CHAPITRE III

Vibration des Corps solides.

59. vibrations des corps doBt doux dimensions son! petites pnr mpport à 1» troisième. Tubes, Termes eyllndrl^nes , Teryes prlsm»tl«aes, etc. — Nous avons déjà vu (34) q\ie les lames, les tiges ou les cylindies peuvent éprouver des vibrations rapides et exciter des ondes sonores lorsqu'on les ébi*anle perpendiculairement à Taxe; mais nous n'avons considéré que le cas le plus simple de ces vibrations transi^ersalesy celui qui a lieu quand la lame entière , passant à la fois d'un côté à Tautre de sa position d'équilibre, produit le son fondamental. Or^ il arrive que sans sortir de ce mode de vibration , la lame peut se partager en diverses parties vibrantes, séparées par des surfaces nodales perpendiculaires à l'axe, alors elle produit des &ons d'autant plus aigus que le nombre de ces divisions est plus considérable. Pour obtenir ces phénomènes curieux, il suffit de disposer la lame horizontalement, sur deux ou plusieurs appuis de liège taillés en prisme, et solidement collés sur des masses pessmtes de plomb, pour en assiurer la fixité; ensuite, passant un archet sur Tune des arêtes, la lame se met à vibrer suivant l'un des modes qui lui sont propres. Si l'on veut marquer les lignes nodales, il suffit de jeter siu: la surface de la lame un peu de sable fin , qui vibre avec elle , se déplace en sautant, et vient marquer tous les nœud^ ou toutes les lignes de repos. Les arêtes des supports de liège peuvent ne pas correspondre tout à fait à un nœud, mais ib s'en trouvent toujours peu éloignés, et le son devient plus net lorsqu'on les déplace pour établir cette coïncidence. Sur une lame de laiton , d'un demi-mètre de longueur, bien travaillée et d'une épaisseur convenable , on peut ainsi obtenir depuis 1 jusqu'à 8 ou 10 nœuds.

M. lissajous a fait récemment sur ce sujet des recherches ti-èsintëressantes(^/i/i. de Chim.etde Phys.^ t. XXX, ann. 1 850) ; après avoir mesuré avec soin les intemœuds ou intervalles nodaux, il a

CHAP. III. — VIimÂTIONS DES CORPS SOLIDES. 81

voulu en trouver la loi mathématique, et il y est parvenu en résolvant habilement des équations qui avaient été posées autrefois par Euler, et qui contenaient implicitement la solution du probltme. Voici le résultat de ses calculs et de ses expériences, pour le cas où la lame est posée comme nous l'avons dit, ayant ses deux extrémités libres :

a y étant la longueur de la lame,

Aj le nombre des nœuds,

Zj l'inlervalle coDaqpris entre deux nœuds vers le milieu de la

lame, z\ Vintervalle compris, soit entre le deuxième-nœud et la pre* mière extrémité; soit entre Tavant-demier et la deuxième extrémité , z'\ Tespace libre, en deçà du premier nœud ou au delà du

dernier.

On a toujours les relations suivantes :

d*où il résulte :

V Que tous les nœuds intermédiaires sont équidistauts , et que leur intervalle est égal au double de la longueur de la lame , divisé par le double du nombre des nœuds moins 1 .

2* Que la longueur relative des espaces libres aux deux ex-

trémités , eurimée par — est égale à 0,3304 , c'est-à-dire , à

très-peu près le tiers de Vintervalle des nœuds intermédiaires. 3* Que rintervalle relatif du premier nœud au deuxième , ou

du dernier à Tavant-demier, exprimé par est égal à 0,9196,

ou environ les 92 centièmes seulement de Vintervalle des nœud^ intermédiaires.

M. Lîssajous. a examiné ,* avec le même soin et le même succès , les cinq autres cas des vibrations transversales , savoir :

2* Quand la lame est fixée à ses deux extrémités ;

3* libre à une extrémité et fixée à Vautre ;

4* Libre à une extrémité appuyée à Vautre ;

5* Fixée à une extrémité , appuyée à Vautre ;

6* Appuyée à ses deux extrémités.

Pour le deuxième cas , les espaces libres disparaissent , les ex* n. 6

trémités forment elles-mêmes le premier nœud et le dernier. Alors z et z conservent leur forme et leur valeur.

Pour le troisième cas, Tespace libre dtq>araît à rextrémité fixée qui devient un nœud , z" ne convient donc qu'à Textré-

mité libre , z pareillement, mais — - — convient aux deux extrémités.

Pour le quatrième et le cinquième cas, il faut dans les valeuis de -3, Zy -z" changer a en 2a et n en 2/t — 1 ,

Enfin dans le sixième cas , les deux extrémités appuyées doivent elles-mêmes être considérées comme des noeuds , alors toos

les intemœuds sans exception sont égaux et l'on a ^ = — ?•

Quant à la valeur des sons, M. Lissajous simplifie les règles qui avaient été données , en démontrant que , dans tous les cas,

ils sont exprimés par ~j, sous la seule condition de prencfre pour

son 1 celui qui est produit par la lame quand elle . viljre avecdeux nœuds ayant ses deux extrémités appuyées.

