dans ce clavecin une des cordes qui rend le fon UT { Voye{ F ) & accordons

la étant quinte du ré , donne deux tierces altérées^ la & la ut , & une quinte aufli altérée la mi , comme nous le verrons dans le Chapitre fuivant. Ainfi il y a dans notre échelle deux intervalles de plus d'altérés que dans l'échelle des Grecs.

Ciiij

^o Elemens de Musique la corde SOL à la quinte parfaitement jufte àl/T en montant ; accordons enfuite à la quinte jufte de ce dernier SOL le RE qui eft au-deftus , il eft évident que ce RE fera dans la gamme au-deffus de celle d'où l'on eft parti : mais il eft évident auffi que ce RE aura dans la gamme d'où l'on eft parti , un ré qui lui répond & qu'il faudra accorder à l'octave jufte au-defîbus du RE qui fait la quinte de SOL ; de forte que le ré de la première gamme fera la quarte jufte au-defîbus du SOL de cette même gamme. On accordera enfuite le fon LA de la première gamme à la quinte jufte de ce dernier ré , puis le fon MI de la gamme au-defliis à la quinte jufte de ce nouveau LA , & par conféquent le mi de la première gamme à la quarte jufte au-defîbus de ce même LA : cela fait , on trouvera que le dernier mi , ainft accordé , ne fera pas la tierce majeure du fon UT(f) ;c'eft-à-dire , qu'il eft impoffible que mi puiffe faire en même tems la tierce

(/) Le LA confideré comme quinte du ré eft î| , & ïa quarte au-deflbus de ce LA eft les i de « , c'eft-àdire ±± ; donc 8 1 fera la valeur de mi confideré comme quartçîiifte de LA , en defcendant i or mi , confideré cornnie 'tierce majeure du fon UT, eft | ou £f : donc ces deux pii font entr'eux dans le rapport de 81 à 80 ; ainfi il eft impofiible que mi loit à-la-fois la tierce majeure jufte d'Ul 9 ht la quarte jufte au-deflouS de LA»

Théorique et Pratique; 41

majeure jufte d'WTtk la quinte jufte de LA ou , ce qui revient au même., la quarte jufte de LA en defcendant.

6$. Il y a plus : fî après avoir accordé fuccefîlvement & alternativement à la quinte & à la quarte jufte l'une de l'autre , les cordes UT , SOL , ré , LA , mi , on continue à accorder fuccefîivement par quintes & par quartes juftes les cordes mi,Ji,Ja ^ , ut1%9 folM>réK>Ia%;, mi % ,fi% , on trouvera qu'il s'en faut beaucoup que ceyz ^ ne fafle l'oftave jufte du premier UJ ', & qu'il eft. plus haut que cette oclave (t) , cepen-

( t ) En effet , fi on accorde ainfî alternativement les quintes & les quartes dans une même oétave , voici quel fera le procédé de l'opération.

UT, SOL quinte , ré quarte , LA quinte , mi quarte ,7? quinte ,fa %. quarte , ut %. quinte 3fo! %. quarte , RE %. quinte , la %. quarte , MI % ou FA quinte , fi % quarte ; or on trouve par un calcul très-facile, que le premier UT étant 1 , SOL fera \,ri\,LA f| , mi §±, &c. & ainfi de fuite jufqu'à fi % , qu'on trouvera liiîii. Cette fraction eft évidemment plus grande que le nombre 2 , qui indique l'octave jufte ut du fon UT ; & l'octave au-deffous àefi%. , feroit la moitié de cette même fraction , c'eft-àdire —jf-g > qui eft évidemment plus grande que UT ,

repréfenté par l'unité. Cette dernière fraction liiii-1 eft

çompofée de deux nombres : le haut de la fraction n'eft aaute chofe que le nombre 3 multiplié n fois de fuite par lui-même; & le bas eft le nombre 2, multiplié 18 fois de fuite par lui-même. Or il eft évident que cette fraction , qui exprime la valeur du fi %. , n'eft point égale à l'unité qui exprime la valeur du fon UT , quoique fur le clavecin

41 Elemens de Musique dant ce fi ^ fur le clavecin ne doit point être différent de l'oclave au-defïus de UT; car tous les fi ^ & les UT font la même

lefi%. Se Y UT foient confondus. Cette fra&ion furpafle l'unité de -Z±5-L- , c'eft-à-dire d'environ -i- , & cette dif-

rr / 7 , 7 î

rerence a ete nommée comma de Pythagore. Il eft vifible que ce comma eft beaucoup plus coniidérable que celui dont nous avons déjà parlé ( Note p ) , & qui n'eft que

On vient de prouver que la progrefïlon des quintes donne un y? %. différent de l'ut. La progreflïon des tierces majeures en donne un autre encore plus différent. Car fuppofons cette progrefïlon ut , ml /fol %. , fi ^ , on aura mi égal à|,yô/àf|&/à^i, dont l'octave au-deffous eft f-|-| ; d'où l'on voit que ce dernier/ eft plus petit que l'unité ( c'eft-à-dire que UT) de ^ ou de JL à peu-près. Nouveau comma beaucoup plus fort que le précédent , & que les Grecs ont nommé apotome majeur.

De plus , fi après avoir trouvé lefol%. || , on accorde enfuite par quintes & par quartes > fol %. , ré %. , la % 9 mi %. , fi %. , comme nous avons fait pour la première progrefïlon des quintes , on trouve que le fi %■ fera p2-§ ;

donc fa différence avec l'unité , c'eft-à-dire avec UT , eft j!'-g , c'eft à dire environ ^- , comma plus petit que tous

les précédens , & que les Grecs ont nommé apotome mineur.

