CHAPITRE II

De la Chute des Corps et des Lois de la Pesanteur .

Ô7. En observant les mouvemens de différons corps qui tombent, la première chose qui nous frappe est la grande inégalité de leurs vitesses. Une balle de plomb tombe trèsvile et une feuille d’arbre très-lentement; c’est un phénomène que tout le monde connaît , mais qui ne résulte pas , comme on le dit communément , de ce que la balle est très-lourde et la feuille très-légère. Car une feuille d’or battu ou une feuille d’étain , quand elles sont bien étalées, tombent aussi très-lentement; tandis qu’elles tombent beaucoup plus vite si on les roule pour en faire de petites masses arrondies. Alors c’est le même poids , et on ne peut plus dire que c’est la différence des poids qui fait la différence des vitesses. Cette expérience est suffisante pour un observateur attentif : il en conclura bientôt que c’est l’air qui emporte les feuilles et qui les retarde dans leur chute , et que si l’air agit ainsi sur de grandes surfaces , il agit sans doute , quoique avec moins de force , sur des surfaces qui lui offrent moins de prise.

Pour trouver le vrai mouvement des corps pesans , il faudrait donc les faire tomber dans un lieu où il n’y eût point d’air, et par conséquent point de résistance qui pût combattre la pesanteur. Un espace où il n’y a ni air, ni liquide, ni autre matière résistante, est, comme nous l’avons vu (2), ce qu’on appelle le vide. Un tel espace n’existe pas naturellement; mais nous pouvons l’obtenir au moyen de la machine pneumatique : ainsi nous pouvons déterminer la véritable loi de la chute des corps.

On en fait l’expérience de la manière suivante : on prend un tube de verre de huit ou dix pieds de long , fermé par un bout , et muni à l’autre bout d’un robinet de forme ordinaire, capable de tenir le vide. Par l’ouverture du robinet, on fait passer dans le tube des morceaux de plomb , du papier, des plumes , ou tout autre corps sur lequel on veut faire l’expérience. On fait le vide avec beaucoup de soin , et on ferme le robinet. Alors, en tournant promptement le tube, pour le mettre dans la verticale , on voit tous ces corps qui tombent librement dans son intérieur et qui viennent tous au même instant en frapper le fond.

On peut modifier cette expérience de manière à rendre sensible le progrès du phénomène. On entr’ouvre un peu le robinet et on le ferme presque aussitôt; alors un peu d’air est rentré , car on en a entendu le sifflement ; et en retournant le tube comme la première fois , on observe un peu de différence dans le temps de la chute, la plume et le papier sont en retard surleplomb. Un peu plus d’air rend le retard un peu plus long , et ainsi progressivement : tant qu’à la fin , l’air étant complètement rentré , la chute se fait dans le tube comme elle se fait à l’air libre.

Ainsi , quand la pesanteur agit seule sur les corps , quand elle n’est combattue par aucune résistance qui gène les mouvemens qu’elle leur imprime, elle agit sur tous également et avec la même énergie, quel que soit leur poids, et quelle que soit la substance qui les compose. Dans le vide , une masse d’or de cent livres ne tomberait pas plus vite qu’une parcelle d’or en feuilles, ni plus vile qu’un morceau de papier; une montagne ne tomberait pas plus vite qu’une plume.

58. Après avoir montré que , dans la réalité , tous les corps tombent avec la même vitesse, il faut chercher quelle est celte vitesse commune qui règle la chute de toute espèce de matière, et, en général, quel rapport il existe entre l’espace que parcourt un corps pesant et le

DK LA PESANTEUR. - CHAP. TF.

temps qu’il emploie à le parcourir. Ce rapport sera la loi de la pesanteur, c’est-à-dire la loi du mouvement que la pesanteur imprime à la matière.