Nous allons maintenant considérer les vibrations longitudi" naleSy c'est-à-dire, celles que l'on peut exciter dans les tubes, les verges, les cordes, etc., en imprimant à leurs molécules des vitesses parallèles à l'axe.

Supposons , par exemple , que l'on prenne un tube de verre d'environ deux mètres de longueur et de trois ou qaatre centi* mètres de diamètre , et qu'en le soutenant d'une main , juste en son milieu , on exerce de l'autre main, sur l'une de ses moitiés, tme légère firictiôn avec un morceau de drap mouillé i à Tin* stant on entendra un son , et avec un peu d'habitude on parviendra à lui donner beaucoup d'éclat et de pureté. Les vibrations que l'on détermine ainsi sont évidemment des vibrations longitudinales. En firottant toujours de la même manière par un mouvement de va-et-vient, mais avec plus ou moins de vitesse, ejt en pressant plus ou moins, on pourra produire une série de sons différents ; et , si Fon représente par 1 le premier son de la série, c'est-à-dire, le plus grave, il sera facile de constater que les autres se ti^ouvent représentés par la suite des nombres naturels 2, 3, 4, etc. ; il sera déjà difficile de faire sortir Je son 4 (p^^ le tube n'aura que deux mètres de longueur.

CHAP. m. — VBftATIONS KS VERGES. U

Ob obtiendra les mènes réfoltalB avec de longues lames pris- BMUiqacs de terre , oa atec des cylindres plcÎBS de la même substance , et aBflsi avec des tubes, des lames et des cylindres de bois œ de métal. Seulement , pour ces derniers, il sera beaucoup plus commode d'adopter un aotre mode d'ébranlement : au lieu de iratterarec du drap mouillé, on pourra frotter avec du drap enèm de r^ine , ou , ce qui sera plus sur encore , ou pourra fixer itfec de ta cire à cacheter, à Tune des extrémités des cylindres'Ou deshmes et smr le prolongement de leur axe, un petit tube de wie creux ou plein, d'environ un dédnièure de longueur et de 5ou SmiUîniètres de diamètre ; c'est àlors.ce tube auxiliaire qui sera ânnlé a;vec du drap mouillé , «t les vibrations se communiquerottt sans peine^

Aian, quand les vecges droites sont soutenues au milieu et Ubres àlevrs extrémités, elles vibrent comme les tuyaux ouverts, et rendent des sons qui suU^erU la série des nombres naturels 1 , i, 3, 4, eie.

H est âole de s'assurer par l'expérience que des verges de même siAsiance sont toujours à Vunisson pour leur son fonda- Mental quand elles ont la même longueur^ quelle que soit leur ibrgeur ou leur épaisseur, pourvu toutefois que ces deux dimen* éoÊB restent toujours petites par rapport à la troisième. Ainsi , toutes les verges du même vetre de 2 mètres de longueur donneront le même son, qu'elles soient minces ou épaisses et qu'elles soient travaiBées en lames, en tubes ou en cylindres. Mais, à ^alké de longueur, des vei^^es de diverses substances donnenmc des sons di£Eérents.

Pendant cjue ces corps solides sont en vibration , le mouvement se distribue Irès-inégalement dans toutes leurs molécules; la pluymt d'entre elles font des excursions plus ou moins grandes, et il y en a au contraire, mais en petit nondire, qui restems toujours en repos. La série des points de repos forme , sur la surface, des lignes que l'on nomme lignes nodales; et nous dons fiure tov, d'après les ingénieuses observations de Savart, que , dans les vibrations dont il s'agit-, les lignes nodales tracent mtoardestnbetetdescylittdres,descourbesàpeu près sembla- Ues mur hélices , c'est-à-dire aux filets £une vis^ et que les courbes plusîrrégulières qu'elles tracent autour des lames prismatiques scmUent imiter encore des bâices plus ou moins imparfaites.

Supposons d* abord que Ton expérimente snr un long tube de verre dont on tire seulement le son fondamental : on tient ce tub« à peu près horizontalement ; sur celle de ses moitiés qui n'est pas frottée avec le drap mouillé, on passe un anneau de papier trèsléger (Pl. 26 , FiG. 14) d'un grand diamètre , et Ton observe ses mouvements. Aussitôt que le son se fait «ntendre , Tanneau glisse sur la surface du tube avec vivacité , et s'arrête enfin en un certain point auquel il revient sans cesse quand on l'en écarte. On marque ce point avec de l'encre ; il fait évidemment partie de la ligne nodale. Ensuite on -fait un peu tourner le tube dans la maini pouj amener en dessus une autre arête sur laquelle repose l'anneau , et l'on recommence les vibrations : on voit encore l'anneau qui glisse et s'arrête ; ce qui donne un second point de la ligne nodale, que l'on marque comme le premier. En continuant de tourner le tube peu à peu et dans le même sens , on peut successivement marquer tous les points de la ligne nodale, et l'on démontre ainsi qu'elle forme une espèce d'hélice irrégulière dont le pas est très-allongé , et qui fait plusieurs révolutions autour du tube. C'est ce que nous avons essayé de représenter (Fig. 14 et 15). En retournant le tube pour mettre l'anneau si^ son autre moitié , on y trouve une courbe toute pareille , avec cette drconstance singulière , que l'une de ces courbes n'est pas la continuation de l'autre, mais que toutes d'eux semblent partir du milieu ot s^enrouler dans le même sens, ou en sens contraire; quelquefois même ce renversement se manifeste sur chaque moitié de la tige.

