kCos.2a Sin.2 (t— i') î— - kCos. 2 a Taüg.4 (j— if

Sin.a {i -7- 1')

Tang.2

Lorsque K=x , cette formule reproduit celle que nous venons de donner pour la lumière complètement jpola-

risé, et lorsque k=o, elle reproduit celle que nous avons trouvée pour la lumière polarisée à 45° ou pour la lumière naturelle.

Mais un faisceau de lumière naturel d’une intensité égaie à i peut toujours, comme nous l’avons dit (6i4) -, être considéré comme composé de deux faisceaux ayant chacun une intensité [ et polarisés à angle droit. La valeur précédente de t est donc celle qui convient à la lumière naturelle; et l’on voit comment, au moyen de l’indice de réfraction d’une substance, on peut calculer aisément la proportion de lumière quelle réfléchit sous une obliquité quelconque.

5° Si la lumière tombe sous l’incidence perpendiculaire , on a

et l’expression de t devient alors £. Mais il est facile d’en trouver la véritable valeur; car n étant l’indice de réfraction , il est évident que pour de très-petits angles on peut substituer les angles eux-mêmes aux sinus et aux tangentes , et réciproquement, alors la loi de Descartes,

Sin. i— n Sin. i. se change en i—ni'.

Il en résulte d’une part

et de l’autre

Sin.2 (i — i ') / n — i \2

Sin. 2 (i-f-i') \ ra-j- 1 /

Tang.2 (i — i) / n—i \2

Tang.* ~ \ »+ 1 /

LUMIÈRE POLARISEE., p— CII VP. III.

et par conséquent

t= (Cos.3 A-)-Sin.3 a)

Ce qui prouve, comme on pouvait s’y attendre , que sous l’incidence perpendiculaire, la lumière se réfléchit toujours en même proportion, soit qu’elle se trouve à l’état naturel et sans être polarisée, soit qu’elle se trouve polarisée dans un plan quelconque.

6x6. Mouvement du plan de polarisation , par V effet de la réflexion.

Lorsqu’un rayon de lumièi’e polarisée se réfléchit sur une surface polie sous diverses obliquités , la portion réfléchie se trouve encore polarisée-, mais il arrive, en général, que son plan depolarisation a changé de direction. Si l’on suppose , par exemple , que le plan de polai-isation de la lumière incidente fasse un angle de /[5° avec le plan de réflexion, on pourra trouver que le plan de polarisation de la lumière réfléchie ne fait plus , avec ce même plan de réflexion , qu’un angle de 4o , 3o , 20 ou io° , ou même un angle tout-à-fait nul ; cela dépendra de l’incidence. C’est ce changement de direction que l’on appelle le mouvement du plan de polarisation. On dit que ce plan tourne de 10, 20 ou 3o° , quand l’angle qu’il faisait avec le plan d’incidence diminue ou augmente de 10, 20 ou 3o°. L’angle du plan de polarisation avec le plan d’incidence ou de réflexion se nomme aussi Y azimut du plan de polarisation.

C’est encore Fresnel qui a donné le premier une formule pour exprimer ce mouvement du plan de polarisation. Elle était d’abord restreinte au cas où l’azimut est de 45°, mais on l’a ensuite généralisée , et alors elle elle a pris la forme suivante :

Tang.A'œTang.A

Cos. ( i —J— i') Cos, (i — i')

A est l’azimut du plan de polarisation dans le rayon incident ;

k’ l’azimut du plan de polarisation dans le rayon réfléchi ;

i est l’angle d’incidence sous lequel s’accomplit la réflexion ;

i' l’angle de réfraction correspondant à l’angle d’incidence.

lise détermine par la relation Sin. i= n Sin. i',- n étant l’indice de réfraction de la substance réfléchissante.

i° Pour que l’on puisse avoir a = a' , il faut que l’on

ait . Cos. ( i -f- V ) =Cos. ( i — i' ) ;

condition qui ne peut en réalité être remplie que de deux manières :

par . i — 0° qui donne i = o° \

et par . ; . . £ = 90°, qui donne Sin. i1 =-^-.

D’où il suit que la réflexion perpendiculaire et la réflexion sous le plus grand angle possible sont les seules qui ne fassent pas changer l’azimut du plan de polarisation , quelle que soit sa valeur.