Enfin , fi après avoir trouvé mi égal à | dans la progrefTion des tierces , on accorde enfuite par quintes & par quartes , mi , fi , fa%. , ut ^ , &c. on parviendra à un nouveau/^:, qui fera |y^f| > & qui ne différera de l'unité que d'environ -p > dernier comma , le plus petit de tous : mais il faut observer que dans ce cas , les tierces majeures de mi à fol % , de fol ^ h fi ^ ou ut } &c. font très-fauifes., & très-akérées.

Théorique et Pratique. 45 chofe , puifque l'o&ave ou la gamme n'y effc formée que de douze demi-tons.

66. De - là il s'enfuit néceffairemenr : 1 Q. qu'il eft impoflible que toutes les oftaves & toutes les quintes foient juftes à -la -fois , principalement dans les inftrumens à touche, où l'on ne connoît point d'intervalles plus petits que le demi-ton : 20. qu'il faut par conféquent , fi on accorde les quintes juftes, altérer les o&aves ; or la reffemblance qu'il y a entre un fon & fon o&ave , ne nous permet pas une telle altération : cette reffemblance fait que l'oftave fert de bornes aux intervalles , & que tout ce qui eft contenu par de-là la gamme ordinaire , n'eft que la réplique , c'eft-à-dire la répétition de tout ce qui a précédé. C'eft pourquoi , fi on fe permettoit une fois d'altérer l'oclave , il n'y auroit plus de point fixe dans l'harmonie ni dans la mélodie. Il faut donc de nécemté abfolue accorder le dernier ut ou/ ^ à l'octave jufte du premier ; d'où il s'enfuit que dans la progrefîion des quintes , ou , ce qui eft la même chofe , dans la fuite alternative des quintes & des quartes UT , SOL , ré , LA,mî,fi,faX , ut M9filU9réX9 la ^ , mi %.,jî'% , il eft néceflaire que toutes les quintes foient altérées , ou du moins quelques-unes, Or n'y ayant point de

r44 Elemens de Musique raifon pour altérer Tune préférablement à l'autre , il s'enfuit que nous devons les altérer toutes également. Par ce moyen l'altération fe trouvant également répandue fur toutes 'les quintes , fera prefque imperceptible pour chacune , & ainfî la quinte qui eft après l'o&ave , la plus parfaite de toutes les confonances , & que nous fommes forcés d'altérer , ne le fera que le moins qu'il eft poffible.

67. Il eft vrai que les tierces feront un peu dures , mais la tierce étant un intervalle moins confonant que la quinte , il eft néceffaire, dit M. Rameau, d'en facrifierla juftefte à celle de la quinte ; car plus un intervalle eft confonant , plus l'altération en déplaît à l'oreille : la moindre altération dans l'o6tave eft infupportable.

68. Cette altération des intervalles dans les inftrumens à touche , Se même dans les inftrumens fans touche , eft ce qu'on appelle tempérament.

69. Il réfulte donc de tout ce que nous venons de dire , que la théorie du tempérament fe réduit à cette queftion.

Etant donnée la fuite a^ernative des quintes & des quartes UT ', SOL , rè\ LA , mi9 fi 9 fa % , ut % , fol% , ré % , la% , mi H 9 fi M 9 dans laquelle/^ ou ut , n'eft

Théorique et Pratique. 4$

pas l'octave jufîe du premier UT , on propofe d'altérer également toutes les quintes de manière que les deux ut foient parfaitement à l'octave l'un de l'autre.

70. Pour réfoudre cette queiHon , on commencera par mettre les deux ut parfaitement à l'octave l'un de l'autre , enfuite de quoi on rendra le plus égaux qu'il fera poffible tous les demi-tons dont l'octave efl compofée. Par-là (&) toutes les quintes feront chacune très-peu

( u ) Tous les demi-tons étant égaux dans le tempérammentque M. Rameau propofe , il s'enfuit que les douze demi-tons ut ,uf% , ré y rè ^ , mi , mi ^ , &c. formeront une progreffion géométrique continue , c'eft-à-dire , une fuite dans laquelle ut fera àa/^ dans le même rapport que ut "%.k re , que ré à ré %. , &c. & ainii de fuite.

Ces douze demi-tons font formés par une fuite de treize fons dont UT & fon octave ut font le premier & le dernier. Ainfi pour trouver par le calcul la valeur de chaque fon dans le tempérament dont il s'agit , la queftion fe réduit à trouver entre les nombres i & z onze autres nombres qui raflent avec i & z , une progreffion géométrique continue.

Pour peu qu'on ait d'ufage du calcul , on trouvera facilement chacun de ces nombres , ou du moins fa valeur approchée. En voici l'expreffion que les Mathématiciens reconnoitront facilement , & que les autres peuvent pafler.

UT ut % ré ré % mi fa fa ^ fol fol ^

12 12 12 12 12 12 12 12 t j/2 y/l% y/13 y/l* y/tf y/jï y/j? j/^S

la la ^ fi ut

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46 ÉLËMËNS Î5E Musique

altérées , & le feront toutes également.

71. Voilà en quoi confifte la théorie du tempérament : mais comme il feroit difficile dans la pratique d'accorder un clavecin ou une orgue , en rendant ainfî tous les demitons égaux , M. Rameau , dans fa Génération harmonique , nous a donné le moyen fuivant pour altérer toutes les quintes le plus également qu'il eu. poffible.