La surface intérieure du tube présente une ligne nodale , ana^logue à celle de la surface extérieure. Pour en constater la trace , Savart met dans le tube , bien desséché , un peu de sable dont les grains soient pareillement très-secs et assez gros, ou bien une petite balle de liège ou de dre.

Lorsqu'au lieu de tirer d*un tube le son fondamental , on ûre les sons 2 , 3 ou 4 , on retrouve encore des lignes nodales analogues aux précédentes; seulement, il y a toujours 2, 3 cm 4 renversements dans la direction de l'hélice.

Les lignes nodales des verges prismatiques sont plus compli* quées; mais celles des bandes très-longues et assez minces, comme des bandes de verre à glace de 2 ou 3 mètre& de longueur sur 3 ou 4 centimètres de largeur, présentent en général

CHAP. m. — VIBRATIONS DES YEHGES. 85

one opposîtioii remarquable. Après avoir reconnu les lignes nodales d^mie fieice , û Ton retourne la lame, on obtient sur l^autre bocy des nœuds qui correspondent précisément aux ventres de la première (Pi«. 26, Fig. 4).

La cause de ces phénomènes a été longtemps inconnue ; mais Savait en a découvert le principe, et il a donné ainsi à la théorie de l'acoustique une base qui lui manquait : nous essayerons seulement de donner ici une idée de ce travail difficile, qu'il résume hû-méme de la manière suivante (j4nn. de Chim. et de Phj$., t. LXV) :

• Premièrement. Les lignes nodales, indiquées par le sable ou par tout autre procédé, sur les faces des corps qui exécutent des vibrations longitudinales, sont produites par des inflexions ahefuatifes engendrées périodiquement par les contractLons lon- ^tudinales, et qui s'efibcent à chaque dilatation. Ces inflexions péxio£qaes constituent une espèce particulière de mouvement nonna\ qin ne se compose que de demi-oscillations dont le nombre est toujours égal à celui des vibrations longitudinales ellesniéaKs, et qui sont caractérisées par une diq>osition alterne des %Des nodales dont Tintervalle, sur deux iaces opposées, est le même que celui des lignes de repos du mouvement transversal ordînaira qui donnerait le même son . Elles donnent lieu , à Tinstant ou elles s^établissent, à un mouvement moléculaire qui est tou^jeurs parallèle aux iaces et aux arêtes des verges, mais qui est de sens contraire de part et d'autre des lignes de repos. Ainsi , quand une verge vibre longitudinalement, elle est le siège, d'abord, d*an mouvement de contraction et d'allongement analogue à celui des colonnes d'air qui résonnent dans des tuyaux; ensuite, d'un mouvement de flexion transversal analogue à celui qui est produit brusquement dans une verge conqprimée dans le sens de sa longueur; et enfin d'un mouvement moléculaire longitudiaal qui est alternativement de sens contraire de part et d'autre de chaque pmnt d'inflexion.

• Deuxièmement. Les caractères des systèmes nodaux dépendent particulièrement de la forme des verges, ainsi que du rapport de leurs dimensions transversales entre eUes et à la longueur. Ces systèmes sont extrêmement variés, même pour les fermes les plus simples, c'est-à-dire lorsque la section des verges est carrée ou circulaire, les setils cas où l'on puisse en dé-

86 LIVBE V. — ACOUSTIQUE.

terminer le nombre et préroîr Taspect qu'ils peuvent piésenter. En général , ces systèmes sont composés de hgoes nodiles hélicoïdales qui tournent, soit dans le même sens d'un bout à Tautre des verges , soit en sens contraire dans les deux moitiés de la longueur, ou bien ils sont formés de lignes transversales qui ont une disposition alterne sur les faces ou arêtes opposées des vergesj et dont les extrémités tombent perpendiculairement sur deux tiges Aodales longitudinales qui occupent deux arêtes diamétralement opposées.

« Troisièmement. La comparaison des allongements des ver* ges, par les vibrations longitudinales et par des poids, montre qu'un léger ébranlement moléculaire peut donner lieu à un développement de force qui paraît énorme, eu égard à la cause qui le produit, et qui est d'autant plus extraordinaire, qu'il semble pn>portionnel à l'aire de la section des verges. »

Pour démontrer les deux premières de ces propositions générales, Savart détermine d'abord par l'expérience les lois des systèmes nodaux que l'on observe dans les vibrations longitudinales des verges, et il constate ainsi que ces systèmes, ne peuvent en aucune sorte résulter des vibrations longitudinales ellesmêmes , mais qu'ils résultent d'un mouvement concomitant^ dont les périodes sont pareilles à celles des vibrations transversales. Ce pl'emier point établi , il se présente une difficulté qui semUe d'abord insurmontable : les vibrations transversales étant pei^ pendiculaires à l'axe, si le mouvement concomitant dont il s^agit est de même nature , il devrait faire sauter le sable per^ pendiculairement à la face des verges , tandis qu'au contraire il le &it glisser tangentiellement , comme ferait une impulsion longitudinale. Biais Savart résout cette difficulté par une série d'expériences extrêmement ingénieuses. Soit ab (Pl. 26, Fig. 1) une portion de verge brusquement infléchie d'une petite quantité , la face ab s'allonge et la lace cd se rAccourcit ; pendant l'allongement les molécules marchent tangentiellement de a en A et de i en it ; donc le sable se déplace dans le même sens , et fl y a en II un point de repos, ou une ligne nodale formée par la rencontre de ces deux mouvements opposés du sable : au contraire , pendant le raccourcissement de la &ee cdy les molécules de cette face marchent tangentîettement de <» en c et de ^ «n i/; donc les molécules de ssMe marcheraient dans le ménae

