Wrmm^em prodnHes par les fcoFja âaa étiiaai -^I/HS

qu'on met sur le premier support de Tappareil général la 6At

n^ 1 , et sur le deuxième support la fiche n? 2, la ligne qui n di

foyer de la lentille cylindrique au bord de l'écran détenaa»

l'ombre géométrique, et Ton reconnaît qu'il n'y a aucune finogc

dans cette ombre à quelque distance qu'on Tobsenre; il y a Ktt'

lement une teinte qui va en se dégradant rapidement : ma» *

dehors de l'ombre , dans l'espace qui devrait être unifionnànent

éclairé, on distingue plusieurs franges sombres et bnlboM

lorsqu'on emploie de la lumière homogène , et pkisiean b^BOffê

de diverses couleurs lorsqu'on emploie de lafamûère Utndie*

EnJes obsetrant, avec le micromètre, à diverses distances, oa

constate aisément que la première , la deoxiènae et toiM bi

tnivantes se trouvent sur des branches d'hyperi)oles de fto en

I^ns ouvertes, ayant leur sommet an bord de r^éam ctlevr

centre commun au milieu de la distanœ qm sépare l'écran dn

point lumineux,^ c^est-à-dire du foyer de la leattille. Ces obsev

vations, pour constater la marche faypeibdlicpie des fr«g^i ••

font aisément au moyen d'un écran lai^e à bords pandlâes,

puisqu'il suffit dors de meturer la distance de dieux frang^^

même ordre, situées Tune à droite, fantrelniawriic, d'enie*

trancher la largeur de Fonbre de l'écran, et de prendre la «wî-

tié du reste, qiri exprime la distance de ht frange k V^atu^

géométrique.

y oid maiotemait le pfiiKipe général au moyen duquel FresBei

CHAP, Tn. — FKAKCCB« 31»

xpïque h fontiation des franges et toutes lonrs propriétés, joel que soit Tappareil qui serre à les produire :

c Les Tflyratioiis d'une onde lumineuse dans chacun de ses joints peuveift être regardées coi)time la somme desmouvem^its éVénmtaires qu'y enverraient . au même instant, en agissant îsolémait, toutes les parties de oette onde oonsidérée dans une quelconque de ses positions antérieures, v

-Aiiai, le point /"(FiG. 13) étant un point hinmeux, tm le foyer d iin faisceau de lumière simple , et le cercle xzj:/ représentant une porteon de l'une des ondes envoyées par ce point hmiineax, la vitesse qui se produira en mi point quelconque j9,' lorsque œtte portion de Tonde y passera , sera la même que la ritesse qd serait produite en ce point par la résultante de toutes es actions que les divers éléments ame de l'onde poucraient îieroer sor lui , en les considérant comme autant de centres Vebranlement ou de points lumineux particuliers. Il arrive "*«ne qoe dans la composition des mouvements élémentaires» ttmjyés en p par les diverses parties de l'onde jrzo?', Ton ne doit tenir compte que des parties qui avoisinent le point z situé 5w W ligne fp , et négliger complètement celles qui en sont ^ssez éloignées pour que les lignes ooirespondantes^ telles que V^ ^P^cp^ aient une inelinaison sensible , parce que leurs aérons dcYiennent ccmtraires et se détruisent mutuellement* En ^^y prenons, par exemple, les trois points a, m, c, de maniCTe que ap — mp soit égal à mp -^cp et égal à une demi-' ondulation; à cause de l'obliquité de ces lignes,, et de leur Ion» gweur qoi est comme infinie par raj)port à la longueur si petite flâne demi-ondulation, il est clair que les arcs très-petits- iwa ^«c seront égaux entre eux ; or, les ondulations qui arme*. l'^i^t etip suivant^ et suivant mp étant en discordance, c'esfr* *"^ en dKffn-ence d'une demi-ondulation, se détruiraient; Prennent, les ondes qui partiraient de tous les points com- ^ entre a et m étant en discordance avec celles qui partiraient **poiia» correspondants compris entre m et c , il y aurait de»- ^on complète, puisque am = me» Donc la résultante des ^*^ de l'onde xzaf sur le point p ne dépend que des tkctions P'^'^^^iites par les divers points de cette onde qui sont à une P^ distance du point z. Ce que nous disons du point /? s'apl""pe «a point p* «t à. tout autre point quelconque^ c'eil-i^

316 LIVRE VI. — OPTIftUE.

dire que la résukante des actions que les divers points d^une onde exercent sur un point donné dépend seulement des acticms produites par les points de cette onde qui se trourent à une petite distance de la ligne menée du point lumineux au point 4onné. Quand Tonde se propage librement, toutes ces résultantes sont égales pour des points qui sont à la même distance du point lumineux , et la lumière est uniforme.

