CHAP. I. — RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE

corps nbaisser des perpendiculaires sur le plan , et prolonger chacune d’une quantité égale ü elle-même; renserable des extrémités de ces perpendiculaires prolongées forme l’image symétrique.

S’il existait des surfaces réfiéchissantes parfaitement polies, l’œil ne pourrait ni les distinguer, ni même en soupçonner l’existence ; car les corps ne sont perceptibles à distance ■que par les rayons irrégulièrement réfléchis à leur surface, et tous les rayons régulièrement réfléchis font voir les points lumineux d’où ils sont sortis et non pas les léflecteurs sur lesquels ils tombent. Si le globe de la lune, par exemple, était poli comme la surface d’un globule de mercure , nous ne pourrions pas le voir en le regardant, mais nous verrions seulement l’image du soleil qui l’éclaire.

Dans le même milieu parfaitement homogène, la lumière peut se mouvoir indéfiniment sans éprouver la moindre réflexion régulière; mais toutes les fois qu’elle se présente pour passer d’un milieu dans un autre, clleéprou\eà la surface de séparation de ces milieux une réflexion régulière plus ou moins abondante.

Si la direction de la lumière réfléchie est déterminée avec une précision géométrique, il n’en est pas de même de sou intensité. Sur ce point difficile dont nous nous occuperons à la tin de l’optique, on sait seulement:

1“ que la quantité de lumière régulièrement réfléchie va croissant avec l’angle d’incidence , sans toutefois être nulle quand cet angle est nul ;

2° qu’elle dépend du milieu dans lequel la lumière se meut et du milieu sur lequel elle tombe;

; ® qu’elle est très différente pour des corps de différente» nature qui sont placés dans les mêmes circonstances.

Nous citerons quelques exemples à l’appui de ces résultats généraux pour les faire mieux comprendre.

En regardant la flamme d’une bougie par réflexion sur un morceau de verre dépoli, on nedistingue pas sonimagequanJ

l’angle d’incidence est très petit, mais on la distingue assez nettement quand cet angle est très grand. On peut même alors la distinguer sur un morceau de bois, ou d’étoffe, ou même sur un morceau de papier noirci au noir de fumée. Ces expériences prouvent en môme temps que tous les corps réfléchissent régulièrement une certaine proportion de la lumière qu’ils reçoivent, et que cette proportion va croissant avec l’obliquité des rayons.

370. Goniomètre de Wollaston. — Les lois de la réflexion de la lumière ont été appliquéesà la mesure des angles dièdres des corps polis et particulièrement des cristaux. Les appareils dont on se sert pour cet objet se nomment des ÿomomètres ; nous nous bornerons à décrire ici le goniomètre de Charles.

Cét appareil est représenté dans la figure 145 : il se compose d’un cercle de cuivre a, porté par un pied à trois vis calantes qui servent à le mettre horizontalement ; sur ce cercle se monte une alidade b formant vers le centre une capsule c, sur laquelle on dispose avec de la cire molle le prisme ou le cristal dont on veut mesurer les angles ; la seule condition à remplir est que l’arête qui forme le sommet dê l’angle dièdre dont on cherche la mesure soit bien exactement verticale et par conséquent parallèle à l’axe de rotation de l’alidade sans avoir une trop grande excentricité ; pour cela on se sert de la lunette fixe d, au foyer de laquelle se trouvent disposés des fils parallèles et verticaux; avec cette lunette on regarde une ligne verticale éloignée, comme un paratonnerre ou l’arête d’un édifice, puis, après avoir constaté la coïncidence de cette ligne avec l’un des fils microraétriques de la lunette, on regarde cette même ligne par réflexion sur l’une des faces de l’angle dièdre, et ensuite sur l’autre face du même angle ; si ces deux images réfléchies que l’on obtient successivement en faisant tourner l’alidade viennent l’une et l’autre tomber sous le même fil micrométrique, il est évident que les deux faces de l’angle dièdre sont l’une