20 Les angles i et i' étant toujours plus petits quego0, il en résulte que Cos. ( i -f- i' ) est toujours plus petit que Cos. ( i — i'), et par conséquent Tang. a' toujours plus petit que Tang. A, ou k! toujours plus petit que A 5 c’est-à-dire que , dans son mouvement, le plan de polarisation se rapproche toujours du plan d’incidence.

3° Lorsque l’on a

ou, ce qui revient au même, quand le rayon tombe sous l’incidence de la polarisation complète (Gi3), on a toujours :

Cos. ( i -J- i') — o et Tang. a/ = o, a' = o.

Ainsi , sous l’angle de la polarisation complète , le rayon réfléchi se trouve toujours polarisé dans le plan d’incidence , quel que soit l’azimut du plan de polarisation du rayon incident.

Ce résultat fait comprendre comment le fait de la polarisation totale se trouve lié au mouvement du plan de polarisation par la réflexion , et combien il est conforme aux analogies de considérer un faisceau de lumière naturelle comme un faisceau composé d’une foule de rayons polarisés dans tous les azimuts; puisque la réflexion ramène dans le plan d’incidence les plans de polarisation de tous ces rayons.

4° Lorsque l’azimut du plan de polarisation est de 45° , on a Tang. a = i ; et

Cos.(i-f-i')

‘ cCos.(i- iry

Cette formule a été vérifiée parFresnel , sur des angles qu’il avait observés directement avant d’avoir découvert la loi générale qui enchaîne tous les mouvemens du plan de polarisation.

Voici le tableau de ces comparaisons , tel qu’il a été publié (Ann. dePhys. et de Chim., T. XVII, pag. 3i4) :

UVRB HUITIÈME,

Incidences. Azimut du plan de polarisation Différences,

après la réflerion.

Calculé Observé

Sur le

verre.

Sur 1’

eau.

M..Brewstcr , dans un mémoire tout récent ( Trans phil., i83o ), vient d’en donner deux autres vérifications qui s’étendent à des incidences plus variées.

Sur le verre.

Incidences. Angl. de réfrac. Azimut du plan de polarisation Différences.

après la réflexion.

Calculé. Observé.

to

CO

LUMIÈRE POLARISÉE. -*-» CIIAP» III,

Incidences.

Angl.

Je réfrac. Azimut du plan Je

polarisation

Différences.

après la rc'llesion.

Calculé.

Observé.

Go. . .

iG

Sur le diamant.

Go. . .

EnGn M. Brewster a fait une autre série d’observations pour vérifier la formule générale ; la réflexion avait lieu sur une lame de cristal de roche taillée parallèlement à l’axe. Pour une incidence de 75°, avec un azimut du plan de polarisation égale à 45° dans le rayon incident , on avait un azimut de 26° 20' dans le rayon réfléchi. Ainsi, pour ce cas particulier, la valeur de a' était 26° 20'; ce qui donne

Tang. 26° 20' =

Cos. ( i -}- i' )

Cos. ( i — v y

En conservant la même obliquité , i et i' restent les

mêmes ; on peut donner à A diverses valeurs, et calculer les valeurs correspondantes de a' par la formule

Tang. a' = Tang. A. Tang. 26° 20'.

Voici le tableau des résultats du calcul et de l’expérience :

Valeur» de A. Valeurs de A’ Différences.

Observée.

Calculée.

Les différences entre le calcul et l’observation sont toutà-fait dans les limites des erreurs d’observation , et l’exactitude de la formule générale se trouve ainsi confirmée d’une manière satisfaisante.

Tous ces mouvemens du plan de polarisation peuvent être représentés par une construction graphique qui a l’avantage de parler aux yeux. Prenons une ligne Q p ( Fig. 3so ) que nous diviserons en 90 parties égales ; supposons que cette ligne représente la direction du plan d’incidence sur la surface réfléchissante, et que les faisceaux incidens tombent successivent en différens points sur cette ligne avec des obliquités marquées par le rang de ces

points. Ainsi, au point v, oùestécrit o° , le faisceau tombera perpendiculairement 5 au point A, il tombera avec une incideuce de 20% avec une incidence de 4o° au point b , de 56° au point c, de 70° au point d, et de go° au point q. Supposons enfin que le plan de polarisation de tous ces iaisceaux incidens ait un azimut de 45° ; alors la ligne az , dans ses diverses positions , représentera le plan de polarisation du faisceau réfléchi. On voit que c’est à l’incidence de 56° avec la normale , ou de 34° avec la surface , que le plan de polarisation du faisceau réfléchi devient parallèle au plan de réflexion , et que de part et d’autre de cette position , c’est-à-dire pour des obliquités moindres ou plus grandes , le plan de polarisation change de côté : pour les obliquités moindi’es il est à droite du plan d’incidence, et il passe à gauche pour les obliquités plus grandes.

