CHAPITRE VIIE

Principes de C hydrodynamique et de l’hydraulique.

99. L’hydrodynamique a pour objet de déterminer les principes du mouvement des fluides ; l’hydraulique est l’application de ces principes à l’art de conduire les eaux et de les faire servir à mouvoir les machines.

100. La question du mouvement des fluides est l’une des plus importantes de la mécanique rationnelle; mais aussi elle est une des plus compliquées et des plus difficiles. Une masse fluide étant en repos , il ne faut , pour la mettre en agitation dans toute son étendue, qu’un léger dérangement dans une seule de ses molécules ; et les mouvemens qui en résultent sont modifiés par tant de causes , soit dans leurs vitesses , soit dans leurs directions , qu’il est h peine possible de concevoir la variété et la complication des phénomènes auxquels ils peuvent donner naissance. Cependant nous possédons sur ce sujet quelques lois fondamentales , déterminées par la théorie, et une foule d’expériences, qui, sans être soumises au calcul , présentent de très-utiles applications dans les arts,

101. De l’écoulement des liquides par les orifices en minces parois. — Les parois des vases qui contiennent des liquides supportent en général deux pressions {Fig. 124) '■ l’une , qui s’exerce de dedans en dehors, et qui repousse la paroi; l’autre , qui s’exerce de dehors en dedans , et qui tend à l’enfoncer. La première résulte des pressions de la colonne liquide qui s’élève au dessus du point de la paroi que l’on considère , et du poids que cette colonne elle-même peut

supporter à son sommet ; la seconde est la pression atmosphérique, ou en général la pression du milieu qui enveloppe le vase. Lorsqu’on perce une ouverture , soit dans le fond , soit dans la paroi latérale , il y a une condition pour que le liquide s’écoule : c’est que la pression intérieure , qui tend à produire l’écoulement , soit plus grande que la pression extérieure , qui tend à l’empêcher. La nécessité de cette condition est évidente d’elle-même ; mais elle peut aussi se montrer par l’expérience. Lne éprouvette OR {Fig. i4o) est remplie d’eau , on en recouvre l’ouverture d’un petit disque de papier joseph; on la retourne, et la colonne liquide reste suspendue : l'écoulement est impossible , h moins que la hauteur de l’éprouvette ne soit de plus de 52 pieds ; car h l’ouverture , la pression de haut en bas , qui est due au poids du liquide , est moindre que la pression de bas en haut , qui est due ii l’atmosphère. Si l’éprouvette était remplie de mercure , il suffirait de lui donner un peu plus de 28 pouces de hauteur , pour que le liquide pût s’écouler. En faisant cette expérience avec un tube dont l’ouverture est très-étroite , on peut supprimer le disque de papier joseph , ou tout autre obturateur analogue ; mais si l’ouvertnre a seulement deux ou trois millimètres de diamètre , l’obturateur devient indispensable. La pression de l’air s’exerçant immédiatement sur la surface mobile du liquide , en refoule toutes les parties avec plus ou moins de force; et quand cette surface a quelque étendue , elle est déformée et enfoncée par l’air , qui s’ouvre un passage pour gagner le sommet du tube. On dit alors que la colonne liquide est divisée.

L’étendue nécessaire pour pour produire ce phénomène dépend de l’intensité de la pression , de la nature du liquide , et aussi de la nature des parois ; mais en général les colonnes plus étroites que 1 millimètre ne se divisent jamais. Nous considérerons toujours , dans ce qui va suivre , l’écoulement résultant d’un excès de pression , et non pas

l'écoulement irrégulier qui se produit par la division de la colonne liquide.

102. Pour déterminer les lois mathématiques de l’écoulement des fluides, on admet, en général , l'hypothèse du parallèlisme des tranches. On conçoit un orifice en mince paroi {Fig. 125) , horizontal ou latéral, mais qui soit trèspetit par rapport aux dimensions du vase: et l’on admet que , pendant l’écoulement , toutes les molécules liquides qui composent une tranche horizontale très-mince sont animées de la même vitesse ,* qu’elles descendent ensemble , sans se quitter , se moulant en quelque sorte sur les diverses sections du vase pour former une tranche plus mince ou plus épaisse , suivant que la section où clics passent est plus large ou plus étroite. D’après cette hypothèse on calcule la vitesse que doivent prendre les molécules en passant par l’orifice. M. Cauchy admet l’hypothèse de la permanence des filets fluides, il suppose que , la régularité de l’écoulement étant établie , toutes les molécules qui parlent du même point du niveau doivent décrire la même courbe pour arriver h l’orifice , et qu’en passant aux mêmes points elles ont toujours la même vitesse. Dans tous les cas , le niveau supérieur étant variable , la pression qui s’exerce ù l’orifice est elle-même variable, et produit des vitesses différentes. L’écoulement le plus simple que l’on puisse considérer est celui qui s’établit sous une pression constante.