ClIAP. I. — RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE. 1,^5

et laulre verticales au raoraent où elles réfléchissent l’image de la ligne qui sert de mire : par conséquent elles sont toujours verticales pendant le mouvement de rotation, et l’arête de l’angle dièdre est elle-même verticale. Il suffit de quelques tâtonnemens pour arriver à cette coïncidence. Lorsqu’elle est bien constatée, on met l’alidade au zéro de la division du cercle a , et Ton fait tourner ensemble le cercle et l’alidade jusqu’à ce que l’image réfléchie de la mire tombe sous le fil micrométrique central ; alors on fixe le cercle par sa vis de pression , et l’on fait tourner l’alidade seule jusqu’à ce que l’image réfléchie sur l’autre face vienne tomber sous le même fil, et l’angle dont il a fallu faire marcher l’alidade est le supplément de l’angle cherché. On voit en effet sur la figure 146 que, si la première réflexion a eu lieu sur la face s y, la deuxième a lieu quand la face s y a pris la position s' y', et par conséquent lorsqu’elle a décrit un angle supplément de l’angle cherché.

371. Réflexions sur deux plans parallèles. — Le point p (/îy. 147) se trouve entre deux miroirs parallèles m et m' , et l’œil, placé en O, aperçoit derrière le miroir m un grand nombre d’images dont on peut facilement se rendre compte. Les rayons qui tombent directement surm formentune image en a; ceux qui tombent directement sur m' forment une image en a'. Ces derniers rayons, après leur réflexion, sont donc comme s’ils partaient du point a', et, en venant tomber sur le miroir m ils forment une image qui se trouve en b (le point b étant symétrique de a' par rapport à m); derrière m, il y a pareillement une image en c (le point c étant symétrique de a par rapport à m'). Les rayons qui ont éprouvé une première réflexion sur m , et une deuxième réflexion sur m', reviennent donc de nouveau en m; ils sont comme s’ils partaient du pointe , et donnent par conséquent une image en d (le point d étant symétrique de c par rapport à m) , eU;.

On comprend comment les réflexions successives font aper-

cevoir un nombre inOni d’images de plus en plus sombres; il serait très facile d’exprimer algébriquement la loi de leurs distances mutuelles.

Si Ion voulait distinguer parmi les images celles qui résultent d’une première réflexion sur m et celles qui résullent d’une première réflexion sur m', on pourrait placer entre les miroirs un corps qui serait rouge, par exemple, du côté de m, et bleu du côté de m'; alors d’un côté toutes tes images seraient alternativement rouges et bleues, et de l’autre alter nativement bleues et rouges.

372. Réflexion svr deux miroirs inclinés. — Les phénomènes précédées se reproduisent entre deux miroirs inclinés, avec celte différence que le nombre des images visibles est alors dépendant de l’angle des miroirs. Il suffira d’examiner les cas où les miroirs font entre eux un angle droit: m c (fig. 148) représente la coupe du premier, et m' c celle du second ; du point c de leur intersection commune on a décrit ’I une circonférence de cercle a mm'. Un objet placé en a fait une image en b par la réflexion sur me, et une image en b' par la réflexion sur m' c; de plus, les rayons qui ont subi une première réflexion sur me et qui retombent sur m' c donnent une image en d (le point d étant symétrique de b par rapport bm' c), et ceux qui ont subi une première réflexion sur m' c et qui retombent sur me donnent une image au même point d (puisque ce point est aussi le symétrique de b par rapport h me). Il en résulte que si l’on place l’œil à l’un des bouts des miroirs et près de leur intersection commune pour recevoir en même temps les rayons directs et ceux qui ont éprouvé une ou deux réflexions, on verra quatre images du point a, savoir, l’image directe en a, puis les images réfléchies en b, b' et d.

C’est sur ce principe que repose la construction du kaléidoscope.

Pour avoir, par exemple, 5, C,..20 images du même

CnVP. I. — RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE. 155

point, il suffit de donner à l’angle des miroirs de

circonférence.

373. Réflexions sur les miroirs courbes. — On adopte en optique ce principe fondamental , que la réflexion se fait en un point quelconque d’une surface courbe, comme elle se ferait sur le plan tangent en ce point. Nous verrons tout à l’heure que ce principe est en effet confirmé par de nombreuses expériences, mais l’on pourrait aussi le démontrer directement par la théorie. Il en résulte que les lois générales s’appliquent sans restriction à toutes leurs surfaces, et que tout se réduit à trouver pour chaque point la direction du plan tangent ou de la normale, ce qui est simplement un problème de géométrie.