La figure 32 1 représente le mouvement du plan de polarisation pour un rayon polarisé ayant aussi un azimut de 45° , mais de l’autre côté du plan d’incidence.

Après avoir représenté graphiquement ce qui arrive aux rayons polarisés dans l’azimut de 45° , soit à droite , soit à gauche du plan de réflexion , il est facile d’en déduire ce qui arrivera à un faisceau de lumière naturelle. Car un tel faisceau, d’une insensité égale à 1 , peut être regardé comme composé de deux faisceaux ayant chacun une intensité égale à 1/2 et polarisés à angle droit ( 3 1 4 ); or, si nous supposons que l’un de ces faisceaux composans ait son plan de polarisation dans l’azimut de 45° et à droite du plan d’incidence, l’autre faisceau devra avoir aussi son plan de polarisation dans l’azimut de 45°, mais à gauche du plan d’incidence. Par conséquent les phénomènes de la lumière naturelle ne sont que la superposition des phénomènes représentés dans les fig. 320 et 321 -, c’est ce qui est représenté dans la fig. 322. Il en résulte que, sous 1 incidence perpendiculaire, le faisceau réfléchi est sans polarisation, comme le faisceau incident; car il est, comme

lui , composé de deux faisceaux d’égale intensité et polarisés à angle droit. A mesure que l’incidence augmente , les plans de polarisation se rapprochent graduellement 5 et quand la réflexion a lieu sur le verre , ils deviennent enfin parallèles entre eux et au plan de réflexion, pour l’incidence de 56°; c’est-à-dire qu’alors le rayon réfléchi est complètement polarisé dans le plan de réflexion : au delà de cette limite, et pour toutes les incidences plus grandes, chacun des plans de polarisation continue à tourner dans le même sens, celui de droite passant à gauche du plan d’incidence , et celui de gauche passant à droite : et enfin, pour l’incidence de 90% les deux plans de polarisation se retrouvent perpendiculaires entre eux, chacun ayant repris un azimut de 45° de l’autre côté du plan d’incidence. Ces résultats vont nous servir à expliquer la polarisation partielle et la polarisation complète , qui résulte de plusieurs réflexions successives.

61 y . Polarisation partielle et polarisation complète produite par plusieurs réflexions successives. Quand un faisceau de lumière naturelle se réfléchit sous un angle plus grand ou plus petit que celui de la polarisation complète, il présente toutes les apparences d’un faisceau partiellement polarisé. Pour s’en assurer, il suffit de l’observer avec une plaque de tourmaline ; car l’image ne disparaît en totalité pour aucune position de la plaque 5 mais elle change d’intensité à mesure que la plaque tourne dans son plan. Plusieurs physiciens regardaient cette lumière mélangée comme composée de deux faisceaux , l’un ayant conservé son état naturel, et l’autre ayant été polarisé dans le plan d’incidence. Mais M. Brewster n’avait point partagé cette opinion ; dès 181 5 il en avait émis une autre , dont il me semble avoir démontré la justesse dans un travail remarquable qu’il vient de publier ( Transactions philosophiques, i83o). M. Brewster assimile toujours un faisceau de lumière naturelle d’une intensité = 1 à un

système de deux faisceaux d’une intensité ~ , et polarisés chacun dans l’azimut de /[5°, l’un à droite et l’autre à gauche du plan d’incidence. Il en conclut par conséquent qu’un faisceau naturel , qui se réfléchit sur du verre , sous un angle de 4o° par exemple {Fig. 322), se trouve, après la réflexion , composé de deux faisceaux polarisés, l’un dans l’azimut de 23° i ' à droite du plan d’incidence, et l’autre dans l’azimut de 23° î ' à gauche du même plan. Ainsi, après la réflexion , il n’y a plus de lumière naturelle , suivant M. Brewster ; tout est polarisé: mais tout ne semble pas l’être ; car, si l’on vient analyser le faisceau réfléchi , soit avec la touimaline, soit avec un prisme biréfringent, il est facile de voir qu’il paraîtra composé de deux parties, l’une naturelle, l’autre polarisée dans le plan d’incidence. C’est cette apparence qui avait trompé les observateurs. M. Brewster ne se contente pas de montrer que son opinion est une conséquence nécessaire du mouvement du plan de polarisation 5 il calcule encore la proportion de lumière qui doit , pour chaque incidence , paraître polarisée dans le plan de réflexion; et il détermine enfin tous les effets des réflexions successives pour polariser la lumière.