Mais quand Tonde xzx* rencontre un obstacle , par exemple y un écran zv (Fie. 14), la portion zx' étant arrêtée, la rësul* tante des actions qui s^exercent au point p est seulement produite par les divers points de la portion zx de Tonde qui est libre. Par conséquent, pour connaître Tinfluence d'un écran, il fttut savoir calculer la résultante des actions que les divers points de la partie libre de Tonde peuvent exercer sur un point donné.

Or, si ce point est en p' par exemple, de telle sorte que la ligne fp' vienne percer la surface de Tonde xzx' en un point £ \m peu éloigné du bord z de Técran, il suit de ce que nous venons de voir que la résultante étant seulement dépendante des joints qui avoi^nent le point js' et tout à fait indépendante des points éloi^és comme ^ et j/, Téclat de la lumière reçue en p' ne sera modifié en rien par la présence de Técran. Voilà pourquoi les franges diflractées ne s'étendeiit jamais qu^à une petite distance angulaire du bord de Técran.

Mais si le point donné est en p^ de manière que fp* perce . Tonde en un point jz" assez voisin de z pour que Tacûon exancée suivant jsp" ne puisse être négligée, alors la lumière qui arrive en ce point p* est modifiée par la présence de Técran.

Nous allons essayer de faire comprendre le prindpe de ces modifications et la cause des alternatives d'oml^re et de lumière qu'elles produisent. Pour simplifier les idées, nous raisonnerons seulement sur ce qui arrive dans le plan de la figure ; il est fecile de voir que tout sera pareil dans les plans voisins de celui-ci , soit que le foyer /"provienne d'une lentille cylindrique parallèle au bord de Técran, soit quUl provienne d'une l^itiUe sphérique ou d'une très-petite fente.

Soient /"le point lumineux (Fig. 15), elxzxf la portion d^one onde qui se propage vers, le point /?. Menons la ligne fp , et séparons par la pensée les effets produits sur le point /> parJes deux portions xz et zx' <le Tonde xzafy ces portiona Àant asaes

CHAP. VU. — FRÀKGES. 817

étendues pour comprendre tous les poiats de Fonde qui peuvent tïansmettre eûp àês actionls sensibles ; car , d'après ce qui pré-' cède, nous pouvons négliger tout ce qui est à une distance un peu grande du point z. Tout étant symétrique de chaque coté de /{, 3 est évident que la somme des actions produites en p p» X2, sera identique, à la somiiie des actions produites au même point par of'z ^ et que si Ton représente par 1 la vitesse fuifsttlte des premières, 1 sera aussi la vitesse qui résulte des secondes, et par conséquent 2 sera la vitesse que doit posséder le point/? quand il reçoit pleinement et sans obstacle la somme des actions que tous les points efficaces de Tonde xzx' peuvent exercer SOT lui.

Du point/? comme centre,' et d'un rayon/?;;, décrivons un arcdecerde et traçons des lignes /?&, ps^ pb% ps'y etc., de tellesorte que leurs parties 6/, ^r, b'i\ s'r\ etc., comprises entre, les ats £^ et zky soient respectivement égales , la première à une dem^ndulation , la deuxième à deux demi-ondulations, la troisième à trois demi-ondulations, etc.; alors de celte oon** stnidion simple on pourra tiier les conséquences suivantes :

l'aies arcs correspondants ^6, bs^ sb\ b's\ etc., dépendront, pour leurs grandeurs, et de la distance de Tonde xzjcf au point lumineux /*, et de la distance du point/? à Tonde xzx'\ mais daJis tous les cas ils iront en décroissant avec plus oa moins de rapidité : le premier zb étant plus grand que le deujpème , ' celui-ci plus grand que le troisième , etc.