Cette question semblerait assez facile à résoudre si l’on pouvait avoir un tube vide d’une centaine de pieds de longueur. 11 suffirait de le placer verticalement , de laisser partir de son sommet un corps quelconque à un instant donné , et de marquer le point où il passe après une seconde , après deux secondes, etc. Mais on observerait bientôt ce que l’on peut observer aussi dans l’air, c’est qu’au commencement de leur chute les corps tombent très-lentement, puis leur vitesse augmente de plus en plus , et en peu d’instans elle est tellement accélérée qu’on ne pourrait plus noter le point où passe un corps, tant il passe rapidement. Une balle qui tombe d’un peu haut vient frapper la terre avec un mouvement très-vif, et une pierre qui tombe d’un édifice élevé prend assez de vitesse pour briser ce qu’elle rencontre ou pour se briser elle-même. Une chute aussi accélérée échappe à l’observation directe , et la loi de la pesanteur semble impossible à trouver; cependant on y parvient par quelques moyens ingénieux : par le plan incliné de Galilée, et mieux encore par la machine d’Àtwood.

09. Plan incliné de Galilée. — Ce qu’on appelle plan incliné de Galilée n’est, à vrai dire, qu’une ligne inclinée, sur laquelle on fait rouler un mobile ; c’est une corde trèsunie , de vingt ou trente pieds de long , que l’on tend entre deux points fixes , dont l’un est plus bas que l’autre , et sur laquelle on fait rouler un petit char , ou plutôt une poulie de métal convenablement disposée. La pesanteur de la poulie serait complètement détruite si la corde était horizontale; elle aurait toute sa force, si elle était verticale; et, comme la corde a un certain degré d’inciinaison , la pesanteur de la poulie est réduite dans une certaine proportion facile à trouver par le calcul et qui est exprimée par sa valeur primitive multipliée par le sinus de l’inclinaison de la corde

sur l’horizon. Mais, quel que soit le rapport dans lequel on diminue une force , qu’on la réduise à la moitié , au tiers ou au quart de sa grandeur, on ne change que le mouvement absolu qu’elle imprime , sans rien changer au rapport des espaces parcourus dans des temps donnés. Ainsi , la loi que nous allons observer sur celte corde inclinée sera la vraie loi de la pesanteur. Or, si on laisse couler le char à un instant donné, qu’on note les espaces qu’il parcourt dans la première seconde, dans les deux premières secondes , etc., on trouve que ces espaces parcourussent entre eux comme les carrés des temps employés h les parcourir. Don ; le mouvement que la pesanteur imprime suit la même loi; c’est-à-dire que la pesanteur est une force accélératrice constante (54).

4o. Cette vérité fondamentale , et tous les caractères des forces accélératrices constantes, se démontrent d’une manière plus claire et plus rigoureuse par la machine d’At wood. Cet appareil est représenté (fig. 52). Mais pour la simplicité du raisonnement nous le réduirons à ses élémens essentiels, c’est-à-dire à une poulie parfaitement mobile, sur laquelle passe un fil très-fin , qui est tiré à chaque extrémité par le même poids m (Fig. 55). L’équilibre existe quand les deux poids sont au même niveau; et il existe encore, quand l’un est plus haut et l’autre plus bas, comme il est facile de le vérifier par l’expérience. Maintenant, ajoutons d’un côté une petite masse que nous représenterons par /x ; il est clair que l’équilibre est troublé , que le poids /x entraîne le poids sur lequel il repose , et qu’il le force à descendre , tandis que l’autre , il le force à monter.

Mais quel est le mouvement qui en résulte ? est-il le même que si le poids /x tombait librement, ou bien est-il modifié par les poids opposés qui se meuvent avec lui ?

Les deux masses primitives n’ayant de mouvement que celui que leur donne la masse /x, il est évident que celle-ci

DE LA PESANTEUR. «— CIlAi’. 11.

ne peut leur en donner qu’à ses dépens , qu’elle perd tout ce qu elle donne , et qu’ainsi elle tombe moins vite qu’elle ne tomberait si elle était seule. De plus , il est facile de trouver de combien sa chute est ralentie.

Soit" la vitesse qui serait due à la pesanteur après une seconde de temps; la masse y , si elle était libre, aurait donc au bout d’une seconde cette même vitesse g , et par conséquent une quantité de mouvement gy.

