AD

La valeur de d est

Or , la valeur de r' s’appliquant à la fois à la dernière couche intérieure de l’enveloppe ur (fig. 43) et à la première couche extérieure du noyau cr , on voit en même temps la compressibilité qu’éprouve ce noyau; elle est dépendante de la constante a', qui appartieut à sa substance.

Si a'=a, il est facile de voir que le noyau se comprime, comme si la pression extérieure h lui était immédiatement appliquée. Ainsi unesphèreliquide se comprime suivantles mêmes lois qu’une sphère solide, etmème cîlcse comprime de la même quantité lorsque la constante a' de sa substance est la même.

Si A,=o, on retombe sur les valeurs de r' et/-' que nous avions tout à l’heure pour h=o, ce qui doit être encore, puisqu’ en supposant a'=o, c’est attribuer à la substance du rayon une compressibilité indéfinie et sans résistance.

Pour toutes les valeurs de a' comprises entre o et A, les

DE L ELASTICITE.

CIIAP. III.

Valeurs de a' et de r' sont comprises entre celles qui correspondent à Ji= o et h; d’où il suit que le noyau est toujours moins comprimé que s’il avait reçu directement la pression h.

Enfin , si on a a'^>a, les valeurs de r' et r' deviennent analogues à ce quelles sont pour Ii^> h } c’est à-dire que l’on peut toujours trouver une valeur de h supérieure à H , qui donnerait à r' et à r' les mêmes valeurs que la supposition a^>a; et si l’on cherche alors l’effet que produirait la pression extérieure h en l’appliquant directement au noyau, on le trouverait toujours moindre que l’effet qu’elle produit par l’intermède de l’enveloppe solide. Ce résultat singulier peut se concevoir en observant que si le noyau est moins compressible que l’enveloppe sphérique , il empêche le rayon intérieur cr de prendre toute la diminution qu’il devrait prendre , et il agit alors comme une certaine pression intérieure plus grande que la pression extérieure. La limite de cet effet s’obtient en supposant a'=oo , c’est-àdire en supposant que le noyauest absolument incompressible: alors le rayon intérieur est constant -, et comme on

le rend constant aussi avec une pression k= h-

il est évident que le noyau doit recevoir cette pression. Y oilà comment il se trouve plus comprimé que s’il recevait directement la pression extérieure h.

Pour vérifier par l’expérience ces déductions delà théorie, il faut pouvoir déterminer la valeur de la constante A qui caractérise chaque substance par rapport à sa compressibilité. M. Poisson donne pour cela la formule suivante ,

qui est d une application facile pour les substances qui peuvent être réduites en fils ou en tiges. Car, si l’on fait un fil dont la longueur soit l, le poids p^, la section s , et qu’a-

'jl LIVRE SIXIÈME,

près l’avoir fixé verticalement par son extrémité supérieure on le charge à son extrémité inférieure d’un poids p , puis qu’on observe l’allongement a qu’il éprouve, il suffira de substituer toutes ces données dans la formule pour avoir la valeur de A.

Comme on admet en principe dans toute cette théorie que la compressibilité qui est produite par certaines forces est toujours égale à l’extensibilité qui serait produite par les mêmes forces , agissant de la même manière et en sens contraire, on voit que la formule précédente pourrait donner aussi la valeur de a au moyen de la compressibilité.

Car, en négligeant—, qui sera toujours très-petitpar rapport à p , et en supposant que le poids p comprime la tige dans le sens de sa longueur , et que a désigne alors la contraction, l’on aura :

bas

Le poids p s’exerçant sur la surface s , il en résulte que la

pression h sur l’unité de surface est h =-,et en faisant

aussi l = i on a :

Celte formule établit une relation remarquable entre la contraction a qu’éprouve une lige pressée par ses bouts et libre par son contour, et celle qu’éprouve une sphère de même substance supportant la même pression h sur toute sa surface 5 car nous avons trouvé pour ce dernier cas

*' = R ( 1 - jz)

qui devient , par la substitution de A,

DF. L^LASTICITÉ.

CIIAP. III.

Ce qui fait voir que la contraction qn'éprofne ntic tige pressée seulement par ses bouts ,• est double de celle qu’éprouve la même tige pressée avec la même force sur tous les points de sa surface.

Le volume de la sphère comprimée est sensiblement

étant son volume primitif. D'où il suit enfin

que, si l'on connaît Y allongement linéaire a d'une substance tirée à scs bouts par une certaine force, il en faudra prendre lamoitié pour avoir la contractionlinéaire de cette même substance pressée sur tous ses points par la même

force , et les —pour avoir sa contraction de volume. C’est

d'après ces principes que nous avons corrigé précédemment les observations piézométriques.

En compi i mandes solides au-delà les limites de leur parfaite élasticité, ils restent plus ou moins comprimés et prennent des densités croissantes, qui ont été jusqu’à présent très-peu étudiées. Si la compression continuait indéfiniment sans cesser d’ètre égale sur tous les points de la surface, il parait qu’à la fin la plupart des solides sebriscraienten poussière; mais quand les pressions sont inégales, il ne faut pas de grands efforts pour écraser les substances les plus résistantes. Comme il est souvent utile, soit pour les recherches physiques, soit pour les applications des arts, d'avoir quelques données surccs propriétés des solides, nous avons rassemblé dans le tableau suivant plusieurs résultats qui ont été obtenus par M. Rondelet et par M. G. Rennie. Ils sont extraits de l’ouvrage deM.Navier ( Résumé des leçons données à l Ecole royale des ponts et chaussées).