2* Tous les points compris de :s en 6 ou sur le premier arc werc«roDt sur le point p des actions conspirantes entre elles , quel que soit d'ailleurs Tordre suivant lequel décroisse Tiutensité de ces actions à mesure que Ton s'éloigne de z; il en sera de ®ème des actions exercées par les points compris de & en ^ , ou 8«r le deuxième arc , et de ^ en i', et de 4' en /, etc.

3" Les actions exercées par les points compris de jz en &, ou «îT le premier arc , seront discordantes avec les actions exercées par les points compris de i en * ou sur le deuxième arc ; celles- ^ seront discwdantes avec celles du troisième , qui seront ^discordantes à leur tour avec celles du quatrième , etc. ; car 'action qui s*exeice suivant zp àera en discordance complète 3Tec celle qui s'exerce suivant pb, puisque par hypothèse les longueurs de ces lignes diffèrent d'une demi-ondulatiou. Par la

318 LIVRE VI. — OPTiaUEv

même raison , chacun des points compris entre z et & sera en discordance avec Fun des points compris entre b et #, puific{iL'oB peut choisir ces deux peints de manière que la diCEécence de l&ais distances au point p soit d'une demi-ondiilation^ etc*

A^ Malgré ces^ discordances complètes. Faction du premier aie zb ne sera que partiellement détruite par celle du deuxièoae ait: bsy parce que zb est plus grand que bs , et parce que les points de zb agissent sur le point p moins obliquement et par coi qaent avec plus d'énergie que les points de 6«; de mfnic l*^ tion du troisième arc ne sera que partiellement détruite par oelle du quatrième, etc. ; la résultante totale des actions* de l'arc, zx sur le point p n'est donc autre chose que la diffiîrecice des iMrtîona discordantes et contraires produites sur œ point pcir le premier et le deuxième arc , le troisième et le quatrième ^ etc.. ; ou,, si Ton veut, cette résultante est Texcès des acticMis pn^duites par les arcs de rang impair sur les acticms pcodLuîics par ks arcs de çang . paie , tous ces arcs étant détermia^, fiftfnmft nous l'avons vu, par la condition que les lignes /^js, jA^ ps di£Berent d'une demL-ondulation. C'est cette dîflEpr^rw?^ ^i^ cet excès qui donne au point /? une vitesse dans un sens ou dans Vautre, que nous avons supposée être égale à 1^

6^ C'est le premier arc, ou le plus voisin de la Uffke fp 9jfà datennîne le sens de cette vitesse qui est imprimée par la tante totale^ et si Ton pouvait, par exiemple, arrêter ou mer l'action de tous les points compris entre js et &, la de tous lesarcs restants donnerait &kp\m^ vitesse moindre que 1 , et le point/» vil»erait dans le sens de la résultante de Âr, o'ertà-dire qu'd serait en disccH'dance avec la résultante des actions de zb. n suit encore de là que Faction produit^ par-le pcemier arc seul Femporte en. intensité sur Facti<m produke par tous 1^ autres ensttEnble j car le résultat chango de signe ^suivant çi^le premier j cntr^ ou n'y entre- pas. Ce que nous disons id du premier, par rapport à tous les autres, aappUque à Fun ipà^ conque des arcs par rapport à tous les suivants^ Faction iaolée de diacun FonpcMte toujràrs en intenské sur la. <^M»>"Hr des actions de tous ceux cpii le suivent.

Ces conséquences nous conduisent à la vàdtahle cause de bt production des firanges..

En effet, sopposcms 1^ qu'un écran ars^ toute la paiûe ju'

CÊÀF. TH. -^ FRANGES. 319

de Toacle xzje^ (Fi«. 15); le point p reçoit alors Taction de la partie :rz e% prend me vitesse ^ale à 1.

Sappoê€m^f!^ qae le bord de Tëcran soit en i, akurs la partie baf tstseole arrêtée, le point j9 reçoit Taction de xz, plus Taction ée zi; ces aetioa» sont eoiiq>îrafites , et il en résulte eap une litcjsc ^^ale à 1 de la part de xz et plus grande que 1 de bt put de zi. Donc quand le point j9 est placé à l'égard de Técran de telle sorte ^le fe s(»niDe de^ distances fh-hpb au bord de récraoi Tenaporte à*tme ekmi-'Omdmlation sur la ligne àroi!(é fp^ i iea»t plus de pi$eêse qu'il n'^ recevrait si Viertm n^exis^

