CHAPITRE II

Évaluation numérique des sons par les vibrations des cordes , des tuyaux cylindi iqiies , des lames et de la sirène.

479. Lois générales des vibrations des cordes et des sons harmoniques qu elles produisent.

Lorsqu’on pince une corde tendue sur un instrument quelconque, comme une liarpe ou une guitare, les vibrations qu’elle accomplit sontbeaucoup trop rapides pour que l’on puisse en compter le nombre absolu ; cependant l’on peut alors distinguer assez nettement deux phénomènes remarquables : premièrement le son monte et devient plus aigu dès qu’on raccourcit la corde ou qu’on lui donne une plusforte tension, et secondenientle nombre des vibrations augmente d’une manière sensible. Ainsi , il y a certainement une dépendance entre le son de la corde , sa longueur, sa tension et la rapidité de ses vibrations; mais cette dépendance, si facile à constater par l’expérience, ne peut être déterminée que par le secours du calcul ; elle constitue ce que l’on appelle en mécanique le problème des cordes vibrantes , problème qui fut résolu en premier lieu par Taylor ( Melhodus incrementorum , etc., 1716), et qui eut beaucoup de célébrité, parce qu’il excita pendans près d’un demi-siècle de vives discussions entre les plus grands géomètres. Jean Bernouilli, D’Alembert, Euler et Daniel Bernouilli , avaient beaucoup écrit sur ce sujet, quand Lagrange , en 17%), presque à son début dans la carrière des sciences , eut la gloire de lever toutes les difficultés et de mettre un terme à la discussion.

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Voici les résultats auxquels on arrive par le calcul, et qui expriment les lois des vibrations des cordes :

i° Les nombres de 'vibrations d’une corde sont en raison inverse de sa longueur , c’est-à-dire, que si une corde sonore quelconque est tendue sur un instrument, comme le violon , la basse , la guitare , etc., et quelle fasse dans un certain temps un nombre de vibrations représenté par i, lorsqu’elle vibre à vide ou dans toute sa longueur, elle fera dans le même temps des nombres de vibrations représentés par 2 , 3 , 4 , etc. , lorsque , sans changer sa tension, l’on fera vibrer seulement -j, etc. , de sa longueur-, elle ferait des nombres de vibrations représentés par^-, j,-, etc., si l’on faisait vibrer seulement |,i, j, etc. , de sa longueur. Pour limiter ainsi la partie vibrante , il suffit de promener un petit chevalet sur lequel on presse légèrement la corde avec le doigt.

20 Les nombres de 'vibrations d’une corde sont proportionnels aux racines carrées des poids qui la tendent ; c’est-à-dire, que si l’on représente par 1 le nombre des vibrations d’une corde qui est tendue par un poids 1 , ce nombre de vibrations dans le même temps deviendra 2 , 3 , 4 ? etc. , quand , sans changer sa longueur, on la tendra par des poids 4? 9> ï6, etc.

3° Les nombres de vibrations des cordes de même matière sont en raison inverse de leur épaisseur ou de leur diamètre , c’est-à-dire, que si l’on prend, par exemple, deux cordes de cuivre ou deux cordes d’acier comme celles d’un piano, dont l’une ait un diamètre double de l’autre, qu’on les tende par un même poids et qu’on en fasse vibrer des longueurs égales , la plus mince fera dans le même temps deux fois plus de vibrations que la plus grosse. Il est probable que deux cordes à boyaux ne suivraient pas exactement cette loi, parce qu’on 11’est jamais sûr qu’elles soient absolument de même matière.

4° Les nombres de vibrations des cordes de matières

ÉVALUATION NUMÉRIQUE DES ÜONS. — CIIAP- II. 1 1 3

différentes sont en raison inverse des racines carrées de leurs densités ; c’est-à-dirc , que si l’on prend , par exemple , une corde de cuivre dont la densité est presque q, et une corde à boyau dont la densité est à peu près i , qu’elles aient le même diamètre, qu’on les tende par des poids égaux et qu’on en fasse vibrer des longueurs égales, le nombre des vibrations de la corde de cuivre sera trois fois moindre que le nombi'e des vibrations de la corde à boyau. 11 est évident que les lois précédentes ne peuvent s’appliquer qu’à des cordes homogènes dans leur longueur et dans leur épaisseur , et que , par exemple , elles ne s’appliquent nullement aux cordes à boyau revêtues d’un fil de métal , dont on se sert pour la harpe et pour les 4 » des basses et des violons. Le métal enveloppant est ici une masse inerte qui doit être entraînée par l’élasticité de la coi'de et qui augmente par conséquent la durée des vibrations.

Ces principes une fois posés , il devient très-facile de représenter les sons par des nombres. On se sert pour cela d’un instrument qui donne des sons purs et qui permette de mesurer avec exactitude les longueurs des cordes. Cet instrument s’appelle' sonomètre ou monocorde $ on peut lui donner différentes formes; nous supposerons que l’on emploie celui qui est représenté dans la Figure 52, il porte une corde à boyau et une corde de métal , pour montrer que sur l’une et sur 1’autre les effets sont les mêmes. La corde est attachée à un crochet c , passe sur les chevalets fixes F et f', sur une poulie mobile m, et s’attache à un autre ci’ochet c' auquel on suspend les poids p. Le chevalet mobile n h' peut glisser sous la corde sans la toucher, on l’arrête où l’on veut, et pour réduire la longueur de la corde il suffit de la presser avec le doigt sur l’axête t de ce chevalet. Nous verrons plus tard que la caisse ss; sert à renforcer le son. Supposons maintenant que la corde soit convenablement chargée pour rendre uu sou plein et pur en II. 8

tlVRB SEPTIÈME.

vibrant à vide, que l’on prenne ce son pourpoint de départ, ou pourl’iif , et qu’on avance peu à peu le chevalet pour obtenir successivement les autres notes de la gamme , ré mi fa sol la si ut, la longueur de la corde entière étant représentée par i , on trouvera pour les autres notes les longueurs suivantes :

Noms des sons. , ... ut ré mi fa sol la si ut.

Longueurs des cordes. 1 -f- ~~

Mais les nombres de vibrations de la corde étant en raison inverse de sa longueur, on aura don,c, en représentant par i le nombre des vibrations qui donnent Fut :

Noms des sons . ut ré mi fa sol la si ut.

Nombre des vibrations, i ~~ -f ~ 2.

On sait que V intervalle de ut à ré s’appelle une seconde; de ut à mi une tierce ; de ut à fa une quarte; de ut à sol une quinte; de ut à la une sixième; de ut à si une septième; de ut à ut une octave , etc. Ainsi quand deux sons forment T octave, le nombre des vibrations du plus aigu est double du nombre des vibrations du plus grave ; pour la tierce, le plus grave fait 4 vibrations et le plus aigu 5 ; pour la quarte , le plus grave 3 et le plus aigu 4 pour la quinte, le plus grave 2 et le plus aigu 3, etc. Ces rapports sont invariables, l’oreille n’y tolère aucune altération, c’est-à-dire, qu’il faut pour que deux sons soient à l’octave que le nombre des vibrations du plus aigu divisé par le nombre des vibrations du plus grave donne 2 ; qu’il donne 3/2 pour la quinte, etc. Ainsi le nombre des vibrations du ré étant -y-, son octave aiguë sera 4~X2=t ■> et son octave grave -f : 2 = ^ , etc.; sa tierce sera X •, sa quinte -\~X t| , etc. ; réciproquement,

le ré et le sol forment une quarte, parce que le rapport de sol à ré est-»- : = qui est le rapport