Résistance des pierres à V écrasement , d’apres les expériences de M. Rondelet , sur des cubes de 5 centimètres de coté.

Poids produisant

Indication des pierre.. Densités» l’écrasement.

kilogrammes.

Basalte d’Auvergne . 2,88 5ig45

Grès blanc . 2,48 23o86

Marbre noir de Flandre . 2,72 I97I9

Granit de Normandie, dit gatinos. . . 2,66 1^555

Granit gris de Bretagne . 2,74 i6353

Pierre noire de Saint-Fortunat employée

à Lyon, très-dure et coquilleuse. . . 2,65 i5668

Granit vert des Vosges . 2,85 15487

Liais de Bagneux, près de Paris, très-dur,

d’un grain fin . 2,44 Illi3

Marbre blanc statuaire . 2,6g 8176

Rocbe d’Arcueil, près de Paris . 2,08 6334

Roche de Chatillon , près de Paris, dure,

un peu coquilleuse . 2,2g 4^47

Pierre de Saillancourt,près de Pontoise,

ire qualité . 2,4 1 3536

2e qualité . 2,2g 2994

3e qualité . 2,10 23o4

Pierre ferme de Conflans employée à

Paris . 2,07 2245

Pierre à plâtre de Montmartre, près de

Paris . 1,92 1785

Vergelée des environs de Paris, tendre,

d’un grain grossier , résistant à l’eau. 1,33 i4g6

Pierre tendre ou lambourde de Conflans,

x re qualité . 1,82 14°7

Lambourde de qualité inférieure , tendre , résistant mal à l’humidité. ... 1 ,56 5^5

i- Grès tendre . 2,4g 98

DK L’ÉLASTICITé. - CIIAP. Ilf.

Résistance des Lois à V écrasement , d’après les expériences de M. G. Rcnnie , sur des cubes de 1 pouce anglais de coté.

Boi9.

Poids produisant Pecrasement en li\res avoir du poids.

Chêne anglais. . .

Sapin blanc. . . .

Pin d’Amcriquc. .

Orme .

Résistance des métaux à l’ écrasement , d'après les expériences de M. G. Rennic , sur des cubes de 1 (é\ de pouce anglais de coté.

Métaux.

Densités.

Poids produisant l'écrasement en liv. av. du poids .

Fer tiré du centre d’une large masse

Fer tiré de barres coulées horizontalement .

Fer tiré de barres coulées verticalement .

Cuivre coulé .

La livre avoir du poids vaut en kilogrammes ok, 45355, et le pouce anglais vaut a5mm,3ggg.

Il serait facile avec ccs données de calculer la hauteur qu’il faudrait donner à une colonne pour que sa base fût écrasée par son poids. On trouverait, par exemple, pour le basalte d’Auvergne, une hauteur de y 21 5 mètres, c’està-dire environ deux lieues. Ainsi 011 en pourrait conclure qu’une montagne cylindrique de basalte se briserait par son poids si elle avait deux lieues de hauteur , depuis son sommet jusqu’au sol; mais au-dessous du sol les pressions latérales soutiennent une partie de la charge.

464 • De l'élas t icité de tension et delaténacil è. — Les corps solides travaillés en fils, en tiges ou en barres, éprouvent divers phénomènes lorsqu’ils sont tirés danslesensdeleuraxe par dos forces successivement croissantes ; x° leur longueur

augmente et leur diamètre diminue 5 i* ils reviennent exactement à leurs dimensions primitives quand les forces tractivcs viennent à cesser sans avoir dépassé certaines limites; 3° au-delà de ces limites ils restent allongés dans un sens et rétrécis dans l’autre; 4° pour des forces plus grandes encore ils se rompent, tantôt brusquement dans toute leur largeur , tantôt lentement eu s’amincissant de plus en plus.

i* Il est naturel de supposer que pendant la traction le volume du corps augmente à peu près comme il diminue pendant lacompression. 'C’est, en effet, ce queM. Cagniard La Tour a observé en étirant un fil de cuivre dans un long tube rempli d’eau et convenablement disposé ; et M. Poisson a démontré que, si l’on représente en général par a l’allongement que prend par la traction un cylindre dont la longueur est l’unité, le rétrécissement dans le sens perpendiculaire à Taxe sera seulement— .De tcllesoite quele volume primitif étant v, le volume pendant la tractionsera

2® C’est , je crois, S’gravcsande qui a le premier établi les lois fondamentales de l’élasticité de tension des fils. L’appareil dont il se servait repose sur les principes suivans : le fil est tendu horizontalement entre deux points fixes FetF; (Fig. 44); v ersson milieu on pose un petit plateau de balance, au moyen d’un crocliet c ; mais pour que ce premier poids ne donne aucune flexion au fil, on l’équilibre au moyen d’un contre-poids soutenu par un fil de soie et passant sur une petite poulie p , au centre de laquelle est fixée une aiguille g. Cela fait, on observe la position de laiguille sur le cadran divisé d g d', et l’on commence à mettre doucement des charges successives dans le plateau du crochet ; Je fil se tend et se courbe de plus en plus; il en résulte une

CIIAP. III.