Si^poeons 3-* que le bord de TécnCn soit en ^, la partie sx' est

fleiife arrêtée; le peint j? vecoit Faction de xz^ plu» Tactiott

de zr : la première donne en p une vitesse égale à 1 ; la seconde

étant seulement Fexcès de la résultante de sA sar ceHe de j8#,

une TÎtesse bien moindre que 1 ; donc, quand le point y»

fbcé à regard de Fécran de telle sorte que la sonune des

fs-hp^', au bovd de Fécran, Remporte de deux demê^

fns smt la %ne dbroilie /p, il reçoit beaucoup moins de

qnU n'en reeevrak si -Fécran n'existait pas^

£a savant le même raisonnement, noosponvons eonchue

d'one «umieie générale que la présence d'un écran augmente ta

de vibration sur tous les points pour lesquels la ligne

ée, qni arrive au point hnnineux en passant par le bcnrd de

HéensMÈy sarpoflée d'mi nombre impair de demi-ondulations la

ligne jhroite qui arrive directement au point limdnenx; la trace

de tomê^ CCS points ferme donc la trace de toutes les fi*anges

; et qu'au contraire la présence de Féci^an diminue ta

de vibration dans tous, les points pour lesqueb la 1^^

^D anive au point lumineux en rasant le bord de l'écran

d^on nombre ^oir de demî-ondulations la ligne- droite

^ arrive ifirectement a« point lumineux ; la trace de tous ces

points forme donc la trace de tontes les franges sombres. Nous

fduvoBS eonckre de là que les traces de ces franges forment des

Iiyperboles et non des lignes droites ; qu'elles sont phis serrées

èm la Imttière violette que dans la lumière rouge; enfib que

leurs distances à Fombre géométrique changent avec la distance

do pcrânt lumineux, à l'écran, et avec cdie du tableau sur lequel

on les reçoitj^

320 UVRE VL -r- OPTIQUE.

Dans ce qui précède aous avons seulement parlé des vitesses de vibration que doit prendre le point p suivant sa position pai rapport à la partie de Tonde qui n'est pas arrêtée par Técran, parce qu'en effet ce sont ces vitesses qui résultent immédiatement de la composition des mouvements élémentaires qu'il reçoit des différentes parties de Fonde lumineuse. i^^xX^XintensiU de la lumière j ou à la vivacité de Timpression que nous en pouvons recevoir, elle n'est pas proportionnelle à ces amples vitesses, mais bien au carré de ces vitesses; car elle est évidemment proportionnelle à la force vive, c'est-à-dire au.oarré de la vitesse multipliée par la densité du milieu ; et, au fond de notre G^il, cette den^é de l'éther est constante pour la même organisation. Renàarquons enfin que poiur la lumière, comme pour le son, le cliangement de vitesse ne change pas l'isochronisme des vibrations, mais seulement leiur amplitude; ,un son grave reste toujours grave, parce que ses vibrations s'accomplissent toujours dans le môme temps; la lumière rouge reste toujours rouge par la même raison, et la lumière rouge diffère de la lumière riolette parce qu'elle correspond à un moindre nombre de vibrations -dans le même ten^ps , conune un son grave diffère d'an son aigu par la même cause. C'est en partant de ces données que Fresnel est parvenu non-seulement à expliquer la fcmnation des franges dans tous les cas possibles, mais à donner des formules pour calculer l'intensité de la lumière et la nature des teintes qui se développent dans les^rincipaux phénomènes d'in* terférence ou de diffraction.

144. FraMipes Imtérlevres pr^diiHes éMmm l'omlbre è^ ^^ déUév o« des écrans éCrolls. — Soient ^ (FiG. 16) un écran, f%m point lumineux, xtt'x' Tonde ipcidénte, que nous supposa rons appartenir à la lumière rouge homogène, g le foyer de la loupe ^ur laquelle on reçoit l'ombre de l'écran , gg la l«ig^ de l'ombi-e géométrique , et /? un point quelconque situe dans cette ombre , dont l'axe est suivant la ligne fmy. , Sur le cercle xtix\ qui représente l'onde incidente, onpreod * gauche de pt des pomts a^ A, c, rf, etc., tels que, en les joignant au point /^, la différence de deux de ces lignes consécutives soit égale à la demi-longueur d'une ondulation.

A droite de pi^ on prend pareillement des points a', *'? ^'^^^"^ qui remplissent la même condition.