Soit x la vitesse inconnue que prennent en une seconde les masses m et y en tombant ensemble; la quantité de mouvement du système sera x (2 m-\- y) , puisque la masse qui se meut est d’une part m et de l’autre m-\- y , dont la somme fait 2 m -j- y. Or , dans une seconde , la masse y reçoit de la pesanteur la meme quantité de mouvement, soit qu’elle tombe d’une chute libre, soit qu’elle tombe d’une chute retardée par d’autres masses. Donc

x (2 m -j- y) — g y , d’où x = g.

C’est, dans la machine d’Atwood, la vitesse du corps qui tombe. Elle est toujours plus petite que g, et peut en être une aussi petite fraction qu’on voudra. Si l’on veut, par exemple , qu’elle en soit un centième , il suffit de poser

- , d’où 1 00 y = 2 m 4- y , et y = - - - .

c’est à-dire qu’à chaque instant la vitesse , dans la machine, d’Alwood , est la centième partie de la vitesse due à la chute libre , quand la masse additionnelle est la 49,5 partie d’une des masses primitives. En prenant, par exemple, y = 10 sret m — 495 sr- , la condition sera remplie.

Il y a un grand avantage à réduire ainsi la vitesse des corps qui tombent , puisque alors les espaces parcourus peuvent cire mesurés plus exactement, et la résistance de

l’air complètement négligée. Cette réduction de la vitesse est le vrai principe de la machine d’Atwood. Voici maintenant sa disposition :

1°. Pour éviter le frottement, on fait poser chaque extrémité de l’axe de la poulie sur deux autres poulies plus petites , dont les axes roulent sur des plans d’agate ( Figure 34 ) •

20. Pour mesurer les espaces avec exactitude , on dispose près de la colonne une règle verticale et divisée , que la masse m -f- [x doit suivre dans sa chute , sans la toucher. Sur cette règle se meuvent deux curseurs : l’un A , en forme d’anneau , pour laisser passer la masse m et pour arrêter la masse //. , que l’on fait un peu plus longue ; l’autre C , en forme de plan , pour recevoir la masse m et l’arrêter où l’on veut.

3°. Pour compter le temps pendant lequel le mobile s’est mu , en adapte auprès de la machine une horloge à secondes, et on la fait communiquer h une détente particulière qui soutient la masse m -j- jx vis-à-vis le sommet de la règle , où se trouve le zéro de sa division. A un instant donné , la détente part , le poids tombe , et l’horloge continue de marquer le temps qui s’écoule.

On fait les expériences de la manière suivante : On place l’anneau de la règle à une hauteur telle, qu’il arrête la niasse [x après une seconde de chute depuis l’instant du départ. Pour cela , on l’élève et on l’abaisse peu à peu , jusqu’à ce que le bruit de la masse [x , au moment où elle le frappe , coïncide juste avec le battement de l’horloge qui marque la fin de la seconde. Quant //.est arrêtée, tout le mouvement ne s’arrête pas; car les masses m ont une vitesse acquise, en vertu de laquelle elles continuent à se mouvoir ; seulement la pesanteur n’agit plus pour changer leur mouvement; /x étant enlevée , la force accélératrice est enlevée , et le mouvement qui succède est un mouvement uniforme. Or , d’après ce que nous avons dit (35) la vitesse

de cc mouvement uniforme est précisément celle du mouvement accéléré qui avait lieu à la fin de la première seconde , et pour la trouver il sulfit de placer le curseur C de telle sorte que m vienne le frapper juste une seconde après que fx est ôtée , c’est-à-dire deux secondes après le départ de [x. Alors la distance des deux curseurs A et G est l’espace que m a parcouru en une seconde en vertu du mouvement uniforme; c’est donc la vitesse de ce mouvement et aussi la vitese du mouvement accéléré. On fait une deuxième expérience en n’ôtant la masse /u. qu’après deux secondes ; on en fait une troisième en ne l’ôtant qu’après trois secondes , et l’on a ainsi la vitesse du mouvement accéléré après une , deux , et trois secondes. On trouve exactement que ces vitesses sont entre elles comme 1, 2, 3; donc elles croissent proportionnellement au temps ; donc le mouvement dont il s’agit est uniformément accéléré.