103. Divers moyens de produire une pression constante. — Nous indiquerons seulement trois moyens généraux de produire des pressions constantes: i° par le trop plein , 2° par le flotteur de M. deProny, 3°par le vase de Mariette.

104. Le trop plein peut s’oblenir de diverses manières; la plus simple et la plus exacte paraît être la suivante : R {Fig. 1 20 ) est un réservoir, s une soupape qui se lève plus ou moins , l un tube, ce' une caisse, et o l’ouverture par laquelle le liquide s’écoule. On donne de l’euu par la soupape s, autant qu’il s’en écoule par l’ouverture o. Le

DE LA PESANTEUR. - CHAP. VIII. 1q5

niveau se maintient exactement h la hauteur nn'; le tube t et la caisse ce’ sont destinés à empêcher l’agitation que pourrait produire l’eau par sa chute : car les plus faibles mouvemens , même à la surface supérieure , peuvent avoir une influence sur la dépense.

io5. Flotteur de M. de Prony. — ABCD [Fig. 129 et 1 5o) est une grande cuve rectangulaire divisée en trois comparlimcns C,, C,, C3 par les deux petites cloisons ce ; le niveau de l’eau passe au dessus de ces cloisons; F et F sont les deux vases composant le flotteur; ils plongent chacun dans l’un des compartimens extrêmes , et servent h faire passer l’eau dans le compartiment moyen qui fournit h l’écoulement ; lie st une grande plaque de métal dans laquelle s’ajustent les orifices et les ajutages par lesquels on veut faire passer le liquide : elle est vue de face figure 129 , et de profil figure i5o.

Les vases F , F du flotteur sont en feuilles de cuivre irès-minces ; leurs parois sont renforcées par de petites tringles de fer t , qui viennent s’adapter aux grandes tringles T : celles-ci forment un rectangle supporté par le flotteur, et soutenant lui-même un vaseV, qui est disposé au dessous de la cuve, et un entonnoir er destiné à conduire dans le vase les produits de l’écoulement.

L’équilibre étant établi , si l’on enlevait 10 kilogrammes d’eau dans l’intérieur de la cuve, le niveau baisserait d’une certaine quantité : mais le même poids de 10 kilogrammes placé dans le flotteur, soit en haut dans les vases F, F, soit en bas dans le vase V, ramènerait le niveau exactement au même point; car le flotteur, devenu plus pesant de 10 kilogrammes, déplacerait de plus 10 kilogrammes d’eau, et produirait donc en s’enfonçant le même effet que si l’on avait remis dans la cuve les 1 o kilogrammes d’eau que l’on en avait ôtés. Pour avoir le même niveau pendant l’écoulement , tout se réduit donc à charger le flotteur à chaque instant d’un poids égal au poids de l’eau qui coule par l’o-

riüce. C’est là précisément ce que fait l’entonnoir er , en conduisant dans le vase V toute l’eau qui sort de la cuve. 11 est vrai que le liquide qui est en chemin entre l’orifice et l’entonnoir n’exerce pas encore sa pression pour rétablir le niveau ; mais il est facile de tenir compte de la différence.