CHAP. m. — TIBRATIOro Iffift VERGES. 87

SBtf , s^écartaat de paort et d'autre du point t^j qui devient aiasi ■n -wemÊre de.YÎbraftions. Que cette poiticn de Terge reviemie masoÊeoMït à sa poûtion rectiGgne sans se courber de l'autre coté, le même efifet se produira pendant le retour; par consé- «{UBt, si la TibratkNH transversale a peu d*amplitude , et si elle Be %wDcomapiit que d'un seul coté , le point ji de la convexité sera eseBÔellenient un nœud, tandis que le point i» de la conetrité sera essenciellmnent un ventre. Ce qui arrive à Tune des portîoiis de la Terge arrive nécessairement à toutes les portions f!f^t;g^iff sooœsaîves éprouvant des flexions analc^es et opposées (FiG. 2) : d'où il suit que les nœuds- de l'une des Seices concsyoudent aux ventres de l'autre face , et i^ice t^rsâ.

Tel est le principe qui sert de point de départ à Savart ; nous 7 ajouterons qoelqnes dévdoppements extraits de son Mémoire.

« D'abord il fauT observer que les verges libres par les deux

biMia, et qui vibrent transversalement, peuvent présenter un

mmbre pur oa un nombre impair de lignes de repos , et que

par oooségnent le mouvement longitudinal pourra être iso-

cfarane an moiCrtement transversal qui s'accompagne d'un sys-

Èèate noàaà de Tune ou de l'autre espèce. Ensuite, comme les

mtenraUes entre les sons qui composent la série des barmonî-

qws des verges libres, v3>rant transversalement, sont assez

grands, surtout pour les modes de division les plus simples, il

pourra aussi se fidre que le son longitudinal tondoe entre deux

sons du mouvement transversal ; mais nous ne nous occuperons

ici qoe du cas où l'iscxâvonisrae existe naturellement.

« Soit donc (Fig. 3) une verge vibrant transversalement et lepraentaot un nombre impair de nœuds 0, 1 , 2....; 0', 1^ S',.», qm se coirespondent : comme les nombres des vibrations des verges qui vibrent longitudinalement ne dépendent que de la longueur, et qu'au contraire ceux des vibrations transversales aonf îoiaeiicés par l'épaisseur, il est évident qu'il y aura touune épaisseur telle que le mode de drriûon qui est repré-* é dans la figure sera le résultat d'un nombre de vibrations ^gal à œhn des vibrations longitudinales : or , si Ton supprime les nœuds , 1 , 3, 5, 7, sur la fece supéiîeure de la verge , et 0', ty 4', 6', 8', sur la face inférieure, on aura une disposition nodale de eette même verge -vibrant longitudinalement (Fio. 4), JitpoÊitàon qu^on rencontre très-souvent. Mais l'expérience

88 LIVRE V. — ACOUSTiaUE.

montre qu^elle n'est pas la seide qui puisse résulter d'un nombre impair de nœuds, et que les lignes 0, 2, 5, 7 sur la face supérieure, et les lignes 1', 3', 6', 8', sur la face inférieure, peuvent aussi disparaître; mais alors les nœuds 4 et K (Fig. 6) s écartent un peu du milieu de la longueur de la yerge, de sorte que les intervalles 3, 4, et 4', 5' deviennent un peu phis grands que les ventres des vibrations du mouvement transversal. Dans le premier cas , le mode d'inflexion de la verge est trèssimple , les parties vibrantes étant toutes d'égale longueur (Fig. 5); dans le second (Fig. 7), il y a, au milieu de la longueur, deux parties vibrantes beaucoup plus courtes que les autres; il semble que les deux moitiés de la verge s'infléchissent indépendamment l'une de l'autre. Mais ce qui se passe au milieu de la longueur n'est qu'une conséquence de ce que, les contractions longitudinales commençant par les extrémités de la verge, il peut arriver qu'elles y produisent des courbures dont le sens soit opposé pour des parties vibrantes paiement distantes du milieu de la longueur , tandis que dans le mode d'inflexion (Fig. 5), ces courbures se font du même coté de l'axe. L'établissement des deux parties vibrantes du milieu de la longueur étant donc ainsi forcé , on conçoit qu'en ce point le mouvement doit toujours être plus ou moins irrégulier; ausa, les lignes nodales 4, 4' sont-elles toujours très-mal dessinées et souvent obliques aux arêtes de la verge, au lieu de leur être perpendiculaires comme le sont toutes les autres; il am^e même fréquemment que le sable, au lieu de se mouvoir parallèlement aux ai'êtes , est entraîné dans des directions obliques ou suivant des courbes plus ou moins irrégulières. Néanmouis, ce mode de division est peut-être celui qui se présente le P"^ souvent à l'observation.