Voici la formule qui donne la proportion de lumière polarisée par la réflexion sous une incidence quelconque, soit pour un faisceau de lumière mélangée, soit pour un faisceau naturel.

Concevons un faisceau de lumière composé de deux autres faisceaux degale intensité, polarisés dans l’azimut a , l’un à droite du plan d’incidence , et l’autre à gauche du même plan.

Soit | l’intensité de chacun de ces faisceaux incidens , et par conséquent 1 l’intensité totale de la lumière incidente.

La portion totale t de lumière réfléchie sera donnée par la formule

Sin.3 (/' — i') Sin.3(é -J- i')

. Cos.3 A

Tang.3 (i — j7) Tang.3 (i-f-i')

. Sin. A.

Elle se compose de deux parties, égales à — , produites par chacun des faisceaux réfléchis.

' Soit a' l’azimut du plan de polarisation après la réflexion, cet azimut sera à droite du plan d’incidence pour l’un des faisceaux , et à gauche pour l’autre ; il sera donné par la formule

Tang. A' = Tang. A.

Cos. (i -]- i1) Cos. (i — i ')

Maintenant, si l’un des faisceaux réfléchis , par exemple celui dont l’azimut est à droite, est reçu par un prisme biréfringent dont la section principale coïncide avec le plan d’incidence, il donnera deux images ; l’une ordinaire, ayant une intensité

— Cos.3 A' :

l’autre extraordinaire, ayant une intensité

— Sin.3 a'.

Le faisceau dont l’azimut est à gauche donnera pareillement pour son image ordinaire

- Cos.3 A' ,

et pour son image extraordinaire

— Sin.3 a'.

Ainsi l’image ordinaire totale sera t. Cos.3 A',

et l’image extraordinaire

t Sin.1 A'.

La portion de lumière k, qui paraît polarisée dans le plan d’incidence ou dans la section principale du prisme, est évidemment donnée par la différence d’inteusité qui existe entre la première et la seconde de ces images : ainsi

K = x Cos. T A' — t Sin.1 a' = t (i — 2 Sin.1 a').

Pour avoir la valeur de k il resle seulement à mettre pour t sa valeur précédente et pour Sin. a' sa valeur tirée de l’équation eu Tang. a\

Cos , a Tang.- (f-Q Sin.2(«-{-1) Tang.1 (i -J- i')

|Cos.1(i — V) — Tang.1 a Cos.1 (i -f- i')\

(cos.1 (i — î^-j-Tang.1 a Cos.1 (i i')j

Sin1.

Telle est la proportion de lumière qui paraît polarisée dans le plan d’incidence, après une réflexion sous l’angle i, lorsque le faisceau incident est composé de deux autres faisceaux polarisés dans l’azimut a , l’un «à droite et l’autre à gauche du plan d’incidence.

Pour appliquer cette formule au cas où la lumière incidente est de la lumière naturelle, il suffit de supposer A = 45° ; alors

Et

Cos.1 A=i, Sin.1 A = f, Tang.1 à= i.

Sin.1 (i — «i') [ Tang.1 (i — i')l Sin.1 (i -j- i') 1 Tang.1 (i — i'j J

JCos.1 ( i — i') — Cos.1 (i -}- i")\ ^Cos.1 (i — i') — Cos.1 ( i -j- i'))

M. Brewsler a calculé le tableau suivant des valeurs de

k, déduite de cette formule, pour toutes les incidences, depuis o° à 90° 5 dans l’hypothèse que la réflexion a lieu sur du verre pour lequel l’indice de réfraction est égal à

l. 525 5 n— 1.525 ] les intensités des faisceaux incidens et réfléchis ont été multipliés par 1000.

nple cl’ln-

Angle de

Azimut du plan Quantildto-

Quantité de

Rapport

cideucc.

rcfïactiou.

Je polar, de la lumière réfléchie.

laie de lumière réfléchie.

lumière polorisce dans le plan ]

de réflexion.

d’intensité entre la lumière polarisée et réfléchie.