106. Vase de Mariotlc. — Cet appareil est représenté (Fig. 126, 127 et 128). t est un tube, qui peut glisser dans le bouchon de la tubulure b , et dont l’extrémité inférieure est successivement ou abaissée au point p, au dessous du niveau nv de l’ouverture latérale , ou relevée au point lt, au dessus du même niveau. L’ouverture latérale est assez étroite pour que la colonne liquide ne puisse pas se diviser. Le tube étant en p (Fig. 1 26) , et complètement rempli d’eau ainsi que le flacon, il est clair que le liquide doit s’écouler par l’orifice latéral v ; car la pression intérieure se compose de la pression atmosphérique qui s’exerce au sommet du tube et de la pression due au poids de la colonne liquide sn , tandis que la pression extérieure n’est que la pression atmosphérique. Le liquide jaillit en effet, et le niveau tombe rapidement dans l’intérieur du tube depuis le point 5 au point 11; Jà il s’arrête , et tout écoulement cesse. Le vase reste plein , l’orifice v reste ouvert, et cependant pas une goutte de liquide ne s’échappe. Sur toute l’étendue de la couche horizontale n'nv la pression étant la même qu’au point n, c’est-à-dire une pression atmosphérique, il n’y a plus de raison pour que le liquide s’écoule. Sur une autre coùche , telle que c1c, la pression n’est pas due seulement au poids de la colonne supérieure , mais elle est égale à une pression atmosphérique diminuée de la colonne ç'n'. Que l’on fasse maintenant glisser le tube pour le remonter jusqu’au point h (Fig. 127J; à l’instant même l’écoulement recommence, des bulles d’air se forment à l’extrémité inférieure du tube, se gonflent, se détachent, et montent à la file dans la partie supérieure du vase. L’écouleinent continue de la sorte , avec une vitesse constante ,

DE LA PESANTEUR. - CHAP. Yllf.

pendant tout le temps que le niveau du liquide descend depuis le sommet du vase jusqu’en h; car la pression sur la couche n'nv se compose alors de la pression atmosphérique qui s’exerce en h , et de la pression qui est due au poids de la colonne hn ; pressions qui restent l’une et l’autre constantes, aussi long-temps que le niveau n’est pas tombé jusqu’en h ; à partir de cet instant la vitesse d’écoulement diminue de plus en plus jusqu’à devenir tout-à -fait nulle quand le niveau est arrivé au point n. Le vase de Mariotle peut être présenté sous une grande variété de formes , soit avec un orifice latéral pour l’écoulement , soit avec un orifice horizontal comme l’indique la figure 128.

107. Thcorcme de Torricelli. — Dans un appareil où la condition de l’écoulement est remplie , où l’hypothèse du parallélisme des tranches ou de la permanence des filets peut avoir lieu ; et où le niveau est maintenu constant par l’un des moyens que nous venons d’indiquer , la loi de l’écoulement est déterminée par le théorème suivant , que l’on appelle théorème de Torricelli : Les molécules, en sortant de l'orifice, ont la meme vitesse que si elles fussent tombées librement dans le vide , d'une hauteur égalé à la hauteur du niveau au dessus du çentre de l’orifice. Il résulte de celte proposition trois conséquences importantes.

Premièrement. La vitesse d’écoulement ne dépend que de la profondeur de l’orifice au dessous du niveau , et nullement de la nature du liquide; car tous les corps en tombant de la même hauteur dans le vide , acquièrent la même vitesse. Ainsi le mercure et l’eau (Fig. 1 44) prennent la même vitesse , lorsqu’ils s’écoulent par des orifices qui sont à la même profondeur au dessous du niveau. Cependant le mercure est poussé par une pression bien plus grande que l’eau. La profondeur de l’orifice étant , par exemple , de 32 pieds, leau ne serait poussée que par la pression d’une atmo sphère, tandis que le mercure serait poussé par une pression de 1 3 atmosphères et demie.

Secondement. Pour un meme liquide les vitesses d’écoulement sont comme les racines carrées des profondeurs des orifices au dessous du niveau; car les vitesses des corps pesans sont entre elles comme les racines carrées des hauteurs d’où ils sont tombés. Ainsi dans un vase qui aurait, par exem ple , cent pieds de hauteur, si l’on perçait deux orifices, l’un à un pied de profondeur et l’autre sur le fond h cent pieds de profondeur, la vitesse du liquide, sortant par le dernier, serait seulement dix fois plus grande que la vitesse du liquide sortant par le premier. Cependant la seconde pression serait cent fois plus grande que la première.

Troisièmement. Si la pression qui s’exerce au sommet de la colonne liquide était plus grande que la pression extérieure qui s’oppose ù l’écoulement, cet excès de pression serait équivalent au poids d’une colonne de même liquide d’une certaine hauteur; et alors la vitesse des molécules qui s’écoulent serait la même que si elles fussent tombées du sommet de cette seconde colonne, qu’il faut concevoir comme ajoutée au dessus de la première. Ce serait le contraire si la pression extérieure était plus grande que la pression qui s’exerce au dessus du liquide.