« Supposons maintenant que la verge, tout en conservant la même longueur, vienne à dïminuer un peu d'épaisseur, k ^^ longitudinal restant par conséquent le même, il. faudra que le mode de division transversal se modifie; admettons que la œminution soit telle, pour que Tisochronisme des deux mouvements puisse avoir lieu, que la verge, vibrant transversalement, présente un nombre pair de nœuds (Fig. 8) : si l'on efface les nœuds 1 , 3, 6, 7, sur la face supérieure, et les nœuds O', *» 4', 6' sur la face inférieure, on aura une disposition nooale

CHAP. m. — VIBRATIONS DES VERGES. 89

k ^erge Tilnrant longitudinalement (Fie. 9), disposition qui se présence fréquemment : si Ton efface au contraire les nœuds 0, i, 5, 7, sur la face supérieure, et les nœuds l', 3', 4', 6' sur la bce inférieure, on aura pour mode de division, dans le cas des iribfaldoDS longitudinales, la disposition représentée (Fig. 11). DwDS le prenûer cas , le mode d*inâexion de la verge sera trèssbople^FiG. 10) : dans le second cas (Fig. 12), il sera plus eooqiitqué; la verge présentera, au milieu de sa longueur, une pstie -Crante de moitié plus courte que les autres, et il apparakra en m une ligne où le sable se rassemblera , et à une trèspeiise distance jde laquelle il aura yn mouvement en sens contraire pour aller former les nœuds 2' ^t 5'. Ce mode d'inflexion se rencontre plus fréquemment que le précédent : comme celui de la €gure 7 , il est une conséquence de ce que les courbures s'établirent d'abord aux extrémités, et du sens même qu'elles afEedenu La comparaison des figures 10 et 12 montre clairemon cette influence exercée par le sens des courbures. »

ilinsî J^ T^es à section rectangulaire qui vibrent longitudinaleoient sont susceptibles d'affecter quatre modes de division l»m c&dncts, savoir : les modes a et a! (Fig. 4 et 6), qui résultait d^ vibradons transversales dont le nombre de nœuds est impair, et les modes b et b' (Fiè. 9 et 1 1 ), qui résultent au contrsâre des vibrations transversales dont le nombre des nœuds est pair. Ces quatre modes peuvent ^e combiner entre eux, et c'est par leurs combinaisons coexistantes que Savait explique les phénomènes si complexes que présentent les verges carrées ou prisfliatiqoes, les cylindres, l^s tubes et les cordes. C'est ainsi , par exemple, que les tubes donnent les lignes nodales très-bizarres de la figure 13, ou les lignes nodales moins discontinues de la %ise 14, qui dérivent des premières.

Pow démontrer la troisième proposition générale, que nous avons rapportée plus haut (page 86), Savart a déterminé par des expériences très-précises les allongements que prennent les verges pendant leurs vibrations longitudinales, et il a pu constater ainsi qoe pour le cuivre, le laiton, l'acier, le fer et le bois, ces allongements se trouvent souvent de 1 dix-millième et demi ou 2 dixn^m^mé^ de la longueur , c'est-à-dire d'environ 2 dixièmes de mlKmètre pour des verges de 1 mètre, qu'elles soient minces ou épaisses. Or, le poids qui serait nécessaire pour podmrè par la

traction un allongement égal devrait être très-considérable si on l'appliquait seulement à des verges de quelques centimètres de diamètre; il en résidte donc une sorte de paradoxe mécanique, en ce qu'une simple vibration détermine un ^développement de force prodigieux. Pour s'en rendre compte d'une manière fir«ippante, il suffit de coller avec de la cire un petit tube de verre à une grosse poutre de bois, puis de mettre le tube en vibration en le touchant avec du drap mouillé : à l'instant, toute la masse de la poutre entre en vibration longitudinale, elle s^allonge eC se contracte, et il faudrait des poids énormes agissant par traction ou par compression pour lui faire subir ces changements de <li-* mensions qu'un léger frottement peut lui imprimer.

Dans ce qui précède, nous n'avons parlé que des modes de vibrations qui conviennent aux verges dont les extrémités sont libres, mais il se développe des phénomènes analogues lorsqu^on fixe solidement les deux extrémités ou seulement une seule.

M. Cagniard de La Tour a fait de nombreuses expériences snr les vibrations longitudinales des longs tubes remplis de liqmde. Dans ce cas, toute la masse liquide participe aux vibrations des parois; il en résidte par conséquent des dilatations et des contractions moléculaires considérables, qui déteiminent des solutions de continuité plus ou moins apparentes. Mais ces phénomènes curieux n'ont pas été soumis à une analyse assez rigoureuse ni assez complète, pour qu'il nous soit possible de résumer ici les résultats des observations. {^Ann, de Chim. et de Phys. , t. LVI.) \^ 40. WlbrAtliraM «M corps «ost «m «««le ^Imciiii— «■« pcMto 9ftr nq^pfirt mis Ae«x «mtrM. naïves» MwaifyMj d—fc— » ot^. — Pour faire vibrer les plaques, on peut employer la pinoe de la figure 2 planche 27, après l'avoir fixée très-solidement sur on établi ; la plaque p (Fig. 4 et suivantes) est saisie entre le cytindre a et la vis &, qui se terminent l'un et l'antre par un morceau conique de liège ou de peau de buffle; lorsqu'elle est assez fortement pressée, on l'ébranlé avec un archet, et l'on en tire des sons purs, dont il est facile de prendre l'unisson «r im pÎMio.