Ce résultat suffirait pour conclure que l’espace parcouru , en vertu du mouvement uniformément accéléré pendant un certain temps , est moitié de l’espace parcouru dans le même temps par le mouvement uniforme qui lui succède. Mais on le voit directement ; car , dans chacune des expériences précédentes , la distance des curseurs est double de la distance de l’anneau au point de départ.

Pareillement on pourrait en conclure par le calcul que les espaces sont comme les carrés des temps ; mais il est facile d’imaginer comment on peut le démontrer aussi par le moyen de la machine.

Ces expériences s’accordent avec celle de Galilée, pour prouver que la pesanteur , qui s’exerce à la surface de la terre , est une force accélératrice constante. Déjà la chute dans le vide a fait voir qu’elle s’exerce également sur toute espèce de corps. Ainsi, toutes les molécules matérielles , quelle que soit leur forme ou leur nature , sont constamment soumises à l’action de cette force.

D’après cela , les lois du mouvement qu’elle imprime sont

exprimées par les formules générales du mouvement uniformément accéléré (54),

v=gt

e=gA

dans lesquelles il reste à mettre pour g la valeur qui convient à la pesanteur. On se rappelle que g représente les vitesses que la force accélératrice imprime au mobile pendant l’unité de temps , et l’on se rappelle aussi que cette vitesse est double de l’espace que la force fait parcourir pendant la même unité ; ainsi g est un espace ou une longueur. Nous indiquerons plus tard un moyen très-exact d’en trouver la mesure , et nous verrons qu’en prenant la seconde pour unité de temps , la valeur de g est à Paris

Avec cette donnée on peut s’exercer à résoudre plusieurs problèmes sur le mouvement des corps pesons.

i °. Un corps tombe pendant cent secondes : quelle vitesse a-t-il à la fin de sa chute , et quel est l’espace qu’il parcourt ?

2°. Un corps a parcouru mille mètres dans sa chute : pendant combien de temps est-il tombé ?

3°. Quel est l’espace qu’un corps parcourt depuis la vingtième jusqu’à la trente-septième seconde de sa chute ?

4°. On donne au mobile une impulsion verticale de haut en bas , qui lui imprimerait un mouvement uniforme , dont la vitesse , exprimée en mètres , serait de a en une seconde ; quel est l’espace qu’il parcourt en vertu de cette impulsion et de la force de la pesanteur ?

C’est un principe de mécanique , que , quand deux forces sollicitent un mobile dans le même sens , sa vitesse est la somme des vitesses , et l’espace qu’il parcourt la somme des espaces dus à chaque force.

Ainsi, après le temps t , sa vitesse sera v=.gt-\-a et

i> gt1

I espace e— - (- n£.

5°. On donne au mobile une impulsion verticale de bas en haut , qui lui imprimerait un mouvement uniforme dont la vitesse serait de a mètres en une seconde; h quelle hauteur arrivera-t-il avant de s’arrêter, et quelle vitesse aura-t-il en revenant au point de départ ?

II résulte du principe précédent que les vitesses et les espaces se retranchent , quand les forces agissent en sens contraire, xiinsi les équations du mouvement sont ici :

v = a — gt st 2

e—at -

gt va croissant avec le temps; ainsi la vitesse v décroît sans cesse, elle sera nulle quand on aura a = gt, ou quand il

sera écoulé un temps égal à — . Alors l’espace parcouru

sera , en mettant pour t cette valeur dans la seconde équa-

tion, e = - g — - = . - = . L est la hauteur que

le mobile peut atteindre. Arrivé lh , il retombe de sa chute naturelle avec des vitesses toujours croissantes. Revenu en-

fin au point de départ , il aura parcouru l’espace — ; ainsi

, . a1 st 2

n aura employé un temps donné par l’équation — = - ,

cest-à-dire un temps t = — ; c’est justement le temps qu il avait mis à monter; il aura donc h cet instant une vi-

tesse v — 8’~ > ou v = a; c’est la vitesse qu’il avait en paréT

tant.

Ainsi, un mobile pesant, lancé verticalement, ne met pas plus de temps à monter jusqu’au point où il s’arrête qu’il n’en met à redescendre naturellement de ce point au point de départ; et la vitesse qu’il acquiert en revenant est la même qu’il avait en allant.

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