108. Contraction de la veine fluide. — Avant de vérifier par l’expérience le théorème de TorriçelJi et les trois autres lois de l’écoulement qui en sont une conséquence , nous devons faire connaître le phénomène curieux de la Coutraction de la veine. Supposons que le liquide jaillisse d’un vase par uu orifice circulaire percé en mince paroi. La veine fluide sera verticale ou parabolique suivant que l’ouverture sera faite au fond du vase ou sur sa paroi latérale : dans les deux cas on sait qu’elle se moule en quelque sorte sur la forme de l’orifice , et qu’elle s’étend à une assez grande distance avant de se diviser et de s’éparpiller en gouttes. Entre la paroi et le point où elle se divise , la veine iluidc prend une surface polie, et une forme permanente; malgré le mouvement rapide des molécules qui se succè-

Dli LA PESANTEUR. — CIJAP. VIN. IQQ

dent incessamment, clic offre l’apparence d’une veine de cristal qui serait parfaitement immobile. L’orifice ayant, par exemple , un centimètre de diamètre , la section de la veine est d’un centimètre à son origine, mais h quelques millimètres de distance, la section diminue, et elle diminue de plus en plus sans cesser d’être circulaire jusqu’à une certaine limite, où se trouve ce que l’on appelle la section contractée ; passé ce point , la section augmente de nouveau jusqu’à l’instant où la veine se divise par l’accélération de la pesanteur et par la présence de l’air. Dans les figures 1 35 1 58 , ss est la section contractée.

L’écoulement qui se fait par de grandes ouvertures présente aussi le phénomène delà contraction de la veine, mais sur une autre échelle et avec d’autres circonstances extrêmement remarquables. Pour en donner une idée , je citerai ici , sur les veines carrées, quelques observations qui sont dues à MM. Poncelet et Lesbros , capitaines du génie; ces observations sont tirées d’un immense travail qui a été exécuté par ces deux habiles ingénieurs à l’École d’application de Metz , et dans lequel on trouve une foule d’expériences du plus grand intérêt , parce qu’elles sont nouvelles, et parce qu’elles ont été dirigées et décrites avec une précision qui ne laisso rien à désirer.

Dans l’une de ces expériences , la veine sort par un orifice vertical , percé en minces parois , de forme carrée , ayant 20 centimètres de côté , sous une charge de im,68, prise au dessus de la base de l’orifice.

Les résultats en sont représentés dans les figures 1 3 1 , i3a, 1 55 et 1 34-- La figure 1 3 1 est la section de l’orifice, et les figures 1 02 , 1 35 et 1 54 représentent les sections de la veine par des plans verticaux parallèles à l’orifice, et pourdes-distanccsqui sont respectivement de 20, 5o et 4o centimètres.

La lettre II indique partout la partie supérieure de la veine. En comparant d’abord la figure 1 5 1 à la figure 1 54 » l’on reconnaît le phénomène de Y inversion de la veine, c’est-

à-dire que vis-à-vis les angles de l’orifice sont les milieux des côtés de la veine, et réciproquement vis-à-vis les angles de la veine sont les milieux des côtés de l’orifice. Cette inversion n’est pas subite : elle se fait par degrés , comme on peut le voir sur les figures i32 et i33, qui représentent les sections faites à 20 et à 5o centimètres. A une petite dis tance de l’orifice les angles du carré disparaissent et sont remplacés par de petites facettes sensiblement planes , tandis que les côtés du carré s’infléchissent en dedans et paraissent un peu concaves lorsqu’on les regarde du dehors. A mesure que la veine s’éloigne de l’orifice , les facettes s’élargissent de plus en plus et se creusent à leur tour, tandis que les côtés diminuent; de telle sorte qu’à 20 centimètres de distance [Fig. i32) la section de la veine est octogonale': ses huit côtés' sont presque égaux et également infléchis vers le centre; seulement* on remarque en B , à la partie inférieure, une irrégularité singulière : c’est une arête saillante de rebroussement vers le milieu du côté. Au delà de 20 centimètres ces effets continuent dans le même sens; et à 5o centimètres {Fig. i33), les faces correspondantes aux côtés de l’orifice ont disparu complètement, celle d’en haut et celle d’en bas se sont arrondies , tandis que les deux latérales se sont creusées d’une manière assez bizarre. Enfin , à 4° centimètres toutes les arêtes de rebroussement s’effacent , et la section de la veine n’a plus que quatre côtés un peu courbés en dedans et sensiblement égaux. Cette figure se conserve au delà de 4° centimètres , seulement ; les faces se creusent davantage et les pointes deviennent plus saillantes.