En procédant de la sorte, on constate d'abord ce pirmin nesukat général, que, quelle que soit la sdMtance de la j^que, bois, terre cuite, verre, métal, etc.; quelle que soit sa forme, carrée, triangulaire, ronde, elliptique, etc., <m peut toigonis en détenir des scms extrêmement variés, montant du grave à Ta^a pwr

CHAP. m. — YIBBATI0N8 DES FLAQUES. 91

plus ou notnft rapprodiées* On constate pareilleet seconid résultat, que, pour diaoun des sons qu'elle rend, k ptaqt se partage en partieê piinmies et en lignes de repos on ligmts modales offiraot un arrangement particulier, avec cette ânoDstanœ remarquable qu'à siesure que le son s'élève, Tétendne des parties vibrantes devient plus petite, et par conséquent les %■» Kodales plus mnkipliées.

tam défDonrftrer ce point -essentid, on saupoudre la surfiice

flpêrieure de la plaque avec du sable sec et fin : alors au pre-

mkr son qui est produit^ le sable entre en mouvement, il saute

etretoaibe phnîetirs fob en une seconde, et, toujours repoussé

par les parties viln^ntes, il va s'accumuler sur les parties immo-

hàesj et maiye ainsi la trace des lignes nodales. Savart a ima-

poi un moyen bien ingénieax de relever d'une manière pariai-

lowni coarecte œs figures qu'il serait souvent impossible de co-

pieT au eraiyon, tant elles sont coosplexes et bizarres : poiircela,

an fiem de ssàde, il envoie des pains de tournesol, pulvérisés

M'er de ia ^omme, pois réduits en pâte, séchés, pulvérisés de

■01CBU et passés au tamis, afin d'avoir des grains égaux et de

potsem convenable. Lorsque cette pondre ccHoitée et hygromé-

^tfÊt a tracé sur Toae plaque les lignes nodales correspondantes

i xok son comnn, il suffit d'appliquer sur la plaque une feuille de

légèrement humectée avec de l'eau gommée, et d'exercer

mie prenîon suffisante pour imprimer sur le papier la

figure que portait la plaque. C'est ainsi que Savart est parvenu

temps à noter plusieurs centaines de sons produite par

pkîque, et à recueillir, pour les comparer entredles,

les figures oorrespondantes à ces sons.

• Mrréea. — La figure 1 (Pl. 27) représente, par 70 figures, pit>duites par une même plaque carrée; figwes sont arrangées dans un ordre méthodique dont nous Bufiqoer la def. Le chiffire qui est à gauche du trait, aude dmqne figure , marque le nombre des lignes nodales bcmzontales, et celui qui est à droite le nombre des bgiies nodales verticales; les lignes réelles, comme on peut le voir, ne pas continues, elles sont plus ou moins contournées, mais peuvent toiqours se ramener aux directions horizontales et Nous devons remarquer encore que les diagonales Mit jnrises pour des lignes verticales, dont elles s^approdient en

se décomposant. Les chiffres qui sont en tête de chaque série indiquent la différence entre le nombre des lignes horizontales et le nombre des lignes yerticales; ainsi le chiffre 3, qui est en tète de la cinquième série , annonce que dans toute cette série les lignes nodales verticales excèdent de 3 les lignes nodales horizontales. Savart fait remarquer encore que quand le nombre de ces dernières est la moitié des premièi-es, il y a de petits cercles enfermés dans un carré situé diagonalement, coQime on le ▼oit pour |, |, |, Y^; et que, quand il est le tiers, les petits cercles sont dans des carrés droits comme |, |.

Outre ces figures de la plaque carrée, Savart en a relevé beaucoup d^autres qui correspondent à des sons intermédiaires ; ces figures, comme on le suppose, ne s'obtiennent pas, sans fixer sur la plaque plusieurs points qui doivent appartenir à des lignes nodales (voy. les supports, Fig. 3 pour les plaqpies <:arrées et Fig. 1 1 pour les plaques rondes).

Chladni avait pensé que si. Ton considère seulement les figures qui ont un même nombre de lignes nodales, verticales et horizontales, les nombres des vibrations correspondants sont entre ^x comme les carrés des lignes nodales : mais Savart a lait voir que cette loi donne toujours des nombres de vibrations trop petits ou des sons trop graves, et que Terreur est d^ autant plus grande que le nombre des lignes nodales est plus considérable. Ainsi Terreur est très-grande pour le son qui correspond à 15 lignes nodales verticales et 15 borizontales.

Les plaques triangulaires, rectangulaires ou polygonales, donnent des figures analogues aux précédentes, mais dans lesqueUes on ne retrouve pas Tespèce de symétrie binaire des plaques carrées.

