VIBRATION DES CORPS SOLIDES. — CHAP. III

parlé ( 48 1) ; ce mouvement de l’archet Imprime à la verge une sorte de torsion qui va et revient assez rapidement pour produire des ondes sonores. Les vibrations normales se trouvent toujours mêlées aux vibrations longitudinales, et avec une telle complication, que le calcul doit venir au secours de l’expérience pour distinguer nettement ce qui appartient à chacune. Mais il nous suffira d’indiquer ici ces deux derniers modes de vibrations , pour faire comprendre qu’ils sont essentiellement liés aux deux premiers, et qu’ils dépendent comme eux de l’élasticité de la matière, tellement, que l’un de ces modes étant connu , les trois autres s’en déduisent nécessairement. Si la science n’est pas encore parvenue à établir celte dépendance d’une manière générale et complète, elle peut du moins, dans quelques cas particuliers , déterminer certains modes de vibrations quand d’autres sont donnés. Voici sur ce point curieux quelques résultats que l’on doit à M. Po'sson. ( Mémoire sur T équilibre et le mouvement des coi’ps élastiques. )

i° Lç carrré du nombre des vibrations longitudinales d’une corde est au carré du nombre de ses vibrations transversales dans le même temps, comme sa longueur est à l’allongement qu’elle a éprouvé par la tension quelle supporte.

l , longueur de la corde qui vibre d’abord longitudinalement, et ensuite, transversalement.

a , allongement que cette corde a éprouvé, en vertu de la tension qu’elle supporté.

k', nombre des vibrations longitudinales quelle exécute dans un certain temps.

n , nombre des vibrations transversales qu’elle exécute dans le même temps.

l4o LIVRE SEPTIÈME.

20 Lorsqu’une verge est encastrée par une de ses extrémités, et quelle exécute successivement des vibrations longitudinales et des vibrations tournantes, on a

n est le nombre des vibrations longitudinales.

wf, . tournantes.

Ainsi , le rapport est indépendant de la longueur et de l’épaisseur.

3° Lorsqu’une verge cylindrique est libre par ses deux bouts, le nombre des vibrations longitudinales qu’elle accomplit dans un certain temps, est au nombre des vibrations transversales qu’elle accomplit dans le même temps, comme ioo fois sa longueur est à 356 fois son rayon ;

1, longueur de la verge cylindrique ; R, son rayon ; n? nombre des vibrations longitudinales; n', nombre des vibrations transversales. Les nombres N et m' se rappportent au son fondamental de chaque genre de vibration.

4° En appliquant la proposition précédente à une verge parallélipipédique de longueur l , dont l’épaisseur est représenté par e, on a

Ces deux dernières propositions ont été véri6ées par des expériences de M. Savart. Mais comme une verge doit être longue pour donner un son fondamental facile à apprécier, lorsqu’elle vibre longitudinalement, et que c’est le contraire quand elle vibre transversalement , il est nécessaire d’employer deux verges pour faire la com-

Vibration des corps solides. — ciiap. iii. i 4 1

paraison; par exemple, une verge de i mètre pour les vibrations de la première espèce , et une autre de | de mètre pour celles de la seconde espèce. Ayant trouvé que la verge de x mètre fait 1000 vibrations longitudinales, on saura bien par ce que nous avons dit précédemment, que, si l’on pouvait apprécier le son que produit une verge de même matière et de -j- de mètre, il correspondrait à 8000 vibrations. C’est ainsi que les valeurs de n ont été déduites pour former le tableau suivant.

i° Verge parallélipipédique en cuivre jaune.

L=-Ho^825),E=3m"\92

Le calcul donne. . . . j

L’observation a donné. |

Différence .

2° Verge cylindrique en cuivre jaune.

L = -^(om,825), R= 2mn‘,4

Le calcul donne. . . . j

L’observation a donné. 1

Différence .

3* Verge cylindrique en cuivre rouge.

l = -Ho”,825), r=i-,7

Le calcul donne. . . . j

L’observation a donné. 1

Différence .

4° Verge cylindrique en fer.

l = 4- (om,S8) , R = 2mm, 5

Le calcul donne. . . .

( js'= 3683

L’observation a donné.

Différence . — 3

l4a LIVRE SEPTIÈME.

5° Verge parallélipipédique en verre.