Ainsi, un point lumineux, placé au centre d’une sphère creuse et polie à l’intérieur, enverrait des rayons sur tous les points de la surface, et chacun de ces rayons serait réfléchi sur lui-môme et reviendrait directement au centre après la réflexion. De même, un point lumineux placé à l’un des foyers d’un ellipsoïde enverrait des rayons surlous les points de la surface, et tous ces rayons iraient par les réflexions se réunir et se concentrer en l’autre foyer; puis, en continuant leur route, ils retourneraient au premier foyer après une seconde réflexion, reviendraient ausecond foyer après une troisième, et ainsi de suite.

Un point lumineux placé au foyer d’un paraboloïde enverrait des rayons qui seraient tous réfléchis parallèlement à l’axe et s’en iraient se perdre è rinfini; réciproquement, un point placé à rinfini comme une étoile, et sur l’axe d’un paraboloïJe, enverrait des rayons qui viendraient tous se concentrer au foyer.

374. Réflexion sur les miroirs sphériques. — Si l’on imagine une sphère dont l’intérieur soit très poli , et qu’on la coupe par un plan, on en détache une calotte qni est un miroir sphérique concave : ce serait un miroir sphérique convexe si la sphère était polie en dehors.

L’ouverture du miroir esl l’augle des deux rayons cmel cm' menés aux bords opposés delà caloUe 149); son' diamètre esl h ligne mm' qui joint deux bords opposés de la ca olte; son axe est la ligne a c menée du centre de la calotte au centre de la sphère.

Le point a s’appelle aussi le centre de figure du miroir et le point c son centre de courbure.

Lorsqu’un point lumineux s est situé sur l’axe du miroir (/î^. 150) , tous les rayons qu’il envoie à une petiledislance angulaire du point a viennent, après leur réflexion, se

réunir en un même point f. Pour le démontrer, soit s î l’un de ces rayons , c ila normale au point d’incidence ,elif le rayon réfléchi; désignons para;, y, s les angles as i,aci. afi; par d l’angle d’incidence cû et l’angle de réflexion ciYqui lui est égal; et pari, r, m les trois distances as, a c, a f. Puisqu’on suppose que x, y, z ne dépassent pas 3 ou 4 degrés, ces angles peuvent être pris pour leurs tangentes , en même temps 1 arc a i peut être pris pour une ligne droite perpendiculaire à a s, et les triangles rectangles a s i, a ci, afi donnent

On a d’une autre part

X = y — d et Z = y+d, d’où Z 4- a; — 2 y , on z = 2y — x, qui devient par les valeurs précédentes

ai

2 ai r

ai

ou

«HAP. 1. — RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE. lo7

Celte valeur de - étant indépendante des angles a; y et 2,

on doit en conclure que tous les rayons émis par le point s viennent en effet se réunir et se concentrer au même point f, qui s’appelle pour cette raison le foyer du point s ; mais celle conséquence est vraie seulement sous la condition que les angles x, y, 2 puissent être pris pour leurs tangentes, ce qui limite essentiellement l’ouverture du miroir, et la réduit à ne pas dépasser 8 ou 10®. Pour une ouverture plus grande, le concours de tous les rayons ne serait plus exact, et il y aurait ce qu’on appelle aberration de sphéricité.

Si le point lumineux était situé hors de l’axe du miroir, on pourrait toujours par ce point et par le centre c du miroir mener une ligne droite qui s’appelle alors axe secondaire , et comme les mômes raisonnemens s’appliqueraient encore à l’égard de cet axe secondaire, on en conclut eniSn que la formule précédente est une formule générale qui convient à tous les cas. Nous devons ajouter cependant que, si l’axe secondaire faisait avec l’axe principal ac un angle de 1 5 ou 20® , les angles x, y, 2 ne pourraient plus être assez petits, et c’est là ce qui limite le champ du miroir, c’està-dire l’étendue conique dans laquelle doit être compris un point lumineux, pour que tous les rayons réfléchis concourent au môme foyer avec une exactitude suffisante.