Pl»««M cirealaire*.— Une plaque circulaire donne aussi une multitude de sons, à chacun desquels appartient une figure déterminée; mais Tensemble de ces figures peut être rapporté à trois systèmes différents, savoir : le système diamétral j le sys^ tème concentrique et le système composé.

Le système diamétral est uniquement composé de diamètres qui divisent la circonférence en un nombre pair de parties égales : dans la figure la plus facile à obtenir, on cconpte 2 diamètres, et 4 parties dans \\ circonférence (Fi6« 4); ensuite 3 diamètres et 6 parties, etc.

CHAP. m. ^ VIBRATIONS DES PLAQUES. 93

Du» les cerdes de métal qui ont 3 ou 4 décimètres de dia- *y oo peut sourent compter jusqu'à 36 ou 40 parties dans la cirooiifereiice. Il est facile de voir pourquoi, dans ce mode de dmsioii par lignes droites, les parties doivent être toujours ^do et en nombre pair : car, 1* il est évident que toutes ces paxûts doivent -vibrer à Tunisson , c'est-à-dire , accomplir dans le même fiemps le même nombre d'oscillations; et, puisqu'elles SOBC <&posées de la même manière, il faut bien qu'elles soient ^ples en étendue ; 2* deux parties contigués doivent avoir des iBoavenients opposés de part et d'autre de la ligne nodale^ c^cst-4-diie , que l'une doit passer à droite de sa position pmmtive, tandis que l'autre passe à gauche, et ifice çersd; ce qui ne pourrait avoir lieu si les parties étaient en nombre

Dans le système concentrique^ toutes les lignes nodales sont des cârcoolâences dont le centre est au centre de la plaquç.

lie cas Ve^kas simple est celui d'une seule ligne nodale (Fig. 5);

ensmte on pent en obtenir deux, trois ou davantage. Pour re-

piodoûie œs figures plus facilement, Savart prend comme Chladni

des phqàes d'un grand diamètre, mais il les perce au centre

doB troQ circulaire de 4 ou 5 millimètres de diamètre ; dans ce

troii^ il fiût fttseer une mèche de crin en guise d'archet (Fi^ . 6);

la plaqœ doit être soutenue seulement par quelques points des

figôes nodales cjue l'on veut produire.

Dans le système composé ^ les lignes nodales sont des diamètres pk» OQ mmns couri:>és et des circonférences plus ou moins altérées dans leurs contours. Les figures 7 et 8 représentent quelqoes-mcs des formes nombreuses auxquelles on peut arriver. Ponr les obtenir, il faut plus ou moins d'habileté ; mais le principe ooMiste à presser avec les doigts un ou plusieurs des points par lesqof^ les lignes nodales doivent passer.

Stvart a £ût une étude complète de ces figures , nous sommes facede rmvoyer à Textrait de son Mémoire {yinn. de Chim. et de Pkys.^ 1B40, t. LXXUI, p. 254); nous nous bornerons à remarquer qœ, dans le système diamétral, les rayons cessent de se proloager jnsqu^au centre dès que leur nombre devient un peu grand, et alors les parties centrales de la plaque produisent , en général , des sons harmoniques, c*est-à-dire les sons 2 ^ 3 et 4 , en prenant 1 pour le son produit par les parties de la plaque qui avoisinent

la circonférence. La figure 10 suffirait pour indiquer combien i serait facile de se tromper sur la direction des lignes nodales, i Ton n'ayait pas un moyen très-précis de les imprimer an momem où elles se produisent.

Le déplacement des lignes nodales est un phénomène trèf-T^ naarquable que Ton doit encore à la rare sagacité de Savart. Voki en quoi il consiste : si Ton prend un disque de laiton très-Uei travaillé, d'environ 4 décimètres de diamètre et de 2 ou 3 milih mètres d'épaisseur, qu'on le dispose comme il est représenté dan la figure 9 , et qu'on l'ébranlé par le bord , avec un ardiet, après avoir jeté sur sa surface de la poudre de lycopode qui est beaucoup plus légère que le sable , on observe bientôt que , pour certains sons graves et pleins qui correspondent à une figure diamétrale de 4, 6 ou 8 rayons , ces lignes nodales ne restent pas fixes; elles éprouvent un mouvement d'oscillation très-marqué, et même, en continuant le mouvement de l'archet, on parvient à les Ëdre tourner d'un mouvement de rotation continu, en sorte que la poudre de lycopode forme alors un tourbillon rapide qui parcourt la surface du disque à une certaine distance de la drooDférence et en lui restant parallèle. Cette expérience est Tiine des plus intéressantes que l'on puisse fidre avec les plaques dicolaires. Savart explique ce phénomène de la manière suivante : dms les disques les mieux travaillés, l'élasticité n'est pas la même dans tous les sens; il y a deux diamètres qui correspondent, l'on à la moindre élasticité, et Fantre à la plus grande ; cela posé, à T^Q ébranle le discpe avec l'archet en attaqussit un point tcà que les lignes nodales tendent à se placer sur ces diamètres, les lignes nodales seront inuaobiles; taais ,si l'on attaque un autre poii^i ks flexions que l'archet produit sur les bords du disque éunt dj0Îmétriques, les lignes nodales qui se forment aloi*s tendent à retenir à leur première poûtion , et pour cela elles oscillent de part et d'autre de cette position; ou bien dles se mettent à tourner d on mouvement continu, quand les excursions très-grandes du disqve leur donnent assez d'amplitude pour qu elles puissent firanebo' leur lieu de repos.