Le calcul donne. . . . ( n'= 4^4 5 L’observation a donné. ( n'— 4608

Différence 3y

6° Verge parallélipipédique en verre.

j. = -f- (om,967), e — 2mm,6 n — 4^667 Le calcul donne. . . . n'== 1887

L’observation a donné. w'= 1 843

Différence 44

70 Verge parallélipipédique en hêtre.

L == -57 (om,8g25), e = a*", 8 n = 40960

Le calcul donne. . . . ( 21 i4

L’observation a donné. I w'= 2048

Différence .... -|- 66

On voit dans tous ces résultats un accord assez satisfaisant entre le calcul et l’observation.

Les expériences i° et 20 font bien voir que le nombre des vibrations longitudinales 11e dépend que de la longueur 5 et elles montrent en même temps que les vibrations transversales ne sont pas simplement proportionnelles à l’épaisseur , puisqu’alors la deuxième valeur de Kf, déduite de la première, serait 3265 au lieu de 2844* La théorie de M. Poisson indique, en effet, que ces vibrations sont modifiées par la forme , et que , toutes choses égales d’ailleurs , il faut multiplier les vibrations

parallélipipédiques par

pour obtenir les vibrations

cylindriques* Aussi» en multipliant 3265 par

VIBRATION DES CORPS SOLIDES. CffAP. III. l43

ticnt-on 2828 qui diffère très-peu de 2829 , résultat de l’expérience directe.

Dans les expériences 5° et 6°, l’influence de la forme a disparu, puisque les verges sont l’une et l’autre parallélipédiques, et l’on trouve en effet que les vibrations transversales sont simplement proportionnelles aux épaisseurs.

486. Vibrations des corps dont une seule dimension est petite par rapport aux deux autres. Plaques, membranes, cloches, etc.

Pour faire vibrer les plaques on emploie ordinairement line pince semblable à celle qui est représentée dans la figure 86. La vis t sert à fixer la pince elle-même sur une table ou sur quelque corps très-solide, et la vis p sert à presser la plaque contre un petit cylindre saillant c; les extrémités de la vis et du cylindre doivent être garnies d’un morceau conique de peau de buffle, ferme et épais. La plaque étant ainsi fixée, soit par son centre, soit par un point plus ou moins rapproché de son bord libre , on l’ébranle avec un archet qui la frotte perpendiculairement à son plan. Le son qu’elle donne est en général assez net, pour qu’on puisse en prendre le ton sur un piano ou sur quelque autre instrument.

Sans rien changer à la disposition de la plaque et presque sans modifier le mouvement de l’archet, 011 peut obtenir des sons très-différens , dont la série est tellement accidentelle et variable qu’il est à peu près impossible de la reproduire indentiquement la même , dans plusieurs expériences successives. Mais s’il est difficile d’énumérer et de définir les sons que peut produire une plaque fixée d’une manière quelconque , il est toujours possible de découvrir , dans tous les cas , comment se partage sa masse en parties 'vibrantes et en lignes de repos. Pour cela, on maintient la plaque horizontalement pendant ses vibrations, et l’on répand sur sa surface supérieure un peu de,

sable sec et fin-, alors, au premier son qui est produit, le sable entre en mouvement -, il saute et retombe plusieurs fois en une seconde-, et, toujours repoussé par toutes les parties vibrantes , il va s’accumuler sur les parties immobiles, et marquer ainsi l’espace qu’elles occupent sur la plaque. Les lignes qui composent toutes les figures dessinées par le sable sont ce que l’on appelle les lignes noclalcs.

Galilée avait indiqué le premier ( Dialogues ) cet ingénieux moyen d’observer les lignes nodales; mais on peut dire que Chladni l’a inventé de nouveau en 1787, et que, par les belles applications qu’il en a faites il a ouvert en acoustique un vaste champ de découvertes. (Chladni , Traité d’ Acoustique?)

Nous n’entreprendrons pas de retracer ici toutes les lignes nodales qu’une même plaque peut donner 5 car ces lignes paraissent être en nombre indéfini 5 mais nous essaierons d’indiquer divers systèmes généraux , auxquels on peut rapporter toutes les lignes nodales des plaques circulaires, rectangulaires, triangulaires, etc.

Les plaques circulaires peuvent donner un système dia métrai, un système concentrique et un système composé.

Le système diamétral est uniquement composé de diamètres qui divisent la circonférence en un nombre pair de parties égales : dans la figure- la plus facile à obtenir on compte 2 diamètres, et 4 parties dans la circonférence ( Fig.Ç) o), ensuite 3 diamètres et 6 parties, etc.