En se concentrant au même point, tous les rayons réfléchis forment une image nette et brillante du point lumineux d où ils sont émanés, et le lieu de cette image est toujours facile à trouver, puisqu’elle est d’une part sur la ligne menée parle point lumineux et le centre du miroir, et puisque d’une autre part elle est à une distance du miroir donnée par la valeur de m, que l’on obtient aisément quand on connaît r et à, c’est-à-dire le rayon du miroir et la distance du point lumineux.

Pour mieux faire comprendre la formule générale, nous allons discuter quelques uns des résultats qu’elle donne.

1* Quand & a une valeur infinie, tous les rayons sont pa-

rallèles; on a m = - , c’est-à-dire que le foyer est alors à

la moitié du rayon (fig. 151), Ce foyer se nomme foyer principal, et sa distance au miroir distance focale principale.

La figure 152 représente la marche des rayons pour un faisceau parallèle et oblique à l’axe du miroir.

2» Pour i =100 r, on a — ; ainsi, U suffit que la

distance de l’objet au miroir soit égale à 100 fois le rayon pour que l’image se fasse sensiblement au foyer principal.

3« Pour 6 = 2 r, onam = -^; ainsi, pendant que l’objet

se rapproche du miroir depuis l’infini jusqu’à une distance double du rayon, l’image n’éprouve qu’un petit déplacement

et s’éloigne seulement depuis — jusqu’à —

4° Pour b = r on a m = r, ce qui doit être, puisque tous les rayons envoyés du centre doivent revenir au centre.

5° Pour on a m—oo , c’est-à-dire qu’en mettant le

poir-, lumineux au foyer, tous les rayons réfléchis forment alors un faisceau parallèle et ne vont se rencontrer qu’à l’infini {fig. 151 et 152) , ce qui doit être, puisque l’infini et le foyer principal sont deux foyers conjugués.

6® Quand b est plus petit que c’est-à-dire quand le

point lumineux est plus près du miroir que le foyer principal, m prend alors une valeur négative : cela ne veut pas dire que les rayons réfléchis ne se rencontrent plus, mais seulement qu’ils se rencontreraient si on les prolongeait derrière le miroir (fig. 153). Le foyer v se nomme alors foyer virtuel, parce que les rayons n’y passent pas en réalité, bien qu’ils soient dirigés comme s’ils y passaient.

Il résulte de cette discussion que si un objet s $' {fig. 150) était disposé sur une surface sphérique ayant le môme centre

CHAP. I. — RliFLEXION DE LA LUMIÈRE. 159

c que le miroir, il formerait en mm' une image renversée qui en seraill’exacle représentation; on aura une idée du rapport degrandeur qui existe entre l’image et l’objet si l’on remarque que du centre du miroir ils seraient l’un et l’autre vus sous le mémo angle.

Si tous les points d’un objet n’étaient pas à la même distance du centre, tous les points de son image n’en seraient pas non plus à la même distance.

Tous ces résultats se trouvent vériGés par les expériences suivantes:

Un large faisceau de lumière solaire tombant sur le miroir ni m' [fig.ibl et 152), on voit une petite image resplendissante du soleil en fou en/', suivant que le faisceau incident est parallèle et oblique à l’axe. Le soleil étant vu de la terre sous un angle d’environ 30', son image regardée du centre c serait vue sous le même angle. Ainsi, sa grandeur absolue dépend du rayon du miroir : par exemple, au foyer du grand réflecteur d’IIerschell, qui a 80 pieds de rayon : l’image du soleil a environ 3 pouces de diamètre, et elle n’a guère que3 lignes au foyer d’un miroir de 6 pieds de rayon, et 3 millimètres au foyer d’un miroir de 1 mètre de rayon, grande ou petite, celte image a un très vif éclat; dans l’espace circonscrit qu’elle occupe se trouvent concentrées à la fois toute la lumière et toute la chaleur du faisceau incident.