son beau travail âté phis haut {Jhh. de Chim. et de Pl^*^ t* LXXIII), Savart résume ainsi Tensemble des expériences qu u a faites sur ce sujet :

vN^j^"^^ VIBBATIONS DES PLAQUES. 95

^ V. ^v ^^^*^s des polygones réguliers sont de deux

* ^\iV^^P^^*? et les autres composées ;

1^ ^^ génératrices sont formées, les unes de

^^ctions de la plus grande résistance à la

^es parallèles aux directions de moindre

se forment de la réunion de deux 'Ion de lignes nodaies étrangères :

systèmes de lignes de repos, les V (don de plus grande résistance, moindre résistance à la flexion ; acoutisques d^un même polygone peuvent t'ii un tableau à double entrée dans lequel } Si compliquée qu'on la suppose, a sa place déteri ^ qui indique sa composition. Utekei. — Les cloches exécutent , en général des vibrattons perpenàciilaires comme les plaques, et se partagent aussi en diverses parties séparées par des lignes nodaies, dont la trace peut être eitrmemeut irrégulière. Pour prendre une idée de ces ligMi^i nodaies j il suffit de mettre de Feau ou du mercure dans iMn^ckxhe ou dans un grand verre à pied, et d'^en ébrapler le bord avec un archet; alors, on verra distinctement la surface liquide se partager ; par exemple , comme dans les figures 1 2 et 13 , où il y a 2 diamètre» perpendiculaires dont les extrémités eorreqiondent à 4 lignes nodaies parfaitement marquées. On -peut coastzter aussi que ces lignes nodales^ se déplacent comme dajBS les plaques circulaires.

WMn MfciaBiii — Les membranes présentent des modes de. vibration cnû ne sont pas sans analogie avec ceux des plaques solides^ oa peut s^en assurer avec du papier ou du parchemin, ou, ce qui vaut mieux encore, avec de la baudruche très-souple et trèségaJe;, jeulement^il faut employer un moyen particulier pour tendre et pour ébranler ces espèces de plaques trop minces pour se soutenir d'elles-mêmes. Savart, qui a fait une étude particulière de ces phénomènes, fixe les membranes par leurs bords, en les coUant sur des cadres de bois ou sur Touverture d'une cloche de veire ; il les humecte plus ou moins pour leur donner des tensions plus ou moins grandes ; ensuite, pour les ébranler, il en approche à quelque distance un ûmbre vibrant , ou un tuyau

(l*orgue dont le son est plein et soutenu : dès que le son se fait entendre , la membrane vibre comme si elle était directement ébranlée; les grains de sable qui la recouvrent sautillent sur sa surface et s^accumulent sur les points de repos pour y dessiner les lignes nodales. Les figures que Ton obtient sont extrêmement variées, elles dépendent de la tension de la membrane et de Tacuité du son qui la frappe.

Savart a essayé d'analyser la série des figures que peut donner une membrane ébranlée conune nous venons de le dire, et nous allons rapporter ici les observations qu'il a faites sur ce sujet intéressant {j4nn. de Chim. et de Phjrs.j t. XXXII, p. 386) :

« Pour plus de simplicité, je supposerai toujours qu'on ait d'abord obtenu une figure composée de lignes nodales rectilignes qui se coupent rectangulairement , et j'examinerai par quel chemin cette figure peut passer à une autre , composée amplement de lignes parallèles.

« Par exemple , je suppose qu'on soit parvenu à produire le mode de division représenté par le n" 1 de la figure H, si la tension de la membrane est constante et que le son devienne un peu plus aigu , il pourra arriver que les angles opposés au sommet en aa\ bb\ cc\ dd!^ se désunissent comme dans le a" 2, qm prendra peu à peu l'aspect des n"^ 3 , 4 et ô , si le son monte toujours; et ensuite celui du n* 6, composé seulement de 4 ligues parallèles ; mais ce moyen de passer du premier mode de division à celui du n* 6, par cette première espèce de séparation des angles, n'est pas le seul que puisse employer la membrane; les figures 15 et 16 présentent des exemples de transformations différentes par lesquelles elle peut encore parvenir au même but de 4 lignes parallèles. Il peut aussi arriver (Fig. 17), que les angles opposes en aa\ bb\ cc\ dd ^ soient ceux qui se divisent d'abord, et que la figure tracée par le sable prenne successivement l'aspect des n*" 2 , 3, 4 , 5 et 6; ou bien que cette division ait lieu comme dans le n* 2 des figures 18 et 19, ce qui produira encore de nouvelles modifications dans les figures successives qui conduiront à 4 lignes parallèles. Enfin, il pourra même se foire que les angles opposés ne se divisent pas , conune dans le n* 2 de la figure 20, qui passe au n* 6 par de simples inflexions des lignes droites en sens contraire.

• Maintenant, 4 lignes parallèles peuvent passer à d'autres