Dans les cercles de métal qui ont 3 ou 4 décimètres de diamètre, on peut souvent compter jusqu’à 36 ou \o parties (Fig.gi') ; dans la circonférence, il est facile devoir pourquoi, dans ce mode de divisionpar lignes droites, les parties doivent être toujours égales et en nombre pair : car, i°il est évident que toutes ces parties doivent vibrer à l’unisson, c’est-à-dire accomplir dans le même temps le même nombre d’oscillations, et puisqu’elles sont dis-

VIBRATION DES CORPS SOLIDES. ■ — CIIAP. III. l4t>

posées de la même manière, il faut Lien qu’elles soient égales en étendue j 2° on peut démontrer par le raisonnement et confirmer par l’expérience que deux secteurs, ou, en général , que deux parties contiguës doivent avoir des mouvemens opposés , c’est-à-dire que l’une doit passer à droite de sa position primitive, tandis que l’autre passe à gauche et vice versa; ce qui 11c pourrait avoir lieu si les parties étaient en nombre impair.

Dans le système concentrique, toutes les lignes nodalessmit des circonférences dont le centre est au centre de la plaque :

Le cas le plus simple est celui d’une seule ligne nodalc, Fig- qoqcnsuiteoupcuten obtenir deux, troisou davantage, Fig. q3 et Pour reproduire ces figures plus facilement, M. Savai t prend comme Cliladni des plaques d’un grand diamètre , mais il les perce au centre d’un trou circulaire de quatre ou cinq millimètres de diamètre ; dans ce trou, il fait passer une mèche de crin en guise d’archet, Fig. 87. La plaque doit être soutenue seulement par quelques points des lignes nodales que l’on veut produire.

Dans le système composé, les lignes nodales sont des diamètres plus ou moins courbés et des circonférences plus ou moins altérées dans leurs contours. Les ligures 95 et 96 représentent quelques-unes des formes nombreuses auxquelles on peut arriver. Pour les obtenir il faut plus ou moins d'habileté , mais le principe consiste à presser avec les doigts un ou plusieurs des points par lesquels les lignes nodales doivent passer.

Dans les plaques carrées , l’on peut distinguer aussi trois systèmes analogues aux précédens. Les Fig. 98, 99 et 100, rentrent dans le système diamétral.

Les Fig. 101, 10*4 et io3 rentrent dans les ystème concentrique.

Les Fig. io4, io5 et 106 forment une espèce de système composé.

Les plaques triangulaires, rectangulaires ou polygonai;. 10

les, donnent encore des formes analogues, ainsi que les plaques elliptiques.

Ces figures sont, en général , indépendantes de la nature des substances ; elles se produisent avec la même régularité sur le métal , le verre ou le bois ; mais il y a cependant une condition comme nous le verrons plus loin , c’est que l’élasticité soit la même dans tous les sens.

Les membranes présentent des modes de vibration toutà-fait analogues à ceux des plaques : on peut s’en assurer avec du papier ou du parchemin , ou, ce qui vaut mieux encore, avec de la baudruche très-souple et très-égale. Seulement , il faut employer un moyen particulier pour tendre et pour ébranler ces espèces de plaques trop minces pour se soutenir d’elles-mêmes. M. Savart, qui a fait une étude particulière de ces phénomènes , fixe les membranes par leurs bords , en les collant sur des cadres en bois ou sur l’ouverture d’une cloche de verre ; il les humecte plus ou moins pour leur donner des tensions plus ou moins grandes ; ensuite , pour les ébranler, il en approche à quelque distance un timbre vibrant, ou un tuyau d’orgue dont le son est plein et soutenu. Dès que le son se fait entendre, la membrane vibre comme si elle était directement ébranlée. Les grains de sable qui la recouvrent sautillent sur sa surface et s’accumulent sur les points de repos pour y dessiner les lignes nodales. Les figures que l’on obtient sont extrêmement variées ; elles dépendent de la tension de la membrane et de l’acuité du son qui la frappe. j

M. Savart a essayé d’analyser la série des figures que peut donner une même membrane ébranlée comme nous venons de le dire : et nous ne pouvons mieux faire que de rapporter ici les observations qu’il a faites sur ce sujet intéressant. {Ann, de phy, et de chim. t. 3a, pag. 386.)

« Pour plus de simplicité, je supposerai toujours qu’on

tiit d’abord obtenu une figure composée de lignes nodales