On peut se servir de celle expérience pour délerminer le rayon de courbure d’un miroir donné ; mais alors il faul en couvrir la surface avec un morceau d’éloffe ou de papier dans lequel on laisse seulemenl deux ouverlures près des bords en v et v' {fij. 154) , car il esl bien plus facile de déterminer exaclemcnt le point de rencontre des petits faisceaux vfelv'f, que le lieu où l’image complète du soleil a le plus petit diamètre et la plus grande netteté.

On reconnaît aisément que des objets éloignés d’environ 100 fois le rayon du miroir font leur image à très peu prés au même point que le soleil.

En promenant la flamme d’une bougie dans une chambre noire, à diverses distances devant le miroir, sur l’axe ou hors de l’axe, il est facile de vérifier tous les autres résultats du calcul que nous avons indiqués; son image se reçoit sur un petit écran de papier ou sur un morceau de verre dépoli; si l’écran était trop large, il arrêterait une trop grande partie des rayons incidens qui arrivent au miroir.

Les miroirs convexes ne donnent que des foijers virtuels ou des images virtuelles. Il est facile de voir que pour ces miroirs la formule principale devient :

Les valeurs de 6 et de r étant essentiellement positives, les valeurs de m seront toujours négatives, et , comme elles sont comptées à partir du point a, c’est une preuve que le foyer tombe toujours derrière le miroir de a vers c; ainsi, te foyer n’est jamais produit par la rencontre réelle des rayons, mais parleur rencontre virtuelle ou par la rencontre de leurs prolongemens.

Pour 6 = 00 on om = —

c’est la plus grande valeur

négative de ni {fig. 155) ;

Pour 6 = r on a m =

EnGn pour 6 = 0 on a m = o.

On peut aussi vériGer ces résultats par l’expérience en couvrant un miroir convexe avec un carton percé de deux trous et en suivant la direction des petits pinceaux réfléchis pour déterminer le point où leurs prolorigemens vont se couper derrière le miroir [fig. 15G).

375. Miroirs coniques et cylindriques. — Nous ne citerons ces miroirs que pour donner une idée de la marche des rayons qui sont réfléchis à leur surface et des illusions plus ou moins singulières qui en peuvent résulter.

' b s b' {fig. 157) est la coupe d’un miroir conique dont la

CIIAP. D'e ti.A LDMIÈnE. t6l

îHirfâcft »ftl6ra<e éxlOneupeest-itiés-poIîevn^^ 1© pose péirsa base €Fi (tmb y erittirUeu d'uwearton’Circulaire sur léqûeJ ori desshve , suivant' éertairtes- toîs^ des figtircs bizarres que. l'on appelle anamorp/f oses. L’œil placé en o, un peu au dessus du sommet du 'cdne 1 1 57 )rH' qperçoK ■ pd i* i réflexion uné flgü re

régulière Wsoltant des tratts dôformési quisonUtracès. sur lé carloni ''/.c I (| «oo Jiid jo Ici K'Jüup'j Mhi'jo ne -nij;lij:)il) Peur se rendre campt0<le celle espèce d’iliusion* il suffit do remarquer què teîpeirit:c/ipar exempte referai par lalréi^ flexion son -image énaclpiet quo tes points cpmpris. enlrenb el c Feront leurs images sur la ligne b c'. . luolatip-vi

■ les mirbirskyfindriquesl.présenitenl dès eflets analogues dont'ion pourra ficHenaentise' rendre compte par les opremièrèS Uol'îéniS'de'géôtnélriOtetide Ipèrspéctivep; i> noiliJioq 376, Des caustique^, fed' rayoïvf envoyé par :un ièdl point- temînéal' 'et 'réfléchis iend’ùite pahoune surface ïéurbe'éonlmiÿe quélèénquè neise'iéünissent pàs.tous en un mémëlbyer, il arrivé toujours qüè lés rayons voisins se ren- ^ènlreèt, éf^ialors l(^ points ébriséeut'tfs> où lls-se^ coupent ibgendrent une’sbrface' bwè l’bn nomm mncüUsïiqUè 6^ »èMS«î-|^«e'p«r W/l«iriôn.'Qüand la réflexion se foit^sur une îgne\etnon'pas Sur une surface^ J^ daustiquo est une simple igne. !oiJî;ol.-iC(| 98èi[^ .

l' Lp recherclie de'Ja forme 'des caustiques est un problème [ui li exercé la sagacité de plusieurs habiles géomètres. noiJ 'f'377o miostat de Gimbeyi^Vhé]\osta[ est un instrument lèstmùb réfléchir les rayons solaires dans une direction qui este invariable pendant un jour enlierV- malgré les hauteurs ous cesse changeantes du soleil au dessus de l’horizonv Ce ^oblèine avait -été résolu, mais M. Gambey en a donné me Solution plus simple et plus ingénieuse; son hélioslat istTepré.^nté dans les figures 158 et 159; nous ne pouvons wnnerici qu’une idée du' principe sur lequel repose sa contruclion.

a est un cercle qui se dispose toujours paraHéleraent à

tCfi LijfUB VI.— opTifiqe.

i’^qualeur, U se meut sur lui-même fl’uu mouvement uuiforme de manière à accomplir sa révolution complète en comme le soleil; c’est l’horloge h qui le met en mouvement,

f! h est un are de cercle dont le plan se dispose toujours dans le méridien du lieu au moyen de son alidade, il est perpendiculaire au cercle équatorial et fait corps avec l’axe autour duquel celui-ci fait sa révolution en 24^ en sorte qu’il suffit de l’incliner plus ou moins suivant la latitude du jicu, pour que le cereie équatorial se Iroqve lui-même dans le plan de l’équateur.

f" c est l’are des déclinaisons, il est perpendiculaire à l’équalorial auquel son axe est fixé ; on règle chaque jour sa position d’après la déclinaison en le faisant tourner autour de l’axe y paiallèle à l’équatorial.

m est un miroir métallique destiné à recevoir et à rélléchir les rayons solaires; ce miroir est dirigé : 1® au moyen d’une queue à fourchette et à douille mobile sur une pièce conique dont l’axe se met dans une direction quelconque qui reste hxe; le prolongement de cet axe va aboutir au milieu s de haxe y 5 ; 2® au moyeu de la tige t, dont l’axe est dans le plan du miroir ; cette tige va passer dans un anneau y, où elle glisse et par lequel elle est emportée dans le mouvement de rotation du cercle équatorial. 11 résulte de cette disposition que dans le cours d’une journée la lige t du miroir ou plutôt le pian du miroir lui-même décrit un cône oblique autour de la queue du miroir; le sommet de ce cône est le centre même du miroir où passe le prolongement de l’axe de la queue A et sa base est le cercle décrit par l’anneau g qui reste parallèle à l’équateur et par conséquent au cercle décrit par le soleil. Bien que l’anneau g décrive un cercle, sa distance au point s reste constante e|L décrit un cône plus ou moins ouvert, suivant que la déclinaison du soleil est plus ou moins grande, et ce cône s’ouvre dans un sens ou dans l’aulr« soivant que la dédioaispo est australe ou boréale;

Cn\P. I.— UÉFLF^ION DE LA LUMIÈRE. Ji65

mais celte dislance invariable s g est toujours égale à la distance invariable qui existe entre le point, s et le centre i du miroir; c’est ce que l’on voit plus distinctement sur la figure 159, où ÿ est la position de l’anneau correspondante à l’équinoxe, et g' et g" ses positions correspondantes aux solstices.

Le triangle i s ÿ ou isg' est donc toujours isocèle, et perpendiculaire au plan du miroir p? m', Si l’on représente maintenant par le rayon solaire incident, pour l’équinoxe, il est évident qu’il sera toujours réfléchi suivant la direction if' du prolongement de la quege s i, ciir il est réfléchi dans le plau d’incidençe, qui est le plan du triangle isocèle i s g, lorsque l’héljoslat est bien à l’heure^, et en ipôme temps 1,1 fait avec le plan du miroir un angle l i g égal à s.i ÿ, ou s^' ? ou mif. Le même raisonnement s’appliquerait au rayon l'i du pplslice, puisque l’anneau si’rail alors en g'^ de sorte que g' s serait parallèle à l'i. On peut donner à la queue /'telle direction que l’on voudra, et être assuré’que le rayon réfléchi prendra çelte direction pendant la journée entière.

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