Le maximum de contraction , ou plutôt la section contractée, se Irouye à 3o centimètres : c’est la section de la figure i55. Sa surface est seulement les o,5G de celle do l’orifice; c’est-à-dire que pour celle veine le coefficient de contraction est o,56.

Quand les orifices ne sont pas circulaires, les points de la

surface de la veine, qui sont les plus rapprochés de l’axe , et qui forment , à proprement parler, la section contractée, se trouvent en général sur une courbe h double courbure.

Plusieurs physiciens ont essayé de déterminer, soit directement , soit indirectement, le rapport qui existe entre la section contractée et la section de l’orifice , et tous s’accordent h conclure que pour les orifices qui ont seulement quelques centimètres de côté ce rapport est compris entre o,6 et 0,7; c’est-à-dire qu’à son minimum]^ section de la veine n’est plus que les 6 dixièmes , ou les 7 dixièmes , ou environ les ,|-de la surface de l’ouverture. C’est ce rapport que l’on appelle le coefficient de contraction.

La distance de la section contractée à la face intérieure de la paroi est , en général , un peu plus grande que le rayon de l’orifice quand l’orifice est petit; mais, pour des ouvertures plus grandes, la section contractée paraît s’éloigner davantage.

Ces résultats sont à peu près indépendans de la forme de l’orifice et de la pression sous laquelle le liquide s’écoule. Seulement , pour des orifices dont le diamètre est moindre qu’un centimètre, la contraction est moindre que 0,7; ce qui tient sans doute à ce que l’épaisseur des parois devient alors sensible , et produit un effet analogue à l’effet des ajutages, dont nous parlerons plus loin.

Lorsque la pression qui s’exerce au dessus d’un orifice horizontal est très-faible , il se fait une contraction d’une autre espèce {Fig. 109) ; le liquide remplit encore l’orifice , mais il glisse des parois vers le centre pour former un filet qui est quelquefois très-petit. C’est ce que M. Hachette appelle une veine secondaire.

La contraction de la veine résulte de la convergence des divers filets fluides qui la composent. Si toutes les molécules se présentaient à l’orifice avec des vitesses parallèles à l’axe de la veine , il n’y aurait point de contraction , parce qu’il n’y auraitpointdc raison pour qu’elles fussent déviées de

la ligne directe de leur mouvement; mais le liquide , appelé par l’écoulement , et poussé par la pression , se précipitant vers l’orifice dans toutes les directions possibles , il faut bien que la convergence de ces vitesses se manifeste au dehors par un rétrécissement. Cette cause de la contraction ne peut être qu’indiquée; le calcul ne saurait y“atlelndrc.

La division de la veine à une certaine distance de l’orifice n’est pas seulement produite par la présence de l’air; elle a lieu dans le vide, et elle résulte de l’accélération due h la pesanteur. Deux molécules qu’on laisserait tomber du même point , à une seconde d’intervalle , seraient , au point de départ , à 1 5 pieds l’une de l’autre ; mais , après trois secondes , elles seraient à G5 pieds de distance, et après une minute , elles seraient à 1 785 pieds : c’est là précisément ce qui arrive aux différentes parties du liquide qui composent la veine. Deux molécules se suivent en passant par l’orifice , et après un certain temps , la première prend une avance sensible sur la seconde.

10g. Vérification expérimentale des lois de l écoulement.

• — L’appareil à flotteur de M. de Prony est un des plus commodes que l’on ait employés jusqu’à ce jour, dans les recherches exactes sur les mouvemens des fluides. Pour vérifier la première loi, ou le théorème de Torricelli, on adapte à la plaque (Fig. 129 et i5o) un orifice en mince paroi d’une grandeur connue , d’un centimètre , par exemple; on mesure la hauteur du niveau au dessus de son centre, et on observe la dépense pendant un temps très-exactement* déterminé. Cette dépense étant connue et évaluée en litres , il est très-facile d’en déduire le nombre L des litres qui se sont écoulés en 1 " ; alors on peut considérer ce volume comme un cylindre qui est passé par l’orifice , à peu près comme un fil passe à la filière , et dont la base est par conséquent la surface S de la veine contractée, tandis que sa longueur est l’espace parcouru en 1 " , c’est-à-dire la vitesse V de l’écoulement. D